1、講授：講授：作者：作者：出版：西北工業大學出版社出版：西北工業大學出版社線性系統理論線性系統理論簡介：簡介： 線性系統理論（線性系統理論（linear systems theorylinear systems theory）以狀態空）以狀態空間法為主要工具研究多變量線性系統的理論。間法為主要工具研究多變量線性系統的理論。2020世紀世紀5050年年代以后，隨著航天等技術發展和控制理論應用范圍的擴大，代以后，隨著航天等技術發展和控制理論應用范圍的擴大，經典線性控制理論的局限性日趨明顯，它既不能滿足實際經典線性控制理論的局限性日趨明顯，它既不能滿足實際需要，也不能解決理論本身提出的一些問題，這就推

2、動了需要，也不能解決理論本身提出的一些問題，這就推動了線性系統的研究，于是在線性系統的研究，于是在19601960年以后從經典階段發展到現年以后從經典階段發展到現階段。階段。線性系統理論線性系統理論美國學者美國學者R.E.R.E.卡爾曼首先把狀態空間法應用于多變量線性卡爾曼首先把狀態空間法應用于多變量線性系統的研究，提出了能控性和能觀測性兩個基本概念。系統的研究，提出了能控性和能觀測性兩個基本概念。 2020世紀世紀6060年代以后，現代線性系統理論又有了新發展，出年代以后，現代線性系統理論又有了新發展，出現了線性系統幾何理論、線性系統代數理論和多變量頻域現了線性系統幾何理論、線性系統代數理論

3、和多變量頻域方法等研究多變量系統的新理論和新方法。隨著計算機技方法等研究多變量系統的新理論和新方法。隨著計算機技術的發展，以線性系統為對象的計算方法和計算輔助設計術的發展，以線性系統為對象的計算方法和計算輔助設計問題也受到普遍的重視。問題也受到普遍的重視。線性系統理論線性系統理論與經典線性控制理論相比，現代線性系統主要特點是：研與經典線性控制理論相比，現代線性系統主要特點是：研究對象一般是多變量線性系統，而經典線性理論則以單輸究對象一般是多變量線性系統，而經典線性理論則以單輸入單輸出系統為對象；除輸入和輸出變量外，還描述系統入單輸出系統為對象；除輸入和輸出變量外，還描述系統內部狀態的變量；在分

4、析和綜合方面以時域方法為主而經內部狀態的變量；在分析和綜合方面以時域方法為主而經典理論主要采用頻域方法；使用更多數據工具。典理論主要采用頻域方法；使用更多數據工具。線性系統理論線性系統理論相關書籍相關書籍線性系統理論線性系統理論第一章第一章 線性系統的狀態空間描述線性系統的狀態空間描述為了分析研究系統，建立描述系統的數學方程是首要為了分析研究系統，建立描述系統的數學方程是首要的。經典控制理論中的時間域理論對單輸入的。經典控制理論中的時間域理論對單輸入- -單輸出線性單輸出線性定常系統用高階微分方程或傳遞函數來描述輸入定常系統用高階微分方程或傳遞函數來描述輸入- -輸出變輸出變量間的因果關系，分

5、析的主要方面限于運動的穩定性，不量間的因果關系，分析的主要方面限于運動的穩定性，不便用來綜合系統。便用來綜合系統。 2020世紀世紀6060年代以后，現代線性系統理年代以后，現代線性系統理論又有了新發展，出現了線性系統幾何理論、線性系統代論又有了新發展，出現了線性系統幾何理論、線性系統代數理論和多變量頻域方法等研究多變量系統的新理論和新數理論和多變量頻域方法等研究多變量系統的新理論和新方法。方法。線性系統理論線性系統理論 隨著計算機技術的發展，以線性系統為對象的計算方法隨著計算機技術的發展，以線性系統為對象的計算方法和計算輔助設計問題也受到普遍的重視。運用狀態空間法和計算輔助設計問題也受到普遍

6、的重視。運用狀態空間法研究系統是現代控制理論的重要標志，狀態空間方程是現研究系統是現代控制理論的重要標志，狀態空間方程是現代控制理論的最基本的數學模型。本章主要介紹狀態空間代控制理論的最基本的數學模型。本章主要介紹狀態空間描述的基本概念以及建立狀態空間方程的方法。描述的基本概念以及建立狀態空間方程的方法。 線性系統理論線性系統理論1.11.1系統的狀態空間描述系統的狀態空間描述1.21.2化輸入化輸入- -輸出描述為狀態空間描述輸出描述為狀態空間描述1.3由狀態空間描述導出傳遞函數矩陣由狀態空間描述導出傳遞函數矩陣1.4線性系統的坐標變換線性系統的坐標變換1.5組合系統的狀態空間方程與傳遞函組

7、合系統的狀態空間方程與傳遞函數矩陣數矩陣線性系統理論線性系統理論1.1 1.1 系統的狀態空間描述系統的狀態空間描述系統數學描述的兩種基本類型系統數學描述的兩種基本類型 這里所謂的系統是泛這里所謂的系統是泛指一些互相作用的部分構成的整體，它可能是一個反饋控指一些互相作用的部分構成的整體，它可能是一個反饋控制系統，也可能是某一控翻裝置或受控對象。所研究系統制系統，也可能是某一控翻裝置或受控對象。所研究系統均假定具有若干輸入端和輸出端。外部環境對系統的作用均假定具有若干輸入端和輸出端。外部環境對系統的作用稱為系統輸入，以向量稱為系統輸入，以向量 表示，施于輸入端；系表示，施于輸入端；系統對外部環境

8、的作用稱系統輸出，以向量統對外部環境的作用稱系統輸出，以向量 表示，表示，可在輸出端量測，它們均為系統的外部變量。可在輸出端量測，它們均為系統的外部變量。1Tpuuu1Tqyyy線性系統理論線性系統理論描述系統內部所處的行為狀態的變量以向量描述系統內部所處的行為狀態的變量以向量 表表示，它們為內部變量。示，它們為內部變量。系統數學描述通常可分為下列兩種系統數學描述通常可分為下列兩種基本類型：一為系統的外部描述，即輸入基本類型：一為系統的外部描述，即輸入- -輸出描述，這輸出描述，這種描述將系統看成是一個種描述將系統看成是一個“黑箱黑箱”，只能接觸系統的輸入，只能接觸系統的輸入端和輸出端，不去表

9、示系統內部的結構及變量，只從輸入端和輸出端，不去表示系統內部的結構及變量，只從輸入- -輸出的因果關系中獲悉系統特性。若系統是一個單輸入輸出的因果關系中獲悉系統特性。若系統是一個單輸入- -單輸出線性定常系統，其外部描述的數學方程就是一個單輸出線性定常系統，其外部描述的數學方程就是一個 階微分方程及對應的傳遞函數。階微分方程及對應的傳遞函數。1Tnxxxn線性系統理論線性系統理論一為系統的內部描述，即狀態空間描述，這種描述將一為系統的內部描述，即狀態空間描述，這種描述將系統視為由動力學部件和輸出部件組成，將系統的動態過系統視為由動力學部件和輸出部件組成，將系統的動態過程細化為兩個過程，即輸入引

10、起內部狀態的變化，程細化為兩個過程，即輸入引起內部狀態的變化， 和和 間的因果關系常用一階微分方程組或間的因果關系常用一階微分方程組或差分方程組表示，稱為狀態方程；還有內部狀態和輸入一差分方程組表示，稱為狀態方程；還有內部狀態和輸入一起引起輸出的變化，起引起輸出的變化， 和和 、 間的因果間的因果關系是一組代數方程，稱為輸出方程。外部描述僅描述系關系是一組代數方程，稱為輸出方程。外部描述僅描述系統的終端特性，內部描述則是既描述系統內部特性又描述統的終端特性，內部描述則是既描述系統內部特性又描述終端持性的。終端持性的。 1( , , )nxx1( , , )puu1( , , )qyy1( ,

11、, )nxx1( , , )puu線性系統理論線性系統理論系統的兩種基本描述的結構示意圖見圖系統的兩種基本描述的結構示意圖見圖1.11.1。以后的研究。以后的研究可看出，外部描述通常是一種不完全的描述，具有完全不可看出，外部描述通常是一種不完全的描述，具有完全不同的內部結構特性的兩個系統可能具有相同的外部特性，同的內部結構特性的兩個系統可能具有相同的外部特性，而內部描述是一種完全的描述，能完全表示系統的一切動而內部描述是一種完全的描述，能完全表示系統的一切動態特性。僅當系統具有一定屬性的條件下，兩種描述才具態特性。僅當系統具有一定屬性的條件下，兩種描述才具有等價關系。有等價關系。 線性系統理論

12、線性系統理論圖圖1.1 1.1 系統的兩種基本描述系統的兩種基本描述(a) (a) 外部描述；外部描述；(b) (b) 內部描述內部描述線性系統理論線性系統理論 無論是外部描述還是內部描述，下列概念是常用的，無論是外部描述還是內部描述，下列概念是常用的，現給出定義以有助于理解系統性質及系統分類。現給出定義以有助于理解系統性質及系統分類。 系統在時刻系統在時刻 稱為松弛的，當且僅當輸出稱為松弛的，當且僅當輸出 由輸由輸入入 唯一確定。從能量的觀點看，在時刻唯一確定。從能量的觀點看，在時刻 不存在存不存在存儲能量，則稱系統在時刻儲能量，則稱系統在時刻 是松弛的。式中是松弛的。式中 表示定表示定義在

13、時間區間義在時間區間 的輸入。的輸入。 0 ,)t u0t0 ,)t y0t0 ,)t u0 ,)t 0t線性系統理論線性系統理論例如一個例如一個RLCRLC網絡，若所有電容兩端的電壓和流過電網絡，若所有電容兩端的電壓和流過電感的電流在感的電流在 時刻均為零（即初始條件為零），則網絡稱時刻均為零（即初始條件為零），則網絡稱為在為在 時刻是松弛的。若網絡不是松弛的，其輸出響應時刻是松弛的。若網絡不是松弛的，其輸出響應不僅由不僅由 所決定，還與初始條件有關。所決定，還與初始條件有關。 在松弛性假定下，系統得輸入在松弛性假定下，系統得輸入- -輸出描述有輸出描述有 （1.11.1） 式中式中 是某一

14、算子或函數，例如傳遞函數就是一種算子。是某一算子或函數，例如傳遞函數就是一種算子。0t0t0 ,)t uHyuH線性系統理論線性系統理論 若系統在時刻的輸出僅取決于若系統在時刻的輸出僅取決于t t時刻及在時刻及在t t之前的輸入，之前的輸入，而與之后的輸入無關，則稱系統具有因果性。本書所研究而與之后的輸入無關，則稱系統具有因果性。本書所研究的實際物理系統都具有因果性，并稱為因果系統。若系統的實際物理系統都具有因果性，并稱為因果系統。若系統在在t t時刻的輸入尚與時刻的輸入尚與t t之后的輸入有關，則稱該系統不具有之后的輸入有關，則稱該系統不具有因果性，不具因果性的系統能夠在預測之后的輸入并施加

15、因果性，不具因果性的系統能夠在預測之后的輸入并施加于系統而影響其輸出。于系統而影響其輸出。線性系統理論線性系統理論 一個松弛的系統稱為線性的，當且僅當對于任何輸入一個松弛的系統稱為線性的，當且僅當對于任何輸入 和和 ，以及任何實數，以及任何實數 ，均有，均有（1.2） （1.3）否則稱為非線性的。式（否則稱為非線性的。式（1.2）稱為可加性，式（）稱為可加性，式（1.3）稱）稱為齊次性。松弛系統具有這兩種特性，稱該系統滿足疊加為齊次性。松弛系統具有這兩種特性，稱該系統滿足疊加原理。原理。2u1u1212()HHHuuuu11()HHuu線性系統理論線性系統理論式（式（1.2 ）和式（）和式（1

16、.3） 可合并表示為可合并表示為（1.4） 線性系統數學方程中的各項，只含變量及其各階導數線性系統數學方程中的各項，只含變量及其各階導數的一次項，不含變量或其導數的高次項，要不含不同變量的一次項，不含變量或其導數的高次項，要不含不同變量的乘積項。的乘積項。1 12 21122()HHHuuuu線性系統理論線性系統理論1.1 系統的狀態空間描述 一個松弛系統為時不變的（定常的），當且僅當對于一個松弛系統為時不變的（定常的），當且僅當對于任何輸入任何輸入 和任何實數和任何實數 ，有，有 （1.51.5）否則稱為時變得。式中否則稱為時變得。式中 稱為位移算子，稱為位移算子， 表示對于所表示對于所有有

17、t t有有 （1.61.6）意為意為 的波形與延遲的波形與延遲 秒的秒的 的波形完全相同。的波形完全相同。uHQQ HuuQQ u()QtuuQ u( ) tu線性系統理論線性系統理論式（式（1.5）也可寫作）也可寫作 （1.7）意為當輸入的波形位移意為當輸入的波形位移 秒時，輸出的波形也位移秒時，輸出的波形也位移 秒。秒。線性時不變（定常）系統數學方程中各項的系數必為線性時不變（定常）系統數學方程中各項的系數必為常數，只要有一項的系數是時間的函數時，則是時變的。常數，只要有一項的系數是時間的函數時，則是時變的。 HQQuy線性系統理論線性系統理論 系統的狀態空間描述是建立在狀態和狀態空間概念

18、的系統的狀態空間描述是建立在狀態和狀態空間概念的基礎上的。狀態與狀態空間概念早在古典力學中得到廣泛基礎上的。狀態與狀態空間概念早在古典力學中得到廣泛應用，當將其引入到系統和控制理論中來，使之適于描述應用，當將其引入到系統和控制理論中來，使之適于描述系統的運動行為，才使這兩個概念有了更一般性的含義。系統的運動行為，才使這兩個概念有了更一般性的含義。系統在時間域中的行為或運動信息的集合稱為狀態。系統在時間域中的行為或運動信息的集合稱為狀態。但狀態（行為或信息）需用變量來表征，故狀態變量可簡但狀態（行為或信息）需用變量來表征，故狀態變量可簡稱為狀態。稱為狀態。線性系統理論線性系統理論動力學系統的狀態

19、定義為：能夠唯一地確定系統時間動力學系統的狀態定義為：能夠唯一地確定系統時間域行為的一組獨立（數目最少的）變量，只要給定域行為的一組獨立（數目最少的）變量，只要給定 時刻時刻的這組變量和的這組變量和 的輸入，則系統在的輸入，則系統在 的任意時刻的的任意時刻的行為隨之完全確定。行為隨之完全確定。眾所周知，一個用眾所周知，一個用n n階微分方程描述的系統，當階微分方程描述的系統，當n n個初個初始條件始條件 ， ， 的輸入的輸入 給定時，可唯一確給定時，可唯一確定方程的解定方程的解 ，故變量，故變量 ， ， 是一組狀態是一組狀態變量。變量。0t0tt0tt0( )x t0()x t(1)0( )n

20、xt( )u t( )x t( )x t( )x t(1)( )nxt線性系統理論線性系統理論對于確定系統的時域行為來說，一組獨立的狀態變量對于確定系統的時域行為來說，一組獨立的狀態變量既是必要的，也是充分的，獨立狀態變量的個數即系統微既是必要的，也是充分的，獨立狀態變量的個數即系統微分方程的階次分方程的階次n n。顯然，當狀態變量個數小于。顯然，當狀態變量個數小于n n，便不能完，便不能完全確定系統狀態，變量個數大于全確定系統狀態，變量個數大于n n則必有不獨立變量，對則必有不獨立變量，對于確定系統狀態是多余的。至于于確定系統狀態是多余的。至于 時刻的狀態，表征了時刻的狀態，表征了 以前的系

21、統運動的結果，故常稱狀態是對系統過去、現在以前的系統運動的結果，故常稱狀態是對系統過去、現在和將來行為的描述。通常取參考時刻和將來行為的描述。通常取參考時刻 為零。為零。0t0t0t線性系統理論線性系統理論狀態變量的選擇不是唯一的。選擇與初始條件對應的狀態變量的選擇不是唯一的。選擇與初始條件對應的變量作為狀態變量是一種狀態變量的選擇方法，但也可以變量作為狀態變量是一種狀態變量的選擇方法，但也可以選擇另外一組獨立變量作為狀態變量，特別應優先考慮在選擇另外一組獨立變量作為狀態變量，特別應優先考慮在物理上可量測的量作為狀態變量，如機械系統中的轉角、物理上可量測的量作為狀態變量，如機械系統中的轉角、位

22、移以及它們的速度，電路系統中的電感電流、電容器兩位移以及它們的速度，電路系統中的電感電流、電容器兩端電壓等，這些可量測的狀態變量可用于實現反饋控制以端電壓等，這些可量測的狀態變量可用于實現反饋控制以改善系統性能。改善系統性能。線性系統理論線性系統理論在理論分析研究中，常選擇一些在數學上才有意義的量作在理論分析研究中，常選擇一些在數學上才有意義的量作為狀態變量，它們可能是一些物理量的復雜的線性組合，為狀態變量，它們可能是一些物理量的復雜的線性組合，但卻可以導出某種典型形式的狀態空間方程，以利于建立但卻可以導出某種典型形式的狀態空間方程，以利于建立一般的狀態空間分析理論。選擇不同的狀態變量只是以不

23、一般的狀態空間分析理論。選擇不同的狀態變量只是以不同形式描述系統，由于不同的狀態變量組之間存在著確定同形式描述系統，由于不同的狀態變量組之間存在著確定關系，對應的系統描述隨之存在對應的確定關系，而系統關系，對應的系統描述隨之存在對應的確定關系，而系統的特性則是不變的。的特性則是不變的。線性系統理論線性系統理論本書中將狀態變量記為本書中將狀態變量記為 ， 。若將個狀。若將個狀態變量看作向量態變量看作向量 的分量，則的分量，則n n維列向量維列向量稱為系統的狀態向量。給定稱為系統的狀態向量。給定 時的狀態向量時的狀態向量 及及 的輸入向量的輸入向量 ， ，則，則 的狀態向量、的狀態向量、 唯一確定

24、。唯一確定。1( )x t( )nx t1( )( )( )nx ttx tx0t0( )tx0tt( ) tu1( ) ( )( )Tptu tutu0tt( ) tx( ) tx線性系統理論線性系統理論 以以n n個狀態變量為坐標軸所構成的個狀態變量為坐標軸所構成的n n維空間稱為狀態維空間稱為狀態空間。狀態空間中的一點代表系統的一個特定時刻的狀態，空間。狀態空間中的一點代表系統的一個特定時刻的狀態，該點就是狀態向量的端點。隨著時間推移，系統狀態在變該點就是狀態向量的端點。隨著時間推移，系統狀態在變化，便構成了狀態空間中的一條軌線，即狀態向量的矢端化，便構成了狀態空間中的一條軌線，即狀態向

25、量的矢端軌線。由于狀態變量只能取實數值，故狀態空間是建立在軌線。由于狀態變量只能取實數值，故狀態空間是建立在實數域上的向量空間。實數域上的向量空間。在上述狀態和狀態空間概念基礎上，可著手建立系統在上述狀態和狀態空間概念基礎上，可著手建立系統的狀態空間描述。的狀態空間描述。線性系統理論線性系統理論 圖圖1.11.1已示出狀態空間描述的結構，輸入引起狀態的已示出狀態空間描述的結構，輸入引起狀態的變化是一個動態過程。列寫每個狀態變量的一階導數與所變化是一個動態過程。列寫每個狀態變量的一階導數與所有狀態變量、輸入變量的關系的數學方程稱為狀態方程。有狀態變量、輸入變量的關系的數學方程稱為狀態方程。由于由

26、于n n階系統有階系統有n n個獨立的狀態變量，故系統狀態方程是個獨立的狀態變量，故系統狀態方程是n n個聯立的一階微分方程或差分方程。個聯立的一階微分方程或差分方程。考慮最一般的情況，考慮最一般的情況，連續系統狀態方程為連續系統狀態方程為 111111(,;,; )(,;,; )npnnnpxf xx uutxfxx uut線性系統理論線性系統理論輸入和狀態一起引起輸出的變化是一個代數方程。輸入和狀態一起引起輸出的變化是一個代數方程。列列寫每個輸出變量與所有狀態變量及輸出變量的關系的數學寫每個輸出變量與所有狀態變量及輸出變量的關系的數學方程稱為輸出方程，設有個方程稱為輸出方程，設有個q q輸

27、出變量，故系統輸出方程輸出變量，故系統輸出方程含含q q個聯立代數方程。最一般情況下的連續輸出方程為個聯立代數方程。最一般情況下的連續輸出方程為 （1.91.9）111111( ,;,; )( ,;,; )npqqnpyg xx uutygxx uut線性系統理論線性系統理論為了書寫簡潔，引入向量及矩陣符號，令為了書寫簡潔，引入向量及矩陣符號，令（1.101.10）分別為狀態向量、控制向量（輸入向量）、輸出向量。分別為狀態向量、控制向量（輸入向量）、輸出向量。1nxxx1puuu1qyyy線性系統理論線性系統理論1.1 系統的狀態空間描述再引入向量函數再引入向量函數（1.111.11）則式（則

28、式（1.81.8）和式（）和式（1.91.9）可簡記為）可簡記為（1.121.12）1( , , )( , , )( , , )nfttftx uf x ux u1( , , )( , , )( , , )qgttgtx ug x ux u( , , )( , , )tt xf x uyg x u線性系統理論線性系統理論式（式（1.12）為狀態方程和輸出方程的組合，構成了完整的）為狀態方程和輸出方程的組合，構成了完整的狀態空間描述，稱為狀態空間方程，又稱為動態方程。狀態空間描述，稱為狀態空間方程，又稱為動態方程。只要式（只要式（1.121.12）中向量函數）中向量函數 和和 的某元顯含的某元顯

29、含t t，便表明系統是時變的。定常系統不顯含便表明系統是時變的。定常系統不顯含t t，故有，故有（1.131.13）( ) f( ) g( ,)( ,) xfx uyg x u線性系統理論線性系統理論若式（若式（1.121.12）中）中 和和 的某元是的某元是 ， 和和 ， 的某類非線性函數時，便表明系統是非線性的某類非線性函數時，便表明系統是非線性的。若和的諸元都是的。若和的諸元都是 ， 和和 ， 的線性函的線性函數，才表明系統是線性的。數，才表明系統是線性的。1x( ) f( ) gnx1upu1xnx1upu線性系統理論線性系統理論對于線性系統，狀態空間方程可表為更明顯的一般形式對于線性

30、系統，狀態空間方程可表為更明顯的一般形式（1.141.14）1111122111112211122112211111221111122111( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnppnnnnnnnnnppnnppqqxat xat xat xb t ubt ubt uxat xat xat xbt ubt ubt uyct xct xct xdt udt udt uyct x221122( )( )( )( )( )qqnnqqqppct xct xbt ubt ubt u線性系統理論線性系統理論寫成向量寫成向量-

31、 -矩陣形式為矩陣形式為 （1.151.15）式中式中 、 、 、 分別稱為系統矩陣（狀態矩）、分別稱為系統矩陣（狀態矩）、輸入矩陣（控制矩陣）、輸出矩陣、耦合陣（前饋矩陣）。輸入矩陣（控制矩陣）、輸出矩陣、耦合陣（前饋矩陣）。諸系數矩陣分別為諸系數矩陣分別為( )( )( )( )tttt xAxBuyCxDu( )A t( )B t( )C t( )D t1111( )( )( )( )( )nnnna ta tta ta tA1111( )( )( )( )( )pnnpb tbttb tbtB線性系統理論線性系統理論諸系數矩陣中只要有某元時時間函數，便是時變系統。諸系數矩陣中只要有某元

32、時時間函數，便是時變系統。當諸系數矩陣的所有元都是常數時，便是定常系統。線性當諸系數矩陣的所有元都是常數時，便是定常系統。線性定常連續系統是現代控制理論的最基本研究對象，其狀態定常連續系統是現代控制理論的最基本研究對象，其狀態空間方程為空間方程為 （1.16）1111( )( )( )( )( )nqqnctcttctctC1111( )( )( )( )( )pqqpdtdttdtdtD xAxBuyCxDu線性系統理論線性系統理論式中式中A A為為 矩陣，矩陣，B B為為 矩陣，矩陣，C C為為 矩陣，矩陣，D D為為 矩陣。其狀態空間方程可用方塊圖表示，見圖矩陣。其狀態空間方程可用方塊圖

33、表示，見圖1.21.2。圖圖1.2 1.2 線性定常系統方塊圖線性定常系統方塊圖()n n()np()qp()qn線性系統理論線性系統理論實際物理系統總是含有非線性因素，但是許多實際系實際物理系統總是含有非線性因素，但是許多實際系統當和均限制在其工作點或平衡點附近做小偏差運動時，統當和均限制在其工作點或平衡點附近做小偏差運動時，其非線性方程能夠足夠精確的用線性化方程來描述，從而其非線性方程能夠足夠精確的用線性化方程來描述，從而狀態空間方程線性化。設式（狀態空間方程線性化。設式（1.131.13）所示非線性向量函數）所示非線性向量函數 和和 在工作點在工作點 臨域展開成臺勞級數并臨域展開成臺勞級

34、數并略去二次及其以上各項，有略去二次及其以上各項，有( , )f x u( , )g x u00(,)x u0000000000,00,( , )(,)( , )(,)TTTT x ux ux ux ufff x uf x uxuxuggg x ug x uxuxu線性系統理論線性系統理論式中式中 ， ，且有，且有 ，故，故 工作點處滿足工作點處滿足于是可得小擾動線性化狀態空間方程為于是可得小擾動線性化狀態空間方程為 （1.171.17）0 xxx0 uuu0 yyy0 xxx0yyy000(,) xf x u000(,)yg x u00000000,TTTT x ux ux ux uffxx

35、uAxBuxuggyxuCxDuxu線性系統理論線性系統理論當非線性系統在工作點附近運動時，式（當非線性系統在工作點附近運動時，式（1.171.17）所示）所示線性系統可以足夠的精度代替（線性系統可以足夠的精度代替（1.131.13）所示原非線性系統。）所示原非線性系統。式（式（1.171.17）中諸系數矩陣可由列向量對行向量的求導規則）中諸系數矩陣可由列向量對行向量的求導規則導出，它們分別為導出，它們分別為0000111,1,nTnnnffxxffxx x ux ufAx線性系統理論線性系統理論0000111,1,pTnnpffuuffuux ux ufBu0000111,1,nTqqngg

36、xxggxxxuxugCx0000111,1,pTqqpgguugguuxuxugDu線性系統理論線性系統理論當工作點變化時，諸系數矩陣各元的數值將更新。當工作點變化時，諸系數矩陣各元的數值將更新。需要指出的是，當所選狀態變量不同時，所得狀態方需要指出的是，當所選狀態變量不同時，所得狀態方程也不同，故狀態方程也不是唯一的。為了保證狀態方程程也不同，故狀態方程也不是唯一的。為了保證狀態方程解的存在和唯一性，既滿足初始條件解的存在和唯一性，既滿足初始條件 、在、在 （ ）作用下的解作用下的解 ，在，在 時存在且只有一個，時存在且只有一個， 不產生不產生繼電式的跳躍現象，也不存在在某時刻變為繼電式的

37、跳躍現象，也不存在在某時刻變為 ，故對函數，故對函數 應加以限制。應加以限制。0( )tx( ) tu0tt( ) tx0tt( ) tx( , , ) tf x u線性系統理論線性系統理論解唯一存在的充分必要條件是應滿足利普希茨解唯一存在的充分必要條件是應滿足利普希茨（Lipschitz）條件，對線性時變系而言，）條件，對線性時變系而言， 、 、 的元都是的的元都是的t分段連續函數；對于線性定常系統而言，分段連續函數；對于線性定常系統而言， 、都是元為有限值的常數矩陣；狀態方程中不含都是元為有限值的常數矩陣；狀態方程中不含 的導的導數項。有些實際系統的微分方程是含有輸入導數項的，為數項。有些

38、實際系統的微分方程是含有輸入導數項的，為使導出的狀態方程不含輸入導數，需適當選取狀態變量。使導出的狀態方程不含輸入導數，需適當選取狀態變量。( ) tA( ) tB( ) tuA B( ) tu線性系統理論線性系統理論式（式（1.151.15）和式（）和式（1.161.16）表示了多輸入）表示了多輸入- -多輸出線性多輸出線性系統的動態方程，當，時，即單輸入系統的動態方程，當，時，即單輸入- -單輸出線性系統的單輸出線性系統的動態方程為動態方程為 （1.181.18）這時這時u u、y y均為標量，均為標量，b b為為 維，維，a a為為 維，維，d d為為標量。標量。( )( )( )( )

39、tt uuytd t uyduxAxbxAxbcxcx(1)n(1)n線性系統理論線性系統理論系統的狀態空間描述的優越性在于：能解釋處于系統系統的狀態空間描述的優越性在于：能解釋處于系統內部的狀態信息并加以利用；一階微分方程比高階微分方內部的狀態信息并加以利用；一階微分方程比高階微分方程宜于在計算機上求解；采用向量程宜于在計算機上求解；采用向量- -矩陣形式，當各種變矩陣形式，當各種變量數目增加時，并不增加數學表達式的復雜性；可適用于量數目增加時，并不增加數學表達式的復雜性；可適用于單變量或多變量、線性或非線性、定常或時變、確定性或單變量或多變量、線性或非線性、定常或時變、確定性或隨機性各類系

40、統的描述。隨機性各類系統的描述。線性系統理論線性系統理論依據物理系統所含元件遵循的定律列寫出微分方程組，依據物理系統所含元件遵循的定律列寫出微分方程組，選擇可以量測的物理量作為狀態變量，便可導出狀態方程；選擇可以量測的物理量作為狀態變量，便可導出狀態方程；根據系統的任務或給定可確定輸出量與狀態變量間的輸出根據系統的任務或給定可確定輸出量與狀態變量間的輸出方程。下面通過舉例來說明建立系統狀態空間方程的步驟。方程。下面通過舉例來說明建立系統狀態空間方程的步驟。線性系統理論線性系統理論研究圖研究圖1.31.3所示電網絡，輸入變量為所示電網絡，輸入變量為 和和 ，輸，輸出變量為出變量為 ，試列寫該雙輸

41、入，試列寫該雙輸入- -單輸出系統的狀態空間方單輸出系統的狀態空間方程。程。圖圖1.3 1.3 例例1.11.1電網絡電網絡1e2ecucuCL1e1r3r2r4r2eLi1i2i線性系統理論線性系統理論 運用回路電流法列出三個回路的方程：運用回路電流法列出三個回路的方程：式中式中 滿足滿足消去之間變量可得網絡的二階微分方程，故網絡的獨消去之間變量可得網絡的二階微分方程，故網絡的獨立狀態變量為立狀態變量為2 2個。個。1131 12 32111223234LLcLcLdieLirri ri rdteui ri rreui rirrcu12cduCiidt線性系統理論線性系統理論由回路方程顯見，

42、若選取流過電感的電流由回路方程顯見，若選取流過電感的電流 和電容器和電容器端電壓端電壓 作為狀態變量既有明確物理意義又便于導出狀態作為狀態變量既有明確物理意義又便于導出狀態方程。電感、電容器都是儲能元件，它們未分布在一個回方程。電感、電容器都是儲能元件，它們未分布在一個回路網孔內，一定是獨立的儲能元件，獨立儲能元件的個數路網孔內，一定是獨立的儲能元件，獨立儲能元件的個數即獨立狀態變量的個數。即獨立狀態變量的個數。消去中間變量消去中間變量 ， ，可整理得到，可整理得到2 2個一階微分方程個一階微分方程Licu1i2i1222133221LLCcLCdiRRRiueedtLLLLduRRRiued

43、tCLC 線性系統理論線性系統理論式中式中寫成向量矩陣形式，有寫成向量矩陣形式，有3 431 2112312341234123411,r rrrrrRRRrrrrrrrrrrrr122133221001LLccLccRRRieiLLLLuRReRuCLCiuu線性系統理論線性系統理論試確定圖試確定圖1.41.4（a a）、（）、（b b）、）、(c)(c)所示網絡的獨所示網絡的獨立狀態變量。圖中立狀態變量。圖中 分別為輸入電壓、輸入電流，為分別為輸入電壓、輸入電流，為輸出電壓，輸出電壓， 為電容器端電壓或流過電感的電流。為電容器端電壓或流過電感的電流。 (a) (b) (c)(a) (b) (

44、c), u iyix3Cy1CR2x1x3x2Cu3Cy1CR2x1xuCiR1L2L1x2xy線性系統理論線性系統理論 并非所有的電網絡中的電容端電壓和電感電流都是獨并非所有的電網絡中的電容端電壓和電感電流都是獨立的狀態變量。圖中，立的狀態變量。圖中， 分別是獨立的狀態變量。據電路分別是獨立的狀態變量。據電路定律，圖定律，圖1.41.4（a a）有）有 ，已知其中任意兩個變，已知其中任意兩個變量，第三個隨之確定，故獨立狀態變量為量，第三個隨之確定，故獨立狀態變量為 或或 或或 。圖。圖1.41.4（b b）及（）及（c c）恒有）恒有 ，獨立狀態變量，獨立狀態變量只有一個。只有一個。, u

45、i1230 xxx13xx、12xx、23xx、12xx線性系統理論線性系統理論 設有一倒立擺安裝在傳動車上，見圖設有一倒立擺安裝在傳動車上，見圖1.51.5，圖中，圖中z z為小車相對參考系的位置，為小車相對參考系的位置， 為倒立擺偏離垂直位置的角為倒立擺偏離垂直位置的角度；擺桿長度度；擺桿長度 ，忽略其質量；，忽略其質量；m m為擺的質量；給質量為擺的質量；給質量M M為為的小車在水平方向施加控制力的小車在水平方向施加控制力u u，以便保證倒立擺豎立在，以便保證倒立擺豎立在垂直位置而不傾倒。假定擺軸、車輪軸、車輪與軌道之間垂直位置而不傾倒。假定擺軸、車輪軸、車輪與軌道之間的摩擦均忽略不計。

46、試列出倒立擺裝置的線性化狀態空間的摩擦均忽略不計。試列出倒立擺裝置的線性化狀態空間方程。方程。l線性系統理論線性系統理論圖圖1.5 1.5 倒立擺裝置倒立擺裝置uMlz線性系統理論線性系統理論解解 擺的水平位置為擺的水平位置為 ，在控制力，在控制力u u作用下小車作用下小車與擺一起將產生加速運動。據力學原理，小車與擺在水平與擺一起將產生加速運動。據力學原理，小車與擺在水平直線運動方向的慣性力應與控制力平衡，故有直線運動方向的慣性力應與控制力平衡，故有即即 擺繞擺軸旋轉運動的慣性力矩應與重力矩平衡，故有擺繞擺軸旋轉運動的慣性力矩應與重力矩平衡，故有 sinzl2222sind zdMmzludt

47、dt2cossinMm zmlmlu22sincossindmzllmgldt線性系統理論線性系統理論式和都是非線性方程。由于控制目的在于保持倒立擺式和都是非線性方程。由于控制目的在于保持倒立擺直立，只要施加的控制力合適，作出直立，只要施加的控制力合適，作出 接近于零的假定接近于零的假定將是正確的，即以將是正確的，即以 作為工作點，倒立擺相對該作為工作點，倒立擺相對該工作點進行線性化，其臺勞級數展開的結果等價于令式、工作點進行線性化，其臺勞級數展開的結果等價于令式、中中 ， ，且忽略項，且忽略項 ，即有，即有 聯立求解可得聯立求解可得 , 000,0sincos12Mm zmluzlg11mg

48、zuMMMm guMlMl 線性系統理論線性系統理論經消元可得倒立擺系統微分方程經消元可得倒立擺系統微分方程這是四階方程，獨立狀態變量為四個。選擇小車位移這是四階方程，獨立狀態變量為四個。選擇小車位移 ，小車速度小車速度 ，擺桿角位移，擺桿角位移 ，擺桿角速度，擺桿角速度 。這些易于量。這些易于量測的量作為狀態變量，其狀態向量測的量作為狀態變量，其狀態向量 定義為定義為考慮恒等式考慮恒等式 由式和可得狀態方程由式和可得狀態方程 41Mm ggZzuuMlMMlzz xTzzx,zzxAxbu線性系統理論線性系統理論式中式中假定下車位移作為輸出變量假定下車位移作為輸出變量y y，故輸出方程為，故

49、輸出方程為 式中式中010001000,000101000mgMMAbMm gMlMlyzcx1000c線性系統理論線性系統理論1.21.2 化輸入化輸入-輸出描述為狀態空間描述輸出描述為狀態空間描述有些實際系統難于利用定律來導出數學方程，需通過有些實際系統難于利用定律來導出數學方程，需通過實驗手段取得輸入、輸出數據，以適當方法確定輸入實驗手段取得輸入、輸出數據，以適當方法確定輸入- -輸輸出描述，然后再由輸入出描述，然后再由輸入- -輸出描述換成狀態空間描述。至輸出描述換成狀態空間描述。至于由實驗數據確定輸入于由實驗數據確定輸入- -輸出描述的方法，涉及系統辨識輸出描述的方法，涉及系統辨識與

50、估計，已超出本書范圍，這里僅討論已知輸入與估計，已超出本書范圍，這里僅討論已知輸入- -輸出描輸出描述如何導出狀態空間描述的問題，且限于研究單輸入述如何導出狀態空間描述的問題，且限于研究單輸入- -單單輸出線性定常系統的情況，以便對兩種基本描述的關系有輸出線性定常系統的情況，以便對兩種基本描述的關系有一個比較直觀的了解。一個比較直觀的了解。線性系統理論線性系統理論表征輸入表征輸入- -輸出描述的最常用的數學方程式系統微分方程輸出描述的最常用的數學方程式系統微分方程或系統傳遞函數；傳遞函數方塊圖也可作看作是一種輸入或系統傳遞函數；傳遞函數方塊圖也可作看作是一種輸入- -輸出描述，本節將分別研究其

51、導出狀態空間方程的方法。輸出描述，本節將分別研究其導出狀態空間方程的方法。探究中揭示了狀態空間方程的某些典型結構，為后面章節探究中揭示了狀態空間方程的某些典型結構，為后面章節的討論做準備。由輸入的討論做準備。由輸入- -輸出描述確定狀態空間描述稱為輸出描述確定狀態空間描述稱為實現問題，關于實現的一般理論和方法將在第四、九章系實現問題，關于實現的一般理論和方法將在第四、九章系統地研究。統地研究。線性系統理論線性系統理論一、由系統微分方程或系統傳遞函數建立狀態空間方程一、由系統微分方程或系統傳遞函數建立狀態空間方程設單輸入設單輸入- -單輸出線性定常連續系統的微分方程具有單輸出線性定常連續系統的微

52、分方程具有下列的一般形式下列的一般形式 (1.19) (1.19) 121210121210nnnnnnnnnyayaya ya yuuuu線性系統理論線性系統理論式中式中 分別為系統輸入、輸出變量。分別為系統輸入、輸出變量。其系統傳遞函數其系統傳遞函數 為嚴格真分式，有為嚴格真分式，有(1.20) , ,iiiiiid yd uyuu ydtdt G s 121210121210nnnnnnnnny sN ssssG su ssasasa saD s線性系統理論線性系統理論 顯見微分方程中含有輸入導數項（即顯見微分方程中含有輸入導數項（即 含有零點）。為含有零點）。為尋求下列形式的狀態空間方

53、程尋求下列形式的狀態空間方程 (1.21)(1.21)必須適當選取狀態變量與確定各系數矩陣必須適當選取狀態變量與確定各系數矩陣 。若選取下列狀態變量若選取下列狀態變量 G s,xAx+buy = cx+duAbcd、 、 、112,nnxy xyxy線性系統理論線性系統理論可求得下列狀態方程可求得下列狀態方程(1.22)(1.22)1223101121110nnnnnxxxxxa xa xaxuuu 線性系統理論線性系統理論上述一階微分方程組中第上述一階微分方程組中第n n個方程右端含有個方程右端含有u u的各階導數項，的各階導數項，若若u u是階躍或分段連續函數，則的各階導數項中將出現脈是階

54、躍或分段連續函數，則的各階導數項中將出現脈沖函數沖函數 及及 等，使狀態方程的解出現無窮等，使狀態方程的解出現無窮大的階躍，從而破壞解的存在性和唯一性。為此必須適當大的階躍，從而破壞解的存在性和唯一性。為此必須適當選擇狀態變量，以使狀態方程中不出現的導數項。狀態變選擇狀態變量，以使狀態方程中不出現的導數項。狀態變量選取方法不同，所得狀態空間方程便不同。下面介紹的量選取方法不同，所得狀態空間方程便不同。下面介紹的方案是部分常見選擇方法。它們的狀態空間方程的結構呈方案是部分常見選擇方法。它們的狀態空間方程的結構呈某種規范或標準形式。某種規范或標準形式。 t tt、線性系統理論線性系統理論按如下規則

55、設置一組狀態變量按如下規則設置一組狀態變量 (1.23)其展開式為其展開式為11,1niiiixyxxa yuin線性系統理論線性系統理論111112122112223222334411222212111223112nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxayuyayuxxayuyayuayuxxa yuyayuayua yuxxa yuyayuay3211nnua yu線性系統理論線性系統理論故有故有考慮式考慮式(1.19)，得，得故狀態方程為故狀態方程為(1.24) 11221112211nnnnnnnnnxyayuayua yu10000nxa yua xu 10

56、021111222111nnnnnnnnnnnnxa xuxxa xuxxaxuxxaxu 線性系統理論線性系統理論輸出方程為輸出方程為（1.25）故各系數矩陣為（記下標故各系數矩陣為（記下標 ）(1.26)希讀者注意希讀者注意 的形狀特征有能觀測規范型之稱的形狀特征有能觀測規范型之稱 nyxo01210001000100001onaaaaA0121on b0001To c0od ,ooA c線性系統理論線性系統理論將式將式(1.20)所示所示 分解為兩部分串聯，并引入中間分解為兩部分串聯，并引入中間變量變量 ，見圖，見圖1.6。圖圖1.6 的串聯分解的串聯分解 由第一個方塊可導出由第一個方塊

57、可導出u作輸入，以作輸入，以z作輸出的不含輸入導數作輸出的不含輸入導數項的微分方程，由第二個方塊可將項的微分方程，由第二個方塊可將y表為表為z及其各階導數的及其各階導數的線性組合，于是有線性組合，于是有 G s z s11101nnnsa sas a1110nnss u s z s y s G s線性系統理論線性系統理論 (1.27)按如下規則設置一組狀態變量按如下規則設置一組狀態變量(1.28) 11101110nnnnnzaza za zuyzzz112,nnxz xzxz 線性系統理論線性系統理論可得狀態方程可得狀態方程 (1.29) 1212101101112nnnnnnxxxxxza

58、 za zazua xa xaxu 線性系統理論線性系統理論輸出方程為輸出方程為 (1.30)故各系數矩陣為（記下標故各系數矩陣為（記下標 ）(1.31) 01121nnyxxxc0121010000100001cnaaaa A0001c b0121Tcnn c0cd 線性系統理論線性系統理論希讀者注意希讀者注意 的形狀特征有能控規范型之稱。形的形狀特征有能控規范型之稱。形如的矩陣稱為友矩陣。如的矩陣稱為友矩陣。能控與能觀測兩種規范型的系數矩陣存在下列關系能控與能觀測兩種規范型的系數矩陣存在下列關系 (1.32)式式(1.32)所示關系有對偶原理之稱。兩種規范型的各所示關系有對偶原理之稱。兩種

59、規范型的各系數矩陣均可直接根據微分方程或傳遞函數中的常系數而系數矩陣均可直接根據微分方程或傳遞函數中的常系數而列寫出來。列寫出來。,ccA bcATcoAATcobcTcocb線性系統理論線性系統理論 3.A 當當 只含相異實極點時，除了可化為能控或能觀測只含相異實極點時，除了可化為能控或能觀測規范型以外，還可化為規范型以外，還可化為A是對角型的狀態空間方程。設是對角型的狀態空間方程。設 的因式分解為的因式分解為(1.33) 式中式中 為系統的相異實極點，則為系統的相異實極點，則 可展開成部可展開成部分分式之和，即分分式之和，即 G s D s 12nD ssss1,n G s 1niiiy

60、sN scG su sD ss線性系統理論線性系統理論式中式中 為極點為極點 的留數，且的留數，且故故(1.35)若按如下規則設置一組狀態變量若按如下規則設置一組狀態變量(1.36) ici iiisN scsD s 1niiicy su ss 11,iix su sins線性系統理論線性系統理論其拉氏反變換為其拉氏反變換為 (1.37)展開展開(1.37)式，可得狀態空間方程式，可得狀態空間方程 (1.38) (1.39) 故各系數矩陣為故各系數矩陣為1iiiniiixxuyc x11 1222,nnnxxu xxuxxu1 122nnyc xc xc x線性系統理論線性系統理論 (1.40