1、通過肋片的導熱 摘要 在工程實際中，往往需要增加（對流）傳熱量，應用比較廣泛的較為有效的一種方法就是增加換熱面積，即采用肋片在材料消耗量增加較少的條件下能較多地增大換熱面積。試從微分方程對肋片進行進行數學分析，建立溫度場。 肋片，又稱翅片是指依附于基礎面上的擴展表面，圖（1）給出了四種典型的肋片結構。 問題的描述 通過肋片的導熱有個特點，就是在肋片伸展的方向上有表面的對流傳熱及輻射傳熱，因而肋片中沿導熱熱流傳遞的方向上熱流量是不斷變化的。分析肋片的導熱要回答兩個問題：從基礎面伸出部分（即肋片）的溫度沿導熱熱量傳遞的方向是如何變化的，以及通過肋片的散熱熱流量（亦可簡稱散熱量）有多少。在這將從導熱

2、微分方程出發來解決這些問題，但僅以等截面直肋為例，其余肋片暫不作分析。 從圖（1b）所示的結構中取出一個肋片來分析，如圖（2a）所示。肋片與基礎表面相交處（稱為肋根）的溫度t為已知，為不失一般性，設t大于周圍流體溫度t。該肋片與周圍環境之間有熱交換，并已知包括對流傳熱及輻射傳熱在內的復合換熱的表面傳熱系數h。現在的任務是要確定肋片中的溫度分布及通過該肋片的散熱量。 模型的建立 基本假設與符號的說明 根據所給問題的條件，可以做以下假定，從而既能使問題得到適當簡化，便于數學處理，又能保持實際問題的基本特點：（1）材料的導熱系數、表面傳熱系數h以及沿肋高方向的橫截面積Ac均各自為常數；（2）肋片溫度

3、在垂直于紙面方向（即長度方向）不發生變化，因此可取一個截面（即單位長度）來分析；（3）表面上的換熱熱阻1/h遠大于肋片中的導熱熱阻/，因而在任一截面上肋片溫度可認為是均勻的；（4）肋片頂端可視為絕熱，即在肋的頂端根據所給問題的條件，可以做以下假定，從而既能使問題得到適當簡化，便于數學處理，又能保持實際問題的基本特點：（1）材料的導熱系數、表面傳熱系數以及沿肋高方向的橫截面積均各自為常數；（2）肋片溫度在垂直于紙面方向（即長度方向）不發生變化，因此可取一個截面（即單位長度）來分析；（3）表面上的換熱熱阻遠大于肋片中的導熱熱阻/，因而在任一截面上肋片溫度可認為是均勻的；（4）肋片頂端可視為絕熱，即

4、在肋的頂端。 經過上述簡化，所研究的問題就變成了一維穩態導熱問題，如圖（2b）所示，并且可以設想，肋片各截面的溫度沿高度方向是逐步降低的（圖2c）。求解的任務就是要找出截面溫度沿高度方向的變化規律。 數學模型描述 現在來建立肋片中溫度場的數學模型描寫。首先，導熱微分方程式可簡化為 （a）現在需要進一步確定的是源項的表達式。對于所研究的問題，肋片的兩個側面并不是計算區域的地界（計算區域的邊界是x=0及x=H），但通過該兩表面有熱量的傳遞。在這種情況下，可以把通過邊界所交換的熱量折算成整個截面積上的體積源項。取長度為dx的微元段來分析。設參與換熱的截面周長為P，則表面的總散熱量為 （b）相應的微元

5、體積為dx，因而相應的折算源項為 （c）由于肋片向環境散熱，相當于負的源項，因而取負號。將式（c）代入式（a），得 （d）相應的兩個邊界條件為 （e）式（d）、（e）構成了溫度場的完整的數學描寫。 模型的分析求解 式（d）是關于溫度的二階非齊次常微分方程，為便于求解，引入過余溫度，可得關于過余溫度的齊次方程，于是有 （f） （g）其中為一常量。 式（f）是一個二階線性齊次常微分方程，其通解為 （h）其中、由兩個邊界條件式（g）確定，即 （i）最后可得肋片中的溫度分布為 （j）令，即可從上式得出肋端溫度的計算式。因，故得 （k） 由肋片散入外界的全部熱流量都必須通過處的肋根截面。將式（j）的代入

6、傅立葉定律的表達式，即的此熱流量為 （l）式（j）、（k）、（l）中的雙曲函數和的數值可從數學手冊中查出。 模型的改進與推廣以上根據肋片末梢端面絕熱的近似邊界條件式（g）得到的理論解，應用于大量實際肋片可以獲得實用上足夠精確的結果。對于必須考慮肋片末梢端面散熱的少數場合，其理論解可以參看文獻。值得指出，在計算時，有一種巧妙的簡化處理方法可代替較繁的理論解。以圖1所示的直肋為例，假如肋厚為，則可以用假想高度代替實際高，然后仍按式（l）計算。這種處理，實際上是基于這樣一種想法，即為了照顧末梢端面的散熱而把端面面積鋪展到側面上去。值得指出，實際上沿整個肋表面換熱系數常常是不均勻的，這時可以按其平均值

7、來計算。如果出現嚴重的不均勻性，則問題的求解就需要采用其他的數學分析方法。肋效率與肋面總效率前面指出，采用肋片主要是為了增加換熱量，我們自然很關心采用一個肋片能增加多少換熱量？為了表征肋片散熱的有效程度，引進一個稱為肋效率的新參數。它有以下的物理意義： （m） 已知肋效率即可計算出肋片的實際散熱量。對于等截面直肋，其肋效率為 （n） 對于直肋，假定肋片長度比其厚度要大得多，所以可取單位長度來研究。其中參與換熱的周界，于是有 （o）對于其他形狀肋片的效率暫不作分析。肋面總效率 以上討論的是單個肋片的效率，實際上肋片總是成組地被采用的，如圖圖所示。設流體的溫度為，流體與整個表面的表面傳熱系數為，肋

8、片的表面極為，兩個肋片之間的根部表面積為，根不溫度為，則所有肋片與根部面積之和為，則。計算該表面的對流換熱量時，若以為溫差，則有：其中稱為肋面總效率。顯然，肋面總效率高于肋片效率，在換熱器設計中有所應用。 肋片的選用與最小重量肋片 在大多數條件下，尤其是對于航天器而言，研究在一定的散熱量下的最小重量的肋片具有重要意義，在此不作分析。在實際應用的時候應準確的理解該模型，才能熟練地運用，并能夠將一些表面上看來與肋片風馬牛不相及的問題與肋片導熱問題聯系起來，例如溫度計套管的測量精確問題，在此暫不作分析。附圖： 圖（1） 肋片的典型結構圖（2） 通過肋片的熱量傳遞圖（3）肋化表面示意圖雙曲函數：雙曲正弦： 雙曲余弦： 雙曲正切： 參看文獻：1 姜啟源編 數學模型. 北京：高等教育出版社 19932 楊