1、無內含報酬率計算方法計算內含報酬率是長期投資決策分析中重要方法之一， 它優于其他投資分析的主要原因在一于：計算中考慮到貨幣的時間價值。其理論介紹多見于管理會計 、 投資決策等教科書，其計算方法多囿于插值法（內插值法、外插值法） 、幾何法（平面幾何相似三角形線段比） 。近期，關于內含報酬率的解法問題，又在一些會計刑物展開紛紛揚揚、連篇累牘的討論。以下筆者將多年研究的成果內含報酬率新的解法理論介紹于后。(1)內含報酬率計算公式的數學描述內含報酬率是指項目壽命期內， 資金流入量的現值總額與資金流出量現值總額相等面凈現值等于零時的折現率。 現金凈流量則是項目投資所引起的未來的現金流入量減流出量后的凈額

2、。為便于公式的推導，將下文中所涉及的因素用以下符號表示：N-凈現值；NCFt第 t 期的現金凈流量；i利息率，折現率；NCF0初始投資額；I-內含報酬率；n項目有效期；a、b、c 分別為常數。根據現金凈流量及凈現值定義，凈現值的通項公式可用以下關系式表示：N=NCF1（1+i）-1+ NCF2（1+i）-2+ NCFt（1+i）-tNCF0=01)1 (NCFiNCFttnt（1）下面我們來看 i 變動對 N 的影響， 也即討論值現值與折現率、 折現率與內含報酬率的關系：當 i=0 時：N0=Ni0lim=tntiNCF10lim(1+i)-t-NCF0=tntNCF1- NCF0(2)即當折

3、現率趨于零時，凈現值恰是未折現的現金流入量與流出量之間的差。當 i=I 時NI=tntNCF1(1+i)-t-NCF0=0(3)無即內含報酬率正是凈現值為零時的折現率，它表明了折現率與內含報酬率的關系。當 i時：N=tntiNCFN1limlim(1+i)-t-NCF0=-NCF0（4）表明凈現值趨于原始投入的相反值，現金流入量趨于零，N 的值汽車于 N=-NCF0直線。圖示一：以上 i 變動與凈現值的關系，以及折現率與內含報酬率的關系，可用解析圖一表示：由以上數學分析和圖示解析可見：i 由 0時，N 由 N0NCF0，N 隨 i 增大而減少，隨 i 減小而增大，這說明凈現值與折現率之間存在著

4、反比例曲線關系。(2)關于內含報酬率的近似值的問題現行的內含報酬率的解多采用插值法（也有用平面幾何相似三角形線段比求得） ，其實質是以直代曲，故通常我們求出的“內含報酬率” 是其近似值，即凈現值與折現率之間雖是反比例曲線關系，但我們假設小區間內或瞬間表現為直線，這樣就可以求出 I 的近似值。以下，我們通過圖示和計算實例來討論選擇不同測試點對內含報酬率的影響。例某企業擬投資 340 萬元建一產業項目，投資建設期為 0 年。項目有效經營期為 10年，期末無殘值，每年的現金凈流量為 60 萬元。即已知：N0=340，N110=60，n=10。則該投資項目在不同折現率條件下的凈現值如下表所示：折現率(

5、i)10%11%12%13%14%年金值系數3.1455.8895.6505.4265.216凈觀值（I）28.713.34-1-14.44-27.04當測試值選擇在 P 兩側臨近點：11%、12%時，則內插法計算（見解折圖示二）圖示二：P（I,0）內含報酬率點凈現值與折現率的關系線iN-NCF0(0，N-NCF0)(0，0)(0，N0無折現率：%1%12%?%11X凈現值：34.14134.13034.13x=13.34/14.34=0.930265i=11%+0.930365%=11.930265%這里“以直代曲”計算出的 i=11.930265I，它只是內含報酬率的近似值。當選擇測試值在

6、 P 點一側（同向）10%、11%時，適用外插法計算（見解析圖三）圖示三：iC(i，0)A(11%，13.34)B（12%，-1）P（I，0）(0，0)N無折現率：x%?%1%11%10凈現值：7 .28034.137 .28x/(1+x)=13.34/28.7x=13.34/15.36=0.86849B(11%，13.34)A(10%，28.7)C（i，0）(0，0)N無i=11%+0.86849%=11.86849%可見，求得的內含報酬率的近似值 i11.930265%I。 通過以上選擇不同測試點計算結果比較得知：(1)“以直代曲”計算出的 i 值，只是 I 的近似值； （2）當測試點選擇

7、在 P 點兩側時，計算出的內含報酬率的近似值大于 I； （3）當測試點選擇在 P 點同側時，計算出的內含報酬率的近似值 i 小于 I；(4)測試點越臨近 P 點，其近似于 I 的值精確度越高。(3)3.內含報酬率新角解析公式法 1（直線性方程式）理論依據。設凈現值與折現率之間存在著直線性關系，有 ai+bN=C 成立，那么只要測算出兩點 A、 （i，N1） 、B（i2，N2） ，就能得出凈現值與折現率的特定式；再根據 N=0 時，求出 i 即內含報酬率 I 的近似值，其解析圖形見圖示五。由 A、B 兩點知：)6()5(2211CbNaiCbNai（5）-（6）得：a(i1-i2)+b(N1-N

8、2)=0b/a=-(i1-i2)/(N1-N2)(7)又c/a=i1+N1b/a=i1-N1(i1-i2)/(N1-N2)(8)將一般式變為：i=c/a-Nb/a（9）將（7） 、 （8）代入(9)得：i=i1-N1(i1-i2)/(N1-N2)+ (i1-i2)N/(N1-N2)A(i1，N1)AB： ai+bN=c內含報酬率點P(i,0)P(i，0)B(i2，N2)無= i1+(N1-N2) (i1-i2)/(N1-N2)當 N=0 時i= i1+N1(i1-i2)/(N1-N2)（10）實例計算。為便于與“插值法”計算結果對比，仍用以上例題，并選相應的測蔗點代入計算。(1)取折現率分別為

9、 11%、12%的測試值代入(10)式：i=11%+13.34(12%-11%)/13.34-(-1)=11%+13.34/1434=11.930265%(2)取折現率分別為 10%、11%的測試值代入(10)式：i=10%+28.7(11%-10%)/(28.7-13.34)=10%28.7/1536=11.86849%(3)取折現率分別為 10%、14%的測試值代入(100 式：i=10%+28.7(14%-10%)/28.7-(-27.04)=10%+0.0205956=12.05956%(4)內含報酬率新解一解析公式法 2(反比例曲線性方程式)理論依據。根據凈現值通項公式(1)，假設折

10、現率與凈現值的關系可用以下反比例曲線方程式描述：N=a/(1+i)+b同樣，我們只要測試兩次，就可計算出內含報酬率的近似值，其解析圖見圖示六其公式推導如下：已知：A(i1，N1)、B(i2、N2)兩點圖示六：無有)12()11()1/()1/(2211biaNbiaN由（11）-（12）得：N1-N2=a(1+i1)-1-(1+i2)-1a=(N1-N2)(1+i1)(1+i2)(i2-i1)-1(13)將(13)代入(11)得：b= N1-(N1-N2)(1+i1)(1+i2)(i2-i1)-1(14)當 N=0 時，I=-(a+b)/b（15）將(13)、 （14）代入(15)得：N=a/

11、(1+i)+bA(i1，N1)內含報酬率點P(i，0)B(i2，N2)N(0，0)無i=)/()1)()(1)()1)(1)(122211112221112121iiiNNNiiiNNNiiNN=i2N1(i1+1)-i1N2(i2+1)/N1(i1+1)-N2(i2+1)(16)實例計算選折現率分別為 11%、12%的測試值代入(16)式（仍用插值法中舉例）i=) 1%12() 1() 1%11(34.13) 1%12() 1(%11) 1%11(34.13%12=)12. 18074.14(10032.126888.177=74.15920088.190=11.92968%選折現率分別為

12、10%、11%的測試值代入(16)式：i=) 1%11(34.13) 1%10(7 .28) 1%11(34.13%10) 1%10(7 .28%14=)8074.1457.31(100074.14827.347=26.1676196.199=11。88336%選擇折現率分別為 10%、14%的測試值代入(16)式：i=) 1%14()04.27() 1%10(7 .28) 1%14()04.27(%10) 1%10(7 .28%14無=)236.3157.31(10036.31298.441=754.34/6280.6=12.01064%(5)三種方法計算結果比較以上三種方法取相同測試點的計

13、算結果見下表：采用方法與取點兩側近點測試值同向測試值兩側遠點測試值插值法（或幾何法）（以直代曲）11.930265%11.86849%12.05956%解析公式法 1（以直代曲）11.930265%11.86849%12.05956%解析公式法 2（以曲代曲）11.92968%11.88336%12.01064%公式法 2 與以上方法計算結果比較-5.8510-51.48710-4-4.89210-4計算結果表明：1. “插值法” 、 “幾何法” 、 “解析公式法 1” ，實質都是以直代曲的比例法，計算結果一致；1.在以直代曲的計算中，測試值臨近 P 點（內含報酬率點）兩側時，救出的II，而采用以曲代曲解析公式法 2 計算出的 i 小于用以上各法計算出的內含報酬率近似值，這說明公式法 2 計算出的結果精確度高；3.當測試值取 P 點同向一側時，以直代曲計算出的iI，而以曲代曲計算出的內含報酬率的近似值大于前幾法求出的 i 值，這也同樣