1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上插值法的應(yīng)用與比較 信科1302 萬賢浩 1格朗日插值法在數(shù)值分析中，拉格朗日插值法是以十八世紀(jì)約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一種多項式插值方法.許多實(shí)際問題中都用來表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律，而不少函數(shù)都只能通過實(shí)驗和觀測來了解.如對實(shí)踐中的某個量進(jìn)行觀測，在若干個不同的地方得到相應(yīng)的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個多項式，其恰好在各個觀測的點(diǎn)取到觀測到的值.這樣的多項式稱為拉格朗日（插值）多項式.數(shù)學(xué)上來說，拉格朗日插值法可以給出一個恰好穿過二維平面上若干個已知點(diǎn)的多項式函數(shù).拉格朗日插值法最早被數(shù)學(xué)家愛德華·華林于1779年發(fā)現(xiàn)，不久

2、后由萊昂哈德·歐拉再次發(fā)現(xiàn).1795年，拉格朗日在其著作師范學(xué)校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程中發(fā)表了這個插值方法，從此他的名字就和這個方法聯(lián)系在一起.1.1拉格朗日插值多項式圖1已知平面上四個點(diǎn)：(9, 5), (4, 2), (1, 2), (7, 9)，拉格朗日多項式：（黑色）穿過所有點(diǎn).而每個基本多項式：, 以及各穿過對應(yīng)的一點(diǎn)，并在其它的三個點(diǎn)的值上取零.對于給定的若個點(diǎn),，對應(yīng)于它們的次數(shù)不超過的拉格朗日多項式只有一個.如果計入次數(shù)更高的多項式，則有無窮個，因為所有與相差的多項式都滿足條件.對某個多項式函數(shù)，已知有給定的個取值點(diǎn)：,其中對應(yīng)著自變量的位置，而對應(yīng)著函數(shù)在這個位置的取值.假設(shè)

3、任意兩個不同的都互不相同，那么應(yīng)用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為：，其中每個為拉格朗日基本多項式（或稱插值基函數(shù)），其表達(dá)式為：，拉格朗日基本多項式的特點(diǎn)是在上取值為1，在其它的點(diǎn)， 上取值為0.例：設(shè)有某個多項式函數(shù)，已知它在三個點(diǎn)上的取值為：· ，· ，· ，要求的值.首先寫出每個拉格朗日基本多項式：；然后應(yīng)用拉格朗日插值法，就可以得到的表達(dá)式（為函數(shù)的插值函數(shù)）：，此時數(shù)值就可以求出所需之值：.1.2插值多項式的存在性與唯一性 存在性對于給定的個點(diǎn)：拉格朗日插值法的思路是找到一個在一點(diǎn)取值為，而在其他點(diǎn)取值都是的多項式.這樣，多項式在點(diǎn)取值為，

4、而在其他點(diǎn)取值都是.而多項式就可以滿足，在其它點(diǎn)取值為的多項式容易找到，例如：，它在點(diǎn)取值為：.由于已經(jīng)假定兩兩互不相同，因此上面的取值不等于.于是，將多項式除以這個取值，就得到一個滿足“在取值為，而在其他點(diǎn)取值都是的多項式”：，這就是拉格朗日基本多項式.唯一性次數(shù)不超過的拉格朗日多項式至多只有一個，因為對任意兩個次數(shù)不超過的拉格朗日多項式：和，它們的差在所有個點(diǎn)上取值都是,因此必然是多項式的倍數(shù).因此，如果這個差不等于，次數(shù)就一定不小于.但是是兩個次數(shù)不超過的多項式之差，它的次數(shù)也不超過，所以也就是說.這樣就證明了唯一性.1.3性質(zhì)拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多項式（由某一組 確定）可

5、以看做是由次數(shù)不超過的多項式所組成的：的一組.首先，如果存在一組：使得，那么，一方面多項式是滿足的拉格朗日插值多項式，另一方面是零多項式，所以取值永遠(yuǎn)是.所以，這證明了 是線性無關(guān)的.同時它一共包含個多項式，恰好等于的維數(shù).所以 構(gòu)成了 的一組基底.拉格朗日基本多項式作為基底的好處是所有的多項式都是齊次的（都是次多項式）.1.4優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)拉格朗日插值法的公式結(jié)構(gòu)整齊緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計算中，當(dāng)插值點(diǎn)增加或減少一個時，所對應(yīng)的基本多項式就需要全部重新計算，于是整個公式都會變化，非常繁瑣.這時可以用重心拉格朗日插值法或牛頓插值法來代替.此外，當(dāng)插值點(diǎn)比較多的時候，拉格朗日插值多項式

6、的次數(shù)可能會很高，因此具有數(shù)值不穩(wěn)定的特點(diǎn)，也就是說盡管在已知的幾個點(diǎn)取到給定的數(shù)值，但在附近卻會和“實(shí)際上”的值之間有很大的偏差.這類現(xiàn)象也被稱為，解決的辦法是分段用較低次數(shù)的插值多項式.2 重心拉格朗日插值法重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一種改進(jìn).在拉格朗日插值法中，運(yùn)用多項式，圖（2）拉格朗日插值法的數(shù)值穩(wěn)定性：如圖(2)，用于模擬一個十分平穩(wěn)的函數(shù)時，插值多項式的取值可能會突然出現(xiàn)一個大的偏差（圖中的14至15中間）可以將拉格朗日基本多項式重新寫為：，定義重心權(quán)，上面的表達(dá)式可以簡化為：，于是拉格朗日插值多項式變?yōu)椋?， （1）即所謂的重心拉格朗日插值公式（第一型）或改進(jìn)拉格朗日

7、插值公式.它的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)插值點(diǎn)的個數(shù)增加一個時，將每個都除以，就可以得到新的重心權(quán)，計算復(fù)雜度為，比重新計算每個基本多項式所需要的復(fù)雜度降了一個量級.將以上的拉格朗日插值多項式用來對函數(shù)插值，可以得到：，因為是一個多項式.因此，將除以后可得到：， （2）這個公式被稱為重心拉格朗日插值公式（第二型）或真正的重心拉格朗日插值公式.它繼承了（1）式容易計算的特點(diǎn)，并且在代入值計算的時候不必計算多項式它的另一個優(yōu)點(diǎn)是，結(jié)合切比雪夫節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值的話，可以很好地模擬給定的函數(shù)，使得插值點(diǎn)個數(shù)趨于無窮時，最大偏差趨于零.同時，重心拉格朗日插值結(jié)合切比雪夫節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值可以達(dá)到極佳的數(shù)值穩(wěn)定性.第一型拉格朗日插值

8、是向后穩(wěn)定的，而第二型拉格朗日插值是向前穩(wěn)定的，并且勒貝格常數(shù)很小.3.分段線性插值對于分段線性插值，我們看一下下面的情況.3.1問題的重訴 已知,用分段線性插值法求插值，繪出插值結(jié)果圖形，并觀察插值誤差.1.在-6，6中平均選取5個點(diǎn)作插值；2.在-6，6中平均選取11個點(diǎn)作插值；3.在-6，6中平均選取21個點(diǎn)作插值；4.在-6，6中平均選取41個點(diǎn)作插值.3.2問題的分析在數(shù)值計算中，已知數(shù)據(jù)通常是離散的，如果要得到這些離散點(diǎn)以外的其他點(diǎn)的函數(shù)值，就需要根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)進(jìn)行插值.而本題只提供了取樣點(diǎn)和原函數(shù).分析問題求解方法如下：（1）利用已知函數(shù)式計算取樣點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值；將作為兩個等長

9、的已知向量，分別描述采樣點(diǎn)和樣本值.因此被插值函數(shù)是一個單變量函數(shù)，可利用一維插值處理該數(shù)據(jù)插值問題.一維插值采用的方法通常有拉格朗日多項式插值（本題采用3次多項式插值），3次樣條插值法和分段線性插值.（2）分別利用以上插值方法求插值.以0.5個單位為步長劃分區(qū)間-6，6，并將每一點(diǎn)作為插值函數(shù)的取樣點(diǎn).再根據(jù)插值函數(shù)計算所選取樣點(diǎn)的函數(shù)值.最后再利用所得函數(shù)值畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，并與原函數(shù)的圖象進(jìn)行對比.3.3問題的假設(shè) 為了解決上述分析所提到的問題，本題可以作出如下假設(shè)：（1）假設(shè)原函數(shù)僅作為求解取樣點(diǎn)對應(yīng)的樣點(diǎn)值的函數(shù)關(guān)系式.而其他各點(diǎn)的函數(shù)值都是未知量，敘用插值函數(shù)計算. （2）為了得

10、到理想的對比函數(shù)圖象，假設(shè)為已知的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù).可以選取0.5個單位為步長劃分區(qū)間-6，6，分別計算插值函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)在該區(qū)間的取樣點(diǎn)的函數(shù)值.畫出函數(shù)圖象進(jìn)行對比. 3.4分段線性插值原理給定區(qū)間, 將其分割成，已知函數(shù)在這些插值結(jié)點(diǎn)的函數(shù)值為；求一個分段函數(shù),使其滿足： (1) ，； (2) 在每個區(qū)間上, 是個一次函數(shù).易知,是個折線函數(shù), 在每個區(qū)間上,于是, 在上是連續(xù)的，但其一階導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的.于是即可得到如下分段線性插值函數(shù)：,其中 3.5問題的求解在MATLAB中實(shí)現(xiàn)分段線性插值，最近點(diǎn)插值，3次多項式插值，3次樣條插值的命令為interp1,其調(diào)用格式為: 1=interp1(,

11、1，method)函數(shù)根據(jù),的值，計算函數(shù)在1處的值.,Y是兩個等長的已知向量，分別描述采樣點(diǎn)和樣本值，1是一個向量或標(biāo)量，描述欲插值點(diǎn)，1是一個與1等長的插值結(jié)果.method是插值方法，包括：linear：分段線性插值.它是把與插值點(diǎn)靠近的兩個數(shù)據(jù)點(diǎn)用直線連接，然后在直線讓選取對應(yīng)插值點(diǎn)的數(shù).nearest：近點(diǎn)插值法.根據(jù)已知兩點(diǎn)間的插值點(diǎn)與這兩點(diǎn)間的位置遠(yuǎn)近插值.當(dāng)插值點(diǎn)距離前點(diǎn)遠(yuǎn)時,取前點(diǎn)的值,否則取后點(diǎn)的值.cubic：3次多項式插值.根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出一個3次多項式，然后根據(jù)多項式進(jìn)行插值.spline：3次樣條插值.在每個分段（子區(qū)間）內(nèi)構(gòu)造一個3次多項式，使其插值函數(shù)除滿足插值

12、條件外，還要求個節(jié)點(diǎn)處具有光滑條件.再根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出樣條函數(shù)后,按照樣條函數(shù)插值.運(yùn)用Matlab工具軟件編寫代碼，并分別畫出圖形如下：(一)在-6，6中平均選取5個點(diǎn)作插值：（二）在-6，6中平均選取11個點(diǎn)作插值：（三）在-6，6中平均選取21個點(diǎn)作插值：（四）在-6，6中平均選取41個點(diǎn)作插值3.6 分段插值方法的優(yōu)劣性分析從以上對比函數(shù)圖象可以看出，分段線性插值其總體光滑程度不夠.在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述是函數(shù)(曲線) 的階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有階光滑性.一般情況下，階數(shù)越高光滑程度越好.分段線性插值具有零階光滑性，也就是不光滑.3次樣條插值就是較低次數(shù)的多項式而達(dá)到較高階光滑性的方法.總體上分段線性插值具有