1、概率論與數理統計概率論與數理統計講課系統講課系統數學系列基礎課程數學系列基礎課程CAICAI課題組課題組二二000000年七月年七月南京南京 講授: 夏樂天 河海大學數學系列基礎課程河海大學數學系列基礎課程CAICAI本課程與其他數學基礎課的關系本課程與其他數學基礎課的關系l微積分微積分 （高等數學）（高等數學）l線性代數線性代數序序 言言三三. .理論聯系實際最活躍的學科理論聯系實際最活躍的學科 1. 1.應用性應用性: : 概率統計的理論一直在廣泛地應用于工農業、軍事、科概率統計的理論一直在廣泛地應用于工農業、軍事、科技等領域技等領域 2.2.滲透性滲透性: : 與基礎學科、工程學科結合可

2、產生新的學科和研究方向。與基礎學科、工程學科結合可產生新的學科和研究方向。 例如：信息論、系統論、控制論、排隊論、可靠性理論、可靠度分析、平差分析、統計物理、水文統計、 數量經濟等四四. .概率論的內容構成概率論的內容構成基礎部分基礎部分-概率論概率論: : 古典概率古典概率 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 分布函數分布函數 數字特征等數字特征等應用部分應用部分-數理統計數理統計: : 統計量構造統計量構造 參數估計參數估計 假設檢驗假設檢驗 回歸分析等回歸分析等深入部分深入部分-隨機過程隨機過程: : 馬爾可夫過程馬爾可夫過程 平穩過程平穩過程 隨機分析等隨機分析等 概概 率率 論論l第一

3、章 隨機事件與概率l第二章 離散型隨機變量及其分布l第三章 連續型隨機變量及其分布l第四章 隨機變量的數字特征l第五章 大數定律和中心極限定理第一章 隨機事件和概率l隨機試驗隨機試驗l樣本空間、隨機事件樣本空間、隨機事件l頻率和概率頻率和概率l古典概型古典概型l幾何概型幾何概型l概率的公理化結構概率的公理化結構l條件概率條件概率l事件的獨立性事件的獨立性l貝努里概型貝努里概型1.1 隨機試驗隨機試驗一、隨機試驗一、隨機試驗(簡稱簡稱“試驗試驗”)的例子的例子 隨機試驗可表為隨機試驗可表為E E1: 拋一枚硬幣，分別用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 拋兩枚硬幣，考慮可能出現的結果；

4、 E3: 擲一顆骰子，考慮可能出現的點數i; E4: 擲兩顆骰子，考慮可能出現的結果及點數之和；二、隨機試驗的特征二、隨機試驗的特征E5: 記錄電話交換臺一分鐘內接到的呼叫次數；E6: 對一目標進行射擊，直到命中為止，考慮其結果;E7: 在一批燈泡中任取一只，測其壽命。 1.可在相同條件下重復進行; 2.試驗結果不止一個,但能確定所有的可能結果; 3.一次試驗之前無法確定具體是哪種結果出現。1.2 樣本空間、隨機事件樣本空間、隨機事件一、樣本空間一、樣本空間 1、樣本空間：所有試驗結果組成的集合稱為樣本空間，記為=； 2、樣本點: 樣本空間的元素稱為樣本點，樣本點即試驗結果，記為. 例如例如

5、對應E1的樣本空間為=H，T； 對應E2的樣本空間為 =(H,H), (H, T), (T, H), (T, T)； 對應E5的樣本空間為=0, 1, 2, ；二、隨機事件二、隨機事件 1.定義定義 試驗中可能出現或可能不出現的事情叫“隨機事件”, 簡稱“事件”. 2.基本事件基本事件: 不可能再分解的事件, 即試驗的結果，常記為“”. 3.兩個特殊事件兩個特殊事件: 必然事件、不可能事件. 任何事件均是某些樣本點組成的集合任何事件均是某些樣本點組成的集合. 例例 對于試驗E2與E5 ，以下A 、 B即為兩個隨機事件: A“至少出一個正面” (H,H), (H, T), (T, H)； B“至

6、少m次少于n次”m, m+1, , n1。三、事件之間的關系三、事件之間的關系 1.包含關系包含關系:“ A發生必導致發生必導致B發生發生”記為記為A B AB A B且且B A.2.和事件和事件: A B3.積事件積事件: A BAB4.差事件、對立事件差事件、對立事件(余事件余事件)：AB稱為稱為A與與B的差事件的差事件 5.互不相容性：互不相容性：AB A、B互為互為對立事件對立事件 A B , 且且AB ;BABA;BBB 易知的對立事件稱為四、事件與集合對應關系類比四、事件與集合對應關系類比 概率論概率論 集合論集合論 樣本空間樣本空間 事件事件 子集子集 事件事件A A發生發生 A

7、 事件事件A A不發生不發生 A 必然事件必然事件 不可能事件不可能事件 事件事件A A發生導致事件發生導致事件B B發生發生 A B概率論概率論 集合論集合論事件A與B至少有一個發生 AB事件A與B同時發生 AB(或AB)事件A發生而B不發生 AB事件A與B互不相容 AB五、事件的運算五、事件的運算1、交換律：、交換律：ABBA，ABBA2、結合律、結合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)3、分配律、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)4、對偶、對偶(De Morgan)律律： .,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推廣1.3 頻率與概率頻率與

8、概率一、頻率一、頻率 1.定義定義 事件事件A在在n次重復試驗中出現次重復試驗中出現nA次，則比值次，則比值nA/n稱為事件稱為事件A在在n次重復試驗中出現的頻率，記為次重復試驗中出現的頻率，記為fn(A). 即即 fn(A) nA/n.2.頻率的性質頻率的性質(1) 非負性： fn(A) 0；(2) 規范性： fn()1；(3) 可加性：若AB ，則 fn(AB) fn(A) fn(B).實踐證明：當試驗次數實踐證明：當試驗次數n增大時，增大時， fn(A) 逐漸逐漸 趨向一個定值趨向一個定值。二二. 概率概率 歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質硬幣時，出現正反面的機會均等。 實驗者實驗

9、者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.50050.501.定義定義 若對隨機試驗E所對應的樣本空間中的每一事件 A，均賦予一實數P(A)，集合函數P(A)滿足條件：(1)非負性非負性：對任一事件A，有P(A) 0；(2) 規范性規范性： P()1；(3) 可列可加性可列可加性：設A1，A2, , 是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1

10、) P(A2)+ . (1.1)則稱P(A)為事件A的概率概率。 2.概率的性質概率的性質(1) 不可能事件概率零不可能事件概率零：P()0； (1.2)(2) 有限有限可加性可加性：設A1，A2, ,An , 是n個兩兩互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,則有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An); (1.3)(3) 單調不減性單調不減性：若事件BA，則P(B)P(A) , 且 P(BA)P(B)P(A)； (1.4)(6) 可分性可分性：對任意兩事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB ) . (1.7)(4) 互補性互補性

11、：P(A)1 P(A)，且P(A) 1 ; (1.5)(5) 加法公式加法公式：對任意兩事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) (1.6)公式(1.6)可推廣到任意n個事件A1，A2，An的情形；一般的，有如下定義定義定義 事件組A1，A2，An (n可為)，稱為樣本空間的一個劃分(或完備事件組)，若滿足：., 2 , 1,),(,)(;)(1njijiAAiiAijinii1.4 古典概型古典概型一、古典概型的特征一、古典概型的特征1.有限性：樣本空間1, 2 , , n ;2.等可能性：P(i)1/n, (i1, 2, , n). 古典概型也稱為等可能概型。古典概型也稱為等可

12、能概型。二、古典概型的計算公式二、古典概型的計算公式 P(A)n)A(knkA中樣本點總數中所含樣本點數 設事件設事件A中包含中包含k個樣本點個樣本點(基本事件基本事件)例例1、擲一顆骰子，求出6點的概率。例例2、做試驗E：“將一枚硬幣連拋2次” ,觀測出正、反面的情形。 (1) 寫出E的樣本樣本空間； (2) 設A1“恰有一次出正面” ，求P(A1)； (3) 設A2“至少出一次正面” ，求P(A2).例例3、袋中有6只乒乓球，其中4白2紅，現從中取二次，每次取一只(分別考慮有放回有放回和無放回無放回取球的情形)。求(1) 全是白球的概率；(2) 兩球色相同的概率；(3) 至少一只白球的概率

13、。三、古典概型的幾類基本問題三、古典概型的幾類基本問題1、抽球問題、抽球問題 設袋中有N個球，其中有M個白球，現從中任抽n個球，問這n個球中恰有k個白球的概率是多少?2、取數問題、取數問題 設有17七位數字，從中任取三個不同的數字組成一個三位數，求這三位數是偶數的概率。3、分配問題、分配問題 把n個球隨機地分配到m個盒子中去，問每盒中至多有一球的概率是多少？4、配對問題、配對問題 從五雙不同的鞋子中任意地取出四只，問其中至少有兩只成雙的概率是多少?例例4、設有n 個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的任意一間去住(nN)，求下列事件的概率：(1)指定的n個房間每個房間各有一人;(2)恰好有

14、n個房間，每個房間各有一人。例例5、某班級有n 個人(n365)，問至少有兩個人的生日在同一天的概率有多大？ (例1.11 p10)例例6、(De Mere問題)一顆骰子擲4次至少得一個六點與兩顆骰子擲24次至少得一個雙六，這兩件事，哪一個有更多的機會遇到？P1=1(5/6)4 = 0.5177; P2=1(35/36)24 = 0.4914.1.5 幾何概型幾何概型一、幾何概型的特征一、幾何概型的特征1.基本事件數無限基本事件數無限：， 充滿區域，且可測 ；2.等可能性等可能性：隨機點落在某區域g的概率與區域g的測度(長度、面積、體積等)成正比，而與其位置及形狀無關。二、幾何概型的計算公式二

15、、幾何概型的計算公式的測度的測度 g)A(Pg其中Ag表示“在區域中隨機地取一點落在區域g中”這一事件。 例例2、(蒲豐(Buffon)投針問題)1777年法國科學家蒲豐提出了下列著名問題： 平面上畫著一些平行線，它們之間的距離都等于a，向此平面上任投一長度為l(I0，(i1，n)，則對任何事件BF，有 ) 5 . 7 . 1 ()|()()(1niiiABPAPBP式(1.7.5)就稱為全概率公式全概率公式。例例3、某廠有三個車間生產同一種產品，已知三個車間的產量分別占總產量的1/4、1/4、1/2，且次品率分別為 2、1、3，試求該廠這種產品的次品率。定理定理2、設A1，, An是的一個劃

16、分，且P(Ai) 0，(i1，n)，則對任何事件BF，有 )6 . 7 . 1 (), 1( ,)|()()|()()|(1njABPAPABPAPBAPniiijjj式(1.7.6)就稱為貝葉斯公式貝葉斯公式或逆概率公式逆概率公式。例例4、 在無線電通訊中，由于隨機因素的影響，當發出短號“” 時, 收到“” 、“不清” 和長號“” 的概率分別是0.7、0.2和0.1，當發出長號“” 時，收到“” 、“不清” 和 “” “的概率分別是0.9、0.1和0.若在整個發報過程中信號“” 及“” 出現的概率分別是0.6和0.4，當收到信號“不清” 時，試推測原發信號。 1.8 事件的獨立性事件的獨立性

17、一、兩事件獨立一、兩事件獨立定義定義1、設A、B是兩事件，若 P(B)P(B|A) (1.8.1)則稱事件A與B相互獨立。式(1.8.1)等價于： P(AB)P(A)P(B) (1.8.2)二、多個事件的獨立二、多個事件的獨立定理、定理、以下四件事等價： (1)事件A、B相互獨立；(2)事件A、B相互獨立； (3)事件A、B相互獨立；(4)事件A、B相互獨立。定義定義2、若三個事件A、B、C滿足： (1)P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨立兩兩相互獨立；若在此基礎上還滿足： (2) P(ABC)P(A)P(

18、B)P(C), (1.8.3)則稱事件A、B、C相互獨立相互獨立。三、事件獨立性的應用三、事件獨立性的應用 一般地，設A1，A2，An是n個事件個事件，如果對任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik )P(A i1)P(A i2)P(A ik) (1.8.4)稱n個事件個事件A1，A2，An相互獨立相互獨立。1、加法公式的簡化加法公式的簡化：若事件A1，A2，An相互獨立, 則 P(A1A2 An)5 . 8 . 1 ()A(P)A(P)A(P1n212、在可靠性理論上的應用在可靠性理論上的應用1.9貝努里概型貝努里概型一、貝努里一、貝努里(

19、Bernoulli)概型概型 1.只有兩個可能結果的試驗稱為只有兩個可能結果的試驗稱為貝努里試驗貝努里試驗，常記為，常記為E。E也叫做也叫做“成功成功失敗失敗”試驗試驗,“成功成功” 的概率常用的概率常用pP(A)表示，其中表示，其中A“成功成功”。 2.把把E重復獨立地進行重復獨立地進行n次，所得的試驗稱為次，所得的試驗稱為n重貝努里重貝努里試驗試驗，記為，記為En。 3.把把E重復獨立地進行可列多次，重復獨立地進行可列多次，所得的試驗稱為可列重所得的試驗稱為可列重貝努里試驗貝努里試驗，記為，記為E 。二、貝努里概型中幾個重要事件的概率二、貝努里概型中幾個重要事件的概率以上三種貝努里試驗統稱

20、為貝努里概型貝努里概型。1.En中成功中成功k次的概率是次的概率是)nk0( ,)p1 (pknkknC ,.)2, 1k( ,p)p1(1k )kr1 ( ,p)p1 (rrk1r1kC 3.E中第中第r次成功發生在第次成功發生在第k次試驗的概率是次試驗的概率是2.E中首次成功發生在第中首次成功發生在第k次試驗的概率是次試驗的概率是第二章第二章 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布l隨機變量的概念隨機變量的概念l一維離散型隨機變量的分布律一維離散型隨機變量的分布律l二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量l離散型隨機變量函數的分布律離散型隨機變量函數的分布律2.1 隨機變量的概念隨機變量

21、的概念實例實例 做試驗拋一枚勻質硬幣，其樣本空間H,T 可規定隨機變量 XX() T0H1，RX ：隨機變量實際上是定義在樣本空間上的一個實函數。定義定義 設隨機試驗E的樣本空間是，XX(), 是定義 在上的一個單值實函數。若對任意實數x，樣本點的 集合| X()xXx是一隨機事件，則X()稱為隨機 變量，簡記為X. 隨機變量一般用英文大寫字母X、Y、Z 等表示 ，也可用希臘字母、等表示。隨機變量的分類：隨機變量的分類： 隨機變量 奇異型（混合型）連續型非離散型離散型隨機變量2.2 一維離散型隨機變量的分布律一維離散型隨機變量的分布律一、分布律一、分布律1. 定義定義 若隨機變量X取值x1,

22、x2, , xn, 且取這些值的概率依次為p1, p2, , pn, , 則稱X為離散型隨機變量，而稱PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 為X的分布律或概率分布?？杀頌?X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或 X X x1 x2 xn P p1 p2 pn 2. 分布律的性質分布律的性質(1) pk 0, k1, 2, ;(2) 1kk.1p .CCCkXP35k33k2 例例1 設袋中有5只球，其中有2只白3只黑。現從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數X為k的概率。解解 k可取值0，1，2二、幾個常用的離散型分布1. 退化分布退化分布(單點分布單點分布) XPXa1，其中

23、，其中a為常數。為常數。2. (01)分布分布(兩點分布兩點分布) XPXkpk(1p)1k, (0p1) k0，13. 幾何分布幾何分布 XPXk (1p)k1 p, (0p1) k1, 2, 4. 二項分布二項分布B(n, p) XPXkknC pk(1p)nk, (0p1) k0, 1, 2, , n pr(1p)kr, kr, r+1, , ( r 1, 0p0, 則稱 pi|j 為Y yj的條件下，X的條件分布律條件分布律;同理，同理，若對固定的i, pi. 0, 則稱 pj|i , 2, 1,|.jppxXyYPiijij為X xi的條件下，Y的條件分布律條件分布律; 條件分布律也

24、滿足分布律的性質條件分布律也滿足分布律的性質例例1 一射手進行射擊，命中目標的概率為p (0p1)，射擊進行到命中目標兩次為止，現用X表示首次命中目標所進行的射擊次數，用Y表示總共進行的射擊次數。試求X和Y的聯合分布律及邊緣分布律。解解 由題意知（X，Y）的分布律為 PX=m, Y=np2(1p)n2， m=1, 2, , n1；n=2, 3, X服從參數為p的幾何分布，其分布律為 PX=mp(1p)m1， m=1, 2, Y服從參數為 2、p的負二項分布，其分布律為 PY=n(n1)p2(1p)n2， n=2, 3, (X和Y的邊緣邊緣分布律分布律一般可由聯合一般可由聯合分布律分布律求得)。

25、另外，當n=2, 3, 時 Pm|nPX=m|Y=n 1, 2, 1,11)1 () 1()1 (2222nmnppnppnn, 2, 1,)1 ()1 ()1 (1122mmnppppppmnmn當m=1, 2, 時 Pn|mPY=n|X=m 四、離散型隨機變量的相互獨立性 設隨機變量X與Y的聯合分布律聯合分布律為 (X, Y) PXxi, Y yj pij ，(i, j1, 2, )，若對任意的任意的i、j，有pij pi. p. j，即 PXxi, Y yj PXxiPY yj則稱隨機變量X與Y相互獨立相互獨立。 ,x,.,x,xn21iii對任意的i1, i2, ,in成立，則稱隨機變

26、量X1，X2， , Xn相互獨立相互獨立。xxx,xn1n1ii1ii1nnXPXPXXP 上述概念不難推廣到n維離散型隨機變量的情形。例如，設X1，X2， , Xn分別可取值2.4 離散型隨機變量函數的分布律離散型隨機變量函數的分布律一、一維離散型隨機變量函數的分布律一、一維離散型隨機變量函數的分布律定理定理1 設X一個隨機變量，若若yg(x)是一元單值實函數，則Yg(X)也是一個隨機變量。 若 XPXxkpk, k1, 2, 則 Yg(X)PYg(xk)pk ， k1, 2, 其中g(xk)有相同的，其對應概率合并。 顯然，Y的分布律也滿足分布律的性質。二、多維離散型隨機變量函數的分布律二

27、、多維離散型隨機變量函數的分布律定理定理2 設X1，X2， , Xn是一個n維隨機變量，若若yg(x1, x2, , xn)是一個n元實值函數，則Yg(X1，X2，, Xn)也是一個隨機變量。 以二維為例，若 (X, Y)P(Xxi, Yyk)pik ，i, k1, 2, 則 Zg(X, Y)PYzl,2,1,),(,lpplzyxgkiiklki 例例1 設XP(1), YP(2)，且X與Y相互獨立，求ZXY的分布律。解 PZk PX+Y=k kiikYiXP0,!)()!(!)(210212121ekeikeikkiikikiikYPiXP0 k0, 1, 2, 以上劃線部分稱為整值隨機變

28、量的卷積公式卷積公式。 例例2 設隨機變量(X，Y)的分布律為 (1) 求PX=2|Y=2, PY=3|X=0; (2) 求WXY的分布律; (3) 求Vmax(X, Y)的分布律； (4) 求Umin(X, Y)的分布律。解解 (1) 因為 PY=20.25, PX=00.03, 故 PX=2|Y=25/251/5; PY=3|X=01/3.Y X 0 1 2 3 4 5 0 0.00 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 3 0.01 0.02 0.0

29、4 0.06 0.06 0.05(2) 因為WXY可取值0, 1, 2, ., 8,故其分布律為 W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0.00 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 (3) 因為Vmax(X, Y)可取值0, 1, 2, 3, 4, 5,故其分布律為 V 0 1 2 3 4 5 P 0.00 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28(4) 因為Umin(X, Y)可取值0, 1, 2, 3, 故其分布律為 U 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17第三章第三章 連續型隨機變量及其分布連續型隨機變量及其

30、分布l分布函數分布函數l一維連續型隨機變量及其分布一維連續型隨機變量及其分布l二維連續型隨機變量及其分布二維連續型隨機變量及其分布l連續型隨機變量函數的密度函數連續型隨機變量函數的密度函數3.1 分布函數分布函數一、分布函數的概念一、分布函數的概念 定義定義 設X為隨機變量，對任意實數x，事件Xx的概率P Xx稱為隨機變量X的分布函數。記為F(x)，即 F(x)P Xx. 易知，對任意實數a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a).例例1 設隨機變量X具分布律為 X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3試求出X的分布函數。解解2, 121, 7 . 010, 1 . 00

31、, 0)(xxxxxF其圖形如下： F(X)1O 1 2 X 二、分布函數的性質二、分布函數的性質 1、單調不減性：若x1x2, 則F(x1)F(x2); 2、非負規范性：對任意實數x，0F(x)1，且; 1)(lim)(, 0)(lim)(xFFxFFxx).()(lim) 0(000 xFxFxFxx 3、右連續性：對任意實數x0，反之，具有上述三個性質的實函數，必是某個隨機變量的分布函數。故該三個性質是分布函數的充分必要性質分布函數的充分必要性質。 分布函數的概念可推廣到n維隨機變量的情形。事實上，對n維隨機變量(X1, X2, , Xn)， F(x1, x2, , xn)P(X1 x1

32、, X2 x2, , Xn xn)稱為的n維隨機變量(X1, X2, , Xn)的分布函數，或隨機變量X1, X2, , Xn的聯合分布函數。 一般的，對離散型隨機變量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函數為xxkkkpxXPxF:)(例例2 設陀螺陀螺頂面圓周為單位圓，現在其上從01均勻刻度，若讓X表示陀螺靜止時其頂面圓周與地面的接觸點，則X是隨機變量，求X的分布函數。解解, 0, 10, 1, 0, 1)()(xxxxxXPxF)(xFx101xxxfduufxF其它其中, 0, 10, 1)(,)()(易知，有其圖形為：3.2 一維連續性隨機變量及其分布一、密度函數一、密度函數

33、 1. 定義定義 對于隨機變量X，若存在非負可積函數f(x)，(x+)，使對任意實數x，都有 xdu)u(f)xX(P)x(FbaduufbXaP)()(則稱X為連續型隨機變量， f(x)為X的概率密度函數，簡稱概率密度或密度函數. 常記為 X f(x) , (x+)密度函數的幾何意義為2. 密度函數的性質密度函數的性質 (1) f(x)0，(x)； (2).1)(dxxf.)(limlimbababadxxfbXaPbXPbadxxfbXaPbXaPbXaP)(.dx)x(dF性質(1)、(2)是密度函數的充要性質； (3) 若x是f(x)的連續點，則f(x) 3. 對任意實數b，若X f(

34、x)，(x)，則PX=b0事實上，從而，二、幾個常用的連續型分布二、幾個常用的連續型分布1. 均勻分布均勻分布 若Xf(x) ，其它0bxa,ab1。ab1 0ababcddxabdxxfdXcPdcdc11),()()(xfx則稱X在(a, b)內服從均勻分布。 對任意實數c, d (acdb)，都有 這說明X落在(a, b)中任一區間的概率只與該區間的長度成正比，而與該區間的位置無關，這就是均勻分布的概率意義。2. 指數分布指數分布 若 X0, 00,)(xxexfx. 1)(; 0)(0dxedxxfxfx)x( fx00, 00,)(2/xxkexfx求(1) k的值; (2) P|X

35、|0的指數分布。 易知，例例 已知 X解解 (1) 由得, k1/2;(2)3. 伽馬分布伽馬分布 若 X0,00,)()(1xxexxfx. 1)()(; 0)(01dxexdxxfxfx則稱X服從參數為0， 0的伽馬伽馬分布，記為 (, )。 易知， ()稱為伽馬函數，伽馬函數，它具有以下幾個性質： (1) (+1)= (); (2) (n+1)=n! ;.21) 3(4. 正態分布正態分布 若隨機變量12121)(22)(222dtedxedxxftx,xt 其中 0 ，為實數，則稱X服從參數為2，的正態分布,記為N(, 2)，可表為XN(, 2). 易知 f(x)0; 令可得 正態分布

36、有三個特性： x,e21)x( fX222)x( (1) 單峰對稱單峰對稱 其圖形關于直線x=對稱；f()max f(x) . 21(2)有兩個拐點有兩個拐點 ( ，f () )；( ，f () )， (3) 的大小直接影響概率的分布的大小直接影響概率的分布越大，曲線越平坦，概率分布越分散，曲線又矮又胖；越小，曲線越陡峻，概率分布越集中，曲線又高又瘦。 正態分布也稱為高斯(Gauss)分布。5.標準正態分布標準正態分布 參數0，21的正態分布稱為標準正態分布，可表為N(0, 1)。為了區別于一般的正態分布，其密度函數表示為.x,e21)x(2x2 xdtexXPxxt,)(2212分布函數表示

37、為 一般的概率統計教科書均附有標準正態分布表供讀者查閱(x)的值。注解注解：(1) (x)1 (x)； (2) 若XN(, 2)，則F(x)PX x).x( x)x( f0 正態分布是實踐中應用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統計中占有特別重要的地位。 3.3二維連續型隨機變量及其分布一、聯合分布及邊緣分布一、聯合分布及邊緣分布1、聯合分布函數聯合分布函數 設(X, Y)是二維隨機變量，(x, y)R2, 則稱 F(x, y)=PXx, Yy為(X, Y)的分布函數，或X與Y的聯合分布函數。 幾何意義：對于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 )

38、,有 Px1X x2， y1yy2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1). 分布函數F(x, y)具有如下性質： (1)非負規范非負規范 對任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1, 且F(+, +)1; F(, ) , 0),(limyxFyxF(x, ) 0),(limyxFyF(x, y)F(, y). xlim (2)單調不減單調不減 對任意y R, 當x1x2時， F(x1, y) F(x2 , y)； 對任意x R, 當y1y2時， F(x, y1) F(x , y2). (3)右連續右連續 對任意yR, );y,x(F)y, x

39、(Flim)y, 0 x(F0 xx00 ).y, x(F)y, x(Flim)0y, x(F0yy00 反之，任一滿足上述四個性質的二元函數F(x, y)都可以 作為某個二維隨機變量 (X, Y)的分布函數。(4)矩形不等式矩形不等式對于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0. y y2y1 0 x1 x2 x 對任意xR,x1X x2 ,y1 0且y0時，有 xydudvvufyxF,),(),()2( x0y0y3x2)v3u2(, )e1)(e1(dudve6)y,

40、 x(F 其它, 00y, 0 x),e1)(e1()y, x(Fy3x2 DxyxdyedxdxdyyxfDYXP303260)32(6),(),(綜上得 (3)由f (x, y)的性質知（見下圖）y 2 1 D 0 1 2 3 x 3066x2983. 0e71dx)ee (2 3. 兩個常用的二維連續型分布兩個常用的二維連續型分布 (1)二維均勻分布二維均勻分布 若二維隨機變量(X, Y)的密度函數為其它，的面積, 0),(1),(2RGyxGyxf則稱(X, Y)在區域G上(內) 服從均勻分布。 該分布的密度函數顯然滿足密度函數的兩個 充要性質,即非負性和完備性。其中，1、2為實數，1

41、0、20、| |1，則稱(X, Y)服從參數為1, 2, 1, 2, 的二維正態分布，可記為 ,121),()()(2)()1 (212212222212121212yyxxeyxf . 1),(dxdyyxf(2)二維正態分布二維正態分布N( 1, 2, 1, 2, ) 若二維隨機變量(X, Y)的密度函數為可以驗證：f (x, y)滿足密度函數的兩個充要性質，事實上，(1) f (x, y)0；(2),(N)Y,X(222121 三、邊緣密度函數三、邊緣密度函數 設(X, Y)f (x, y), (x, y)R2, 則稱dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(為(X, Y)關于

42、X的邊緣密度函數； 同理，稱為(X, Y)關于Y的邊緣密度函數。 易知N(1, 2, 1, 2, )的邊緣密度函數fX(x)是N(1, 1)的密度函數，而fY(y)是N(2, 2)的密度函數，故二維正態分布的邊緣分布也是正態分布。四、條件密度函數四、條件密度函數FX|Y(x|y)PXx|Y=y yyYy|xXPlim0y ,lim)|(0|yyYyPyyYyxXPyxFyYX稱為已知Yy條件下，X的條件分布函數。 若已知(X, Y)f (x, y), (x, y)R2, 則由于dyydFyyxFyFyyFyxFyyxFYYYy)(),()()(),(),(lim0可見， xYYxduyfyuf

43、yfduyuf.)(),()(),(故稱的密度函數的作用，起到了)|()(),(|yxFyfyxfYXY0)(,)(),()|(|xfxRyxfyxfxyfXxXY固定且滿足0)y(fy,Rx,)y(f)y,x(f)y|x(fYYY|X 固定且滿足為已知Yy條件下，X的條件密度函數條件密度函數; 同理，稱為已知Xx條件下，Y的條件密度函數條件密度函數。五、隨機變量的獨立性五、隨機變量的獨立性1、隨機變量相互獨立的一般定義、隨機變量相互獨立的一般定義 設X1，X2，Xn為n 個隨機變量，若對任意(x1, x2, , xn)Rn，有 PX1x1, , XnxnPX1x1 PXnxn即 F(x1,

44、x2, , xn)FX1(x1)FX2(x2) FXn(xn),則稱X1，X2，Xn相互獨立。 2、隨機變量相互獨立的等價定義、隨機變量相互獨立的等價定義 對于離散型隨機變量的情形，在第二章對于離散型隨機變量的情形，在第二章2.3節中節中 已經予以介紹。已經予以介紹。xxx,.,x(n)i(1)i1(n)i1)(i1n1n1nnXPXPXXP若對任意整數i1, i2, , in及實數 有(n)i(2)i(1)in21x,.,x,x則稱離散型隨機變量X1, X2, , Xn相互獨立。 定理定理1 設(X, Y)f (x, y), (x, y)R2, fX(x), fY(y)分別為X與Y的邊緣密度

45、，則X與Y相互獨立等價于 f (x, y) fX(x)fY(y)，對任意(x, y)R2幾乎處處成立。 易知，對任意(x, y)R2 f (x, y) fX(x)fY(y) fX|Y(x|y) fX(x)或 fY|X(y|x)fY(y).定理1可以推廣到n維連續型隨機變量的情形: 設X1，X2 , Xn為n 個連續型隨機變量，若對任意的(x1, x2, , xn)Rn， f (x1, x2, , xn)fX1(x1)fX2(x2) fXn(xn)幾乎處處成立，則稱X1，X2, Xn相互獨立。 定理定理2 設(X1,X2, , Xn )與(Y1, Y2, Yn )相互獨立，則Xi (i=1, 2

46、, , m)與Yj (j=1, 2, , n)相互獨立；又若h, g是連續函數，則h(X1,X2, , Xn )與g(Y1, Y2, Yn )相互獨立.3.4 連續型隨機變量函數連續型隨機變量函數的密度函數的密度函數l一維變量的情形一維變量的情形 一般方法一般方法分布函數法分布函數法 公式法公式法l多個隨機變量函數的密度函數多個隨機變量函數的密度函數 一般方法一般方法分布函數法分布函數法 幾個常用函數的密度函數幾個常用函數的密度函數3.4 連續型隨機變量函數的密度函數連續型隨機變量函數的密度函數一、一維變量的情形一、一維變量的情形 1、一般方法 若Xf(x), xz 1 PX1z, , Xnz

47、 1PX1z PXnz 1 特別，當X1, X2, , Xn獨立同分布(分布函數相同)時，則有 FM(z)F(z)n; FN(z)11F(z)n. 進一步地，若X1, X2, , Xn獨立且具相同的密度函數f (x)，則M和N的密度函數分別由以下二式表出 fM(z)nF(z)n1f (z)； fN(z)n1F(z)n1f (z). 第四章第四章 隨機變量的數字特征隨機變量的數字特征l數學期望l方差l協方差和相關系數l矩l幾個重要隨機變量的期望和方差4.1數學期望數學期望l加權平均數加權平均數l離散型隨機變量的數學期望離散型隨機變量的數學期望l連續型隨機變量的數學期望連續型隨機變量的數學期望l數

48、學期望的性質數學期望的性質4.1數學期望數學期望一一 加權平均數加權平均數 分數 40 60 70 80 90 100 人數 1 6 9 15 7 2)( 5 .762715961)100)(2 ()90)(7 ()80)(15()70)(9 ()60)(6 ()40)(1 (分則學生的平均成績是總分總人數(分)。即例例 設某班40名學生的概率統計成績及得分人數如下表所示： 后一種計算方法可認為是40,60,70,80,90和100這六個數的加權平均數。一般地說，加權平均數加權平均數可為)( 5 .76)100(402)90(407)80(4015)70(409)60(406)40(401分或

49、其中,1niiixwniiiww1. 1, 0wi稱為數xi的權重, 可見平均值即加權平均數。 X 40 60 70 80 90 100 P 1/40 6/40 9/40 15/40 7/40 2/40 于是平均成績平均成績為40PX=40+60PX=60+70PX=70+80PX=80+90PX=90+100PX=100 即取值乘取值的概率相加即得平均值。這就是r.v.的數學期 望的概念現引進r.v.X表示學生得分，則X有分布律二二.離散型隨機變量的數學期望離散型隨機變量的數學期望 1.定義定義 若XPX=xk=pk, k=1,2, 1kkkpx. )(1kkkxXPxXE 絕對收斂，則稱該

50、和式為r.v.X的數學期望，簡稱期望或均值。記為E(X)或EX ，即 2.定理與推論定理與推論 定理定理1 若 XPX=xk=pk, k=1,2, 則Y=g(X)的期望.)()()(1kkkpxgXgEYE推論推論 若 (X, Y) PX=xi ,Y=yj,= pij, i, j=1, 2, , 則Z= g(X，Y)的期望.),(),()(11ijijijpyxgYXgEZE三三.連續型隨機變量的數學期望連續型隨機變量的數學期望1.離散化分析離散化分析 設Xf(x), x, 現在a, b上考慮r.v. X的期望： E*(X)。把a, b等分成n個小區間，插入分點：a=x0 x1 xn=b,其中

51、xi= xi xi-1=(ba)/n, i=1, 2, , n，則.)()(11ixxiiixxfdxxfxXxPii于是X落在(xi1, xi上的概率可認為是X集中在點xi處的概率。故baniiiinniiiidxxxfxxfxXExxfxXE.)()(lim)(,)()(1*1*從而babadxxxfdxxxfXE.)()(lim)(2.定義定義 若Xf(x), x, dxxxf)(.)()(dxxxfXE 絕對收斂，則稱其為連續型r.v. X的數學期望。即四四 數學期望的性質數學期望的性質3 定理與定理與推論推論 定理定理2 若Xf(x), x, 則Y=g(X)的期望.)()()()(d

52、xxfxgXgEYE推論推論 若(X, Y) f (x, y), x, y0,DY0，則DYDX)Y,Xcov(XY 稱為X與Y的相關系數相關系數. (5) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2cov(X, Y). 若XY=0，則稱X與與Y不相關不相關，否則稱X與Y相關。DX)X(EXX* 稱為X的標準化，易知EX*=0，DX*=1.Cov(X*, Y*) 稱為X與Y的標準化協方差，易知).Y,Xcov()YX(EDYDX)Y,Xcov(*XY 引理引理 對于r.v.X, Y, 有E(XY)2E(X2)E(Y2). 0)X(E)Y(E4)XY(E 4, 0)X(E)XY(tE2)Y(Et)tY

53、X(E) t (Q2222222 證 即E(XY)2E(X2)E(Y2). 該不等式稱為柯西柯西(Cauchy)不等式不等式. 2.相關系數的性質相關系數的性質 (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常數a, b 使PX= aY+b=1； (3) X與Y不相關 cov(X, Y)=0; (4) X與Y獨立，則X與Y不相關，反之不然。證證 (1)由引理知. 1)Y(D)X(D)Y(E)X(E| )YX(E|*2*2*XY (2) “” 若|XY|=1，則由引理知：判別式);()()()(,)()(. 1, 1000*0*YEYDXDtXEbYDXDtabaYXPYtXP其中即這說明. 0

54、)()()(, 0)()(4)( 4*0*2*0*002*2*2*YtXDYtXEtQRtYEXEYXE使故存在.100)(*0*0即得由 YtXPtQ（3）、（4）顯然例例 設(X, Y)在D=(X, Y)：x2+y21上服從均勻分布，則X與Y不相關，但不是相互獨立的。, 0)(, 0)(, 0, 1,1),(),(22111122YEdxxdyXEyxyxfYXyy同理其他解.,. 0),cov(, 0)(111122不相關這說明又YXYXdyyxdxXYExx其它其它,0, 11,12)(,0, 11,12)(22yyyfxxxfYX.),0()0(41)0,0()0,0(),(2不相互

55、獨立與的連續點對于YXfffyxfYX三三.切比雪夫不等式切比雪夫不等式 若r.v.X的期望和方差存在，則對任意0，有.)X(D1| )X(EX|P2 這就是著名的切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式。不等式。 它有以下幾種等價的形式：.k11k|X|Pk1k|X|P22 或記2=D(X), =E(X), 則對k0, 有;)X(D| )X(EX|P2 4.4 矩、協方差矩陣矩、協方差矩陣l矩矩l協方差矩陣協方差矩陣4.4 矩、協方差矩陣矩、協方差矩陣一一. 矩矩1. K階原點矩階原點矩 k=E(Xk), k=1, 2, 而E(|X|k)稱為X的K階絕對原點矩；2. K階中心矩階中心矩

56、k=EXE(X)k, k=1, 2, 而E|XE(X)|k稱為X的K階絕對中心矩；易知 E(X)= 1,D(X)= 2.3. K+l階混合原點矩階混合原點矩 E(Xk Yl), k, l=0, 1, 2, ；4. K+l階混合中心矩階混合中心矩 EXE(X)kYE(Y)l, k, l=0, 1, 2, ；易知 cov(X, Y)=EXE(X)YE(Y)是1+1階混合中心矩階混合中心矩。 可見矩對于隨機變量而言是一般的數字特征，而數學期望、方差、協方差等都是一些特殊的矩。二. 協方差矩陣協方差矩陣1.定義定義 設X1， , Xn為n個r.v., 記cij=cov(Xi, Xj),I, j=1,

57、2, , n. 則稱由cij組成的矩陣為r.v. X1， , Xn的協方差矩陣C。即2.協方差矩陣的性質協方差矩陣的性質 nn2n1nn22221n11211nnijc.cc.c.ccc.cc)c(C,),(1nXXXCEXXEXXEDXEXEXEXn)(,),(1(1) C=C, 其中C為C的轉置;(2) C是非負定矩陣非負定矩陣，即對任意n維實向量 =(1, , n).有 C0.證：(1)顯然； (2) C = E(X)(X) =E (X )(X ) =E( (X )( (X ) 0，其中X=(X1, ,Xn), =(1, ,n), i=Xi 。則設例),(N)X,X(122212121

58、),1(|C|,C2222122212121 ).,(),(, ),(, ),(),()(21exp|21),(21212112/ 121CNXXXxxxxCxCxxf可記為其中.,),(),(,),(),()(21exp|)2(1)(),(),(,11112/12/1維正態分布服從稱均值向量的為其中則若一般地nXXXXxxxxCxCxfCNXXXnnnnnX =(X1，X2)的概率密度為.),(N)Y,X(2XY222121 則設例 dxdyyxfyxEYYEXXEytxs),()()(,212211則令先做變量代換證212v22t211/)ts(vtst2s)1(21221dve)t1v(dtte2dsdtste12222222 令故 XY=. 可見，若（X，Y）服從二維正態分布，則X與Y獨立獨立的充分必要條件是X與Y不相關不相關。 另外，由協方差矩陣可以證明：相互獨立正態隨機變相互獨立正態隨機變量的線性組合還是正態隨機變量量的線性組合還是正態隨機變量。即若X1，Xn相互獨立，且).,(NX2in1i2in1iiin1