1、【精品文檔】如有侵權，請聯系網站刪除，僅供學習與交流昆明理工大學數值分析各年考試題及答案.精品文檔.昆明理工大學數值分析考試題（07）一填空（每空3分，共30分）1 設是真值的近似值，則有 位有效數字。2 若，則，。3 A=,則= ；= ；= = 。4 求方程根的牛頓迭代格式是 。5設，則求函數的相對誤差限為 。6A=,為使其可分解為（為下三角陣，主對角線元素0），的取值范圍應為 。7用最小二乘法擬合三點A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直線是 。（注意：以上填空題答案標明題號答在答題紙上，答在試卷上的不給予評分。）二推導與計算（一）對下表構造f(x)的不超過3次的插值多項式，并建立插

2、值誤差公式。（12分）0121233（二）已知和滿足-31。請利用構造一個收斂的簡單迭代函數，使收斂。（8分）（三）利用復化梯形公式計算，使其誤差限為，應將區間0，1 等份。（8分）（四）設A= ，detA0，推導用a，b表示解方程組AX=f的Seidel(G-S) 迭代法收斂的充分必要條件。（10分）（五）確定節點及系數，建立如下 GAUSS型求積公式 。（10分）（六）對微分方程初值問題（） 用數值積分法推導如下數值算法：，其中，。（8分）（） 試構造形如 的線形二步顯格式差分格式，其中。試確定系數，使差分格式的階盡可能高，寫出其局部截斷誤差主項，并指明方法是多少階。（14分）（考試時間2

3、小時30分鐘）（08）一、填空（每空3分，共30分）1若開平方查6位函數表，則當x=30時，的誤差限為 。2若= 。3若 是3次樣條函數，則 a= ，b= ，c= 。4A=,則A= ；A= ；Cond(A)= 。5考慮用復化梯形公式計算，要使誤差小于，那么0，1應分為 個子區間。6,要使迭代法局部收斂到，即在鄰域時，則的取值范圍是 。二、計算與推導1、 用追趕法解三對角方程組，其中，。 （12分）2、已知一組試驗數據t12345y4.006.408.008.809.22請確定其形如的擬合函數。（13分）3、確定系數，建立如下 GAUSS型求積公式 。（13分）4、證明用Gauss-seidel

4、迭代法求解下列方程組 時，對任意的初始向量都收斂；若要求，需要迭代幾次（推導時請統一取初始迭代向量）？（13分）5、試用數值積分法或Taylor展開法推導求解初值微分問題 的如下中點公式： 及其局部截斷誤差。（14分）6、 試推導的復化Simpson數值求積公式。（5分）（考試時間2個半小時）（09）一、（填空(每空3分,共36分)1是以0，1，2為節點的三次樣條函數，則b= ，c= 。2設，則差商 ， 。3函數在-1，1上的最佳2次逼近多項式是 ，最佳2次平方逼近多項式是 。4，當a滿足條件 時，A可作 LU分解；當a滿足條件 時，A可作 分解；5，則 ， 。6求方程根的newton迭代格式

5、是 。7用顯式Euler法求解，要使數值計算是穩定的，應使步長0h 。二、計算與推導一、 計算函數在附近的函數值。當n=100時，試計算在相對誤差意義下的條件數，并估計滿足時自變量的相對誤差限和絕對誤差限。（12分）二、 有復化梯形，復化simpson公式求積分的近似值時，需要有多少個節點，才能保證近似值具有6位有效數字。（12分）四、確定求解一階常微分初值問題的如下多步法中的值，使方法是四階的。（12分）五、用最小二乘法確定一條經過原點的二次曲線，使之擬合于下列數據（小數點后保留5位）1.02.03.04.00.81.51.82.0并計算其最小二乘誤差。（14分）六、對下列線性方程組，（1）

6、構造一定常迭代數值求解公式，并證明你構造的迭代格式是收斂的；(2)記精確解向量為，若取初始迭代向量,要使，請估計需要多少次迭代計算。（14分）（考試時間2個半小時）（10）一、填空（每空2分，共24分）1近似數490.00的有效數字有 位，其相對誤差限為 。2設，則 ， 。3設，的三次最佳一致逼近多項式為 。 4， ， ， 。5，其條件數 。6，為使分解成立（L是對角線元素為正的下三角陣），a的取值范圍應是 。7給定方程組為實數。當a滿足 且時，SOR迭代法收斂。8對于初值問題，要使用歐拉法求解的數值計算穩定，應限定步長h的范圍是 。二、推導計算1應用下列數據表建立不超過3次的插值多項式并給出

7、誤差估計式x0121293（15分）2用最小二乘法確定一條經過原點的二次曲線，使之擬合于下列數據x10203040y08151820（小數點后至少保留5位）。（15分）3確定高斯型求積公式 的節點及積分系數。（15分）書內三、證明1.在線性方程組中，。證明當時高斯-塞德爾法收斂，而雅可比法只在時才收斂。（10分）2.給定初值以及迭代公式 證明該迭代公式是二階收斂的。（7分）3.試證明線性二步法當時，方法是二階，當時，方法是三階的。（14分）（12）一、填空題（每空2分，共40分）1設是真值的近似值，則有 位有效數字，的相對誤差限為 。3. 過點和的二次拉格朗日插值函數為= ， 并計算 。4設在

8、上的最佳二次逼近多項式為 ，最佳二次平方逼近多項式為 。 5高斯求積公式的系數 ， ，節點 ， 。6方程組，建立迭代公式，寫出雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法的迭代矩陣， ， 。7，其條件數 。8設，計算矩陣A的范數，= ， = 。 9求方程根的牛頓迭代格式是 。10對矩陣作LU分解，其L=_， U= _二、計算題（每題10分，共50分）1. 求一個次數不高于4次的多項式P(x), 使它滿足: 并寫出其余項表達式（要求有推導過程）。2. 若用復合梯形公式計算積分，問區間0, 1應分成多少等分才能使截斷誤差不超過? 若改用復合辛普森公式，要達到同樣的精度區間0, 1應該分成多少等份? 由下表數據

9、，用復合辛普森公式計算該積分的近似值。00.250.50.75111.281.642.11 2.713. 線性方程組，其中，（1）建立雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法的分量形式。（2）問雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法都收斂嗎?4. 已知如下實驗數據, 用最小二乘法求形如的經驗公式，并計算最小二乘法的誤差。1234544.568 8.55. 用改進的歐拉公式(預估-校正方法)，解初值問題，取步長 計算到（保留到小數點后四位）。三、證明題（共10分）1 如果 A 是對稱正定矩陣，則A可唯一地寫成，其中L是具有正對角元的下三角陣。（考試時間2個半小時）07答案填空1226；034；4； 4567一

10、、 推導與計算（一） 方法1先確定2次插值 再設該Hermit插值為 將導數要求代入即可確定k值（略） 得： 方法2直接設 將插值要求代入得方程組（略） 解得各待定系數 得 推導余項： 根據條件要求設余項構造關于t的輔助函數其是充分光滑的，且滿足故有4個零點 反復運用Roll定理，有（二） - - 故設 （三）令 解得 -（略） - 故需將區間578等分。 （四）G-S迭代陣 令 迭代收斂的充要條件是需解出既（五）方法1則有整理得解出又該公式應對準確成立，代入有解之得故可構造出Gauss積分公式為。方法2直接用代數精度驗證法列方程組求解 方程組 每個待定系數 積分公式（六）（1）將兩邊同時在區

11、間上積分得 右邊用積分的Simpson公式展開得 （略） 將用相應數值值代替既推出公式（2）方法1因前提是 故利用Tarlor公式考察局部截斷誤差，使可得 解之得 方法2直接套課本中公式，但此時 令列方程組可解出各系數。（09）一、填空(每空3分,共36分)1. b= -2 ，c= 3 。2. 4 ， 0 .3. ,4. 5. 2 ， 1 6. 7. 0h。二、解 取n=100,則 由要求知要求時 則自變量的相對誤差限 絕對誤差限三解 用復化梯形時，即要求 由此解得應取214個節點 用復化Simpson時,即要求 由此解得應取9個節點。四（該題是課本-清華第4版372頁的例題）正確展開正確合并

12、同階項為3項。求出五解 按題意，所求擬合函數應形如 其最小二乘擬合誤差平方和為 為使其達到最小，應令 。 代入數據后得出。解出a,b，即得所求擬合函數為。最小二乘擬合誤差或。六 （10）一、填空(每空2分) (1)5 0.005 0.0000102; (2)4 0; (3) (4)6 7 ; (5); (6); (7); (8)二、推導計算1.解：(待定參數法):根據節點條件及多項式性質,設所求函數為 代入導數條件,求出A=1 設余項為 當且不同于0,1,2時,構造關于變量t的函數 - 此函數是充分光滑的,且有零點:0,1,2,x(1是2重零點)- 在4個零點的3個區間上反復運用Rolle定理

13、，可知至少有一倚賴于0，1，2，x的點，使 于是本題H(x)的推出也可以用 1重節點的差商表方法；2直接設為3次多項式一般式，代入條件建立方程組求出。2解：由過原點條件,可知擬合函數形如: 故需按最小二乘法定義來推導。 設最小二乘擬合誤差為 要使其為極小，必需符合可得法方程-解之得a=0.94968,b=-0.1129033解：設為區間0，1上帶權的正交多項式， 于是應有 積分展開并令解相應方程組得 由韋達定理，知是方程的根。 于是可求出 再由此積分公式對精確成立得 解之得 本題也可利用Gauss代數精度要求展開，直接解一個4元非線性方程組。三、證明1證 A是一對稱陣 我們令其順序主子式 ，

14、聯立解之得 此條件下，A對稱正定，G-S法收斂。 對Jacbi法，求出其迭代陣為 令 于是可知，當，即時，雅可比法才收斂。 2（a）即，其牛頓迭代格式為(b)顯然，迭代函數為 的不動點。 容易求出： 所以該迭代公式是二階收斂的3.證 此方法的局部截斷誤差將其各項函數在處泰勒展開并合并同類項得 -于是，當時 ，方法是2階的； 當時 ，方法是3階的。（12）一填空題（每空2分，共40分）1. 2 0.025或0.02162. 3 03. ，34. 5. 0.28 0.39 0.29 0.826. 7. 18. | A |1 = 3_，9. 10. ，二、計算題（每空10分，共50分）1求一個次數不

15、高于4次的多項式P(x),使它滿足:P(0) =0，P(0) =0，P(1) =1，P(1) =1，P(2) =1，并寫出其余項表達式。解：由題意 P(x) = x2(ax2 + b x + c )，由插值條件得方程組求解，得 a =1/4，b= 3/2 ，c =9/4。所以插值余項為2 若用復合梯形公式計算積分，問區間0, 1應分成多少等分才能使截斷誤差不超過？若改用復合辛普森公式，要達到同樣的精度區間0, 1應該分成多少等分？由下表數據用復合辛普森公式計算該積分。00.250.50.75111.281.642.11 2.71解：由于，則在區間0,1上為單調增函數，b-a=1，設區間分成n等

16、分，則h=1/n., 故對復合梯形公式，要求即，因此n=213，即將區間0,1分成213等分時，用復合梯形計算，截斷誤差不超過。若用復合辛普森公式，則要求，因此n=4，即將區間0,1分成8等分時，用復合梯形計算，截斷誤差不超過。3. 線性方程組，其中，（1）建立Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）問Jacobi迭代和Gausse-Seidel迭代法都熟收斂嗎？解：（1） Jacobi迭代法的分量形式，為任意初始值。Gauss-Seidel迭代法的分量形式，為任意初始值。(2)Jacobi迭代法的迭代矩陣，故Jacobi迭代法不收斂。Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣，故G-S迭代法收斂。4. 已知實驗數據，如下表，用最小二乘法求形如的經驗公式，并計算均方誤差。1234544.568 8.5解： 令故由法方程得線性方程組解得于是所求擬合曲線為2-范數的