1、精選優質文檔-傾情為你奉上人力資源調度的優化模型摘要本文主要研究人力資源調度的最優化問題。人力資源調度問題中所要處理的數據之間的關系是比較繁瑣的，所以如何有效地設置決策變量，找出相互關系是我們建立模型的突破口。上述模型屬于多元函數的條件極值問題的范圍，然而許多實際問題歸結出的這種形式的優化模型，起決策變量個數n和約束條件m一般比較大，并且最優解往往在可行域的邊界上取到，這樣就不能簡單地用微分法求解，數學規劃是解決這類問題的有效方法。根據所給的“PE公司”技術人員結構及工資情況表、不同項目和各種人員的收費標準表格，為了在滿足客戶對專業技術人員結構要求的前提下，使“PE公司”每天的直接收益最大，我

2、們首先對不同項目的不同技術人員的分配個數進行假設，從而得到了“PE公司”每天總收入I和每天總支出，所以每天的直接收益，這就是公司每天直接收益的目標函數。在此基礎上我們建立了基于Matlab軟件上的線性規劃方法一和基于Lindo6.0軟件上的整數線性規劃方法二來求解這個模型。首先我們Matlab軟件運行這個函數，得到求得的值恰好是整數，滿足題意，在題目的約束條件下得到的最大公司效益是27150元，此時的人員分布如下表所示： 項目技術人員 ABCD高級工程師1521工程師6362助理工程師2521技術員1310因為對題中的數據稍做改動時得出的答案就會出現小數的現象，為了更好的解決該問題，我們又引入

3、了一個很好地能處理整數的軟件Lindo6.0，得到了各個有效的數據。并在模型擴展中運用已建立的程序對所得的結果進行靈敏度分析，即討論在收費標準不變的情況下技術人員結構對公司收益的影響以及在技術人員結構不變的情況下收費標準對公司收益的影響，并且進一步分析在怎樣的范圍內最優解保持不變，并聯系社會實際進行了一定的分析。最后在適當簡化模型的同時，對模型進行了改進和推廣，預示了高素質人才在現代社會中將發揮著越來越重要的作用。關鍵詞：人力資源調度；決策變量；可行域；靈敏度分析；博弈論 一.問題重述：“PE公司”是一家從事電力工程技術的中美合資公司，現有41個專業技術人員，其結構和相應的工資水平分布如表1所

4、示。表1 公司的人員結構及工資情況高級工程師工程師助理工程師技術員人 數日工資（元）925017200101705110目前，公司承接有4個工程項目，其中2項是現場施工監理，分別在A地和B地，主要工作在現場完成；另外2項是工程設計，分別在C地和D地，主要工作在辦公室完成。由于4 個項目來源于不同客戶，并且工作的難易程度不一，因此，各項目的合同對有關技術人員的收費標準不同，具體情況如表2所示。表2 不同項目和各種人員的收費標準高級工程師工程師助理工程師技術員收費（元/天）ABCD1000150013001000800800900800600700700700500600400500為了保證工程質

5、量，各項目中必須保證專業人員結構符合客戶的要求，具體情況如表3 所示：表3：各項目對專業技術人員結構的要求ABCD高級工程師工程師助理工程師技術員總計1322110252231622211112281-18說明：l 表中“13”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“”符號的同理；l 項目D，由于技術要求較高，人員配備必須是助理工程師以上，技術員不能參加；l 高級工程師相對稀缺，而且是質量保證的關鍵，因此，各項目客戶對高級工程師的配備有不能少于一定數目的限制。各項目對其他專業人員也有不同的限制或要求；l 各項目客戶對總人數都有限制；l 由于C、D兩項目是在辦公室完成，所以每人每天有50元的管理

6、費開支。由于收費是按人工計算的，而且4個項目總共同時最多需要的人數是10+16+11+18=55，多于公司現有人數41。因此需解決的問題是：如何合理的分配現有的技術力量，使公司每天的直接收益最大？并寫出相應的論證報告。 二.模型假設和符號說明:1.模型假設根據問題的要求，并為了達到將問題進一步明確抽象的目的，在我們的模型中有如下的假設：1） PE公司是在同一時間接手A、B、C、D四個工程項目。2） PE公司的各種技術人員分工相當明確，如高級工程師不能兼職工程師的工作。3） PE公司的專業技術人員在接手工程期間不存在著請假，缺席的現象。4） 在PE公司接手這四個工程的間段，市場物價穩定。各級技術

7、人員的收費標準分別在如下的范圍內： 高級工程師的收費最低不低于800元，最高不超過1600元； 工程師的收費最低不低于500元，最高不超過1200元； 助理工程師的收費最低不低于300元，最高不超過900 元； 技術員的收費最低不低于150元，最高不超過600元。5） 假設A，B，C，是如下四個矩陣： 2.符號說明分別代表的是在A、B、C、D項目中高級工程師的人數安排分別代表的是在A、B、C、D項目中工程師的人數安排分別代表的是在A、B、C、D項目中助理工程師的人數安排分別代表的是在A、B、C、D項目中技術員的人數安排分別代表的是高級工程師在A、B、C、D項目中的每天收費標準分別代表的是工程師

8、在A、B、C、D項目中的每天收費標準分別代表的是助理工程師在A、B、C、D項目中的每天收費標準分別代表的是技術員在A、B、C、D項目中的每天收費標準分別代表的是PE公司為A、B、C、D項目中的高級工程師每天所支付的費用分別代表的是PE公司在A、B、C、D項目中的工程師每天所支付的費用分別代表的是PE公司為A、B、C、D項目中的助理工程師每天所支付的費用分別代表的是PE公司為A、B、C、D項目中的技術員每天所支付的費用注： PE公司支出費用包括技術人員的工資和C、D項目中每個人員每天的50元管理費。三.模型的建立：模型：基于Matlab的線性規劃方法根據題意以及上面的符號說明可以得到下列A，B，

9、C的值A=1000 1500 1300 1000 800 800 900 800 600 700 700 700 500 600 400 500B=250 250 300 300 200 200 250 250 170 170 220 220 110 110 160 160C=AB=750 1250 1000 700 600 600 650 550 430 530 480 480 390 490 240 340 于是得到目標函數：我們首先來觀察表1和表3，因為A、B、C、D四個工程需要的技術員最低限分別是1、3、1、0，而PE公司的技術員恰好只有5人，所以關于技術員的調度就已經確定，A工程1人

10、，B程3人，工程1人，工程0人。即： 。又有C工程中高級工程師的數量已定，因此其實只有11個決策變量在影響最終公司效益。用Matlab 6.5軟件中的函數x,fval=linprog(C,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)解,具體程序看附錄1：得出數據X=1,5,2,1,6,3,6,2,2,5,2,1,1,3,1,0TMax Z=CX=27150通過對高級工程師的人數變化時(其他因素全都不變),分析其對最大公司效益的影響,分別取高級工程師的人數是9,10,11,12的情況: 得出結果如下表所示:高級工程師人數x11x12x13x14.91.00005.00002.00001.000010

11、1.70205.00002.00001.2980112.56485.00002.00001.4352123.00005.00002.00002.0000x21x22x23x24,96.00003.00006.00002.0000105.29803.10866.00002.5933114.43523.85066.00002.7143124.00004.01876.00002.9813高級工程師人數x31x32x33x3492.00005.00002.00001.0000102.00004.89142.00001.1086112.00004.14942.00001.8506122.00003.98

12、132.00002.0187高級工程師人數x41x42x43x4491.00003.00001.00000.0000101.00003.00001.00000.0000111.00003.00001.00000.0000121.00003.00001.00000.0000上述表格缺陷在于人員分配個數出現了小數,這跟實際問題相違背。分析其原因主要在于：我們用這個Matlab6.5軟件做出來的就是基于用單純形法引入松弛變量而得出來的。因為松弛問題是作為一個線形規劃問題，其可行解的集合是一個凸集，任意兩個可行解的凸集組合仍為可行解。由于整數規劃問題的可行解一定也是松弛問題的可行解（反之則不一定），所

13、以前者最優解的目標函數值不會優于后者最優解的目標函數值。在一般情況下，松弛問題的最優解不會剛好滿足變量的整數約束條件，因而不是整數規劃的可行解，自然就不是整數規劃的最優解。我們用Matlab 6.5中函數x,fval=linprog(C,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)求解出來的當高級工程師人數變化時出現了小數現象，就是上述所述的問題。此時，若對松弛問題的這個最優解中不符合整數要求的分量簡單的取整，所得到的解不一定是整數規劃問題的最優解，甚至也不一定是整數規劃問題的可行解。基于這個問題我們引入了解這個模型的第二種方法。模型:基于LinDo6.0的整數規劃方法：對于該問題我們有同于4.1

14、的目標函數及約束條件,即用Lindo6.0求解問題,程序具體見附錄2:得出數據X=1,5,2,1,6,3,6,2,2,5,2,1,1,3,1,0TMaxZ=CX=27150結果跟方法一的相同，從而也驗證了結果的正確性。下面著重通過人數變化（其他因素都不變）對公司最大效益的影響進行分析，得出下列數據：高級工程師人數變化總人數公司效益最大值(單位為元)94127150104227850114328550124429250134529250工程師人數變化總人數公司效益最大值(單位為元)1741271501842277001943282502044288002145293502246299002347

15、30450244831000254931550265032100275132150285232150助理工程師的人數變化總人數公司效益最大值(單位為元)104127150114227630124328110134428590144529070154629550164730030174830510184930990195031470205131950215232430225332910235433390245533870技術員人數的變化總人數公司效益最大值(單位為元)54127150642275907432803084428470945289101046292501147295901248299

16、30134930270145030410155130410四.模型分析：主要采用靈敏度分析法:上面表格中除了告訴我們問題的最優解和最優值以外，還能挖掘出許多隱含著的有用信息：1.（在允許范圍內）每增加一個高級工程師使得公司效益增加700元，如高級工程師的人數從9個增加到10個公司效益就增大了700元。增加一個工程師使得公司效益增加550元，增加一個助理工程師使得公司效益增加480元，增加一個技術員使得公司效益增加440元，上面公司效益的增加可以看作人數的潛在價值稱為“影子價格”，即高級工程師的影子價格是700元，工程師的影子價格是550元，助理工程師的影子價格是480元，技術員的影子價格是44

17、0元。2.當目標函數的系數發生變化時（假定約束條件不變），最優解會改變嗎？帶著這個問題，我們又用Lindo6.0軟件進行了單個系數變化的處理.即在最初的最優解不變的情況下，求出各系數允許的變化范圍（以其他系數不變作為前提，求出一個目標系數變化的范圍）。D公司不需要技術員，C公司對高級工程師的人數是常數2，所以他們不會對最終公司效益產生影響，這里就只分析其他的自變量前的系數的變化。列出表格如下：此變量前的系數X11X12X13X14X21X22X23X24允許的變化范圍0-1249751- +0- +0-1249551- +551-650551- +0-599公司效益變化幅度15216362此變

18、量前的系數X31X32X33X34X41X42X43允許的變化范圍0-529480- +0-5800-5300- +0- +0- +公司效益變化幅度2521131說明：表格的第一行表示列出的各變量xij前系數（表格中就用變量代替表示）。第二行表示在最優解不變的情況下其系數的變化范圍。如0-1249是指其前面的系數從0變化到1249元，最優解都是不會變化的。第三行表示當變量前面的系數在這個范圍變化時，雖然最優解不發生變化，但是最優值將發生變化，目標系數變化一個單位時，最優值以表格中列的數值為幅度變化。而還可以發現這個幅度就是得出的最優解里的相應項目中具體人員分布的人數，我們得出的最優解是X=1,

19、5,2,1,6,3,6,2,2,5,2,1,1,3,1。由上述表格還可以畫出最大公司效益與目標系數的關系圖，這里只列舉x11，x12,x13，x22前面目標系數變化時，最大公司效益和目標系數的變化關系。同理其他的都可以歸結為這四類中的一類。如下圖：紅線表示的就是上面表格中列的最優解保持不變時，系數變動對最優值的影響區域。Max z F 27150 B 26400O 750 c11Max z 27150 B 25150O 1000 c13Max z B F2 F1O 1250 c12對上面圖形說明：各個圖中的黑點（即折線的交點）表示最優解發生變化的臨界點。用這個分析結果很容易看到，若某一個工程項

20、目只增加其中一種技術人員的收費標準時（該工程中其他技術人員的收費標準和其它項目中人員的收費標準，人數需求均保持不變），可以使公司的最大效益增加，但是人力資源調度不變。這樣公司可以根據這個標準跟對方商談價格，在一定的人數范圍內，公司的領導階層可以盡可能地提高收費標準，為公司獲得最大的效益；同時對需求方來說他則要出低一點的收費標準來得到項目需求的人數，這樣需求方可以使支出大大減小。這個盡可能低的工資從理論上來說有的甚至可以達到零值，但是這是不符合實際情況的。主要原因是我們算出來的是理論值，從理論上來說是可以的。我們不能說只根據理論而去采取使高級工程師的工資為250元（固定工資），而技術員的工資還是

21、500元這樣的收費標準，即使是人員分配還是符合項目的要求。這就要求公司和需求方共同商議來達到一個較好的值，所以模型要跟實際聯系起來才能得到更好的實際意義。3.對上面的第1點的人員分配做進一步的分析：(1).對于高級工程師來說，隨著高級工程師單位人數的增加，最大公司效益以700元的幅度遞增。但是當人數增加到12人時，最大公司效益卻不再增加。此時在達到這個最大公司效益的上限值時，對應著一個總人數是44（<55）。為什么會出現這個現象呢？按照正常的想法應該是高級工程師越多越好。但在此題中對此很好解釋，因為高級工程師的人數都有一個上限，即他不能像我們想象的那樣可以無限增加直到55。又由于實際中高

22、級工程師相對稀缺，而且是質量保證的關鍵。因此各個項目客戶對高級工程師的配備有不能少于一定數目的限制是需要的。(2).對于工程師來說，同樣隨著工程師單位人數的增加，最大公司效益以550元的幅度遞增。當人數達到27人時，最大公司效益也不再增加，而是保持在27150元這個值不變。此時的總人數是51（<55），又出現了這樣的現象。顯然這里并不是純粹的如上面的原因，仔細觀察上面的數據圖可以看到此時A、B、C三個項目都已經達到了最大的約束項限制，而在D地卻沒有達到，從這里就可以得出主要原因是在D地，同樣的在D地對工程師的人數需求是28，又是上面提到的存在上限的問題。(3).對于助理工程師來說，隨著助

23、理工程師單位人數的增加，最大公司效益以小一點的值480元的幅度遞增。當人數達到24人時，已經達到了使最大公司效益不變的值，此時最大值33870元，此時總人數剛好達到題目限制的最大值55人，得到了較好的人數分配，使得每個工程項目都能有足夠的人力資源來進行工作。(4).對于技術員來說，相對于技術員單位人數的增加，最大公司效益也是以幅度440元來遞增。雖然技術員并沒有像上面所說有上限的限制，但是在最大公司效益不再改變時，技術員有14人，此時總人數是50人，并不能達到55人。此時最大公司效益已經達到了30410元。這里雖然沒有像上面所說的上限約束的限制，可是人數還是不能達到最大分配。這里還是要從題目表

24、格里仔細觀察發現：D地由于技術要求較高，技術員不能參加。這里就給了人數一個很大的限制，所以技術員在是A，B，C三地達到最大滿足后不能再增加了。這個分析結果對實際應用很有價值。像這里A，B，C，D四個項目共需要55個人，當公司有足夠的人員來分配給他們時，如果它不加考慮的就分配這樣會出現人員浪費。比如就拿技術員來說，他達到14人時公司效益不再增加。公司如果分配了18人給需求方，這樣這四個技術員就好似沒有得到任何利潤，就存在著這種浪費現象。實際中公司接手的項目往往有很多個，這里人員分配就顯得更加重要，否則很可能會出現分配了這里而在那里得不到滿足。可見考慮這個問題是非常必須的。用這個模型可以很方便的解

25、決這些問題。五.模型的改進與推廣：（1）以上的模型還沒有講到各級技術人員分別對公司效益的產生影響。實際情況中，不同級別的技術人員對公司的效益都是不同的，下面我們就以問題為代表來討論高級工程師、工程師、助理工程師、技術員在整體上和人均上每天為公司所創的效益。（注：在這里我們假設在C、D兩個項目中每人每天不需要50元的管理開支費。）那么，在整體上：9個高級工程師每天為公司所創的純收入為： 17個工程師每天為公司所創的純收入為：10個助理工程師每天為公司所創的純收入為：5個技術員每天為公司所創的純收入為：在人均上： 每個高級工程師每天為公司所創的純收入：每個工程師每天為公司所創的純收入： 每個助理工

26、程師每天為公司所創的純收入： 每個技術員每天為公司所創的純收入：從上面表1中可以看出高級工程師和工程師在公司中所起的作用是舉足輕重的，由此可見一個公司若沒有高技術人員的加盟，它的效益就不會高，在激烈的競爭中就很難立足，有可能就會面臨破產的悲劇。從表2 中可以看出高級工程師每天人均為公司所創的純收入是十分可觀的，正因為如此現在無論各個行業各個部門都希望高素質人才加盟自己的隊伍，而國際上也把科學技術作為衡量一個國家綜合國力的重要標志，這也印證了“科學技術是生產力”的道理，符合當今社會現實潮流。六.模型評價：模型的優點如下：1） 模型的主體采取L軟件處理數據和對其進行靈敏度分析，準確性高，容量大，邏

27、輯性嚴格，計算速度快，具有較強的說服力和適應能力。2） 動態的分析了各種人員人數變化對公司效益的影響和各種人員收費標準變化對公司效益的影響。3） 從單純的問題分析中，預見到了現今社會對高技術人才的需求程度。模型的缺點如下：1) 我們在靈敏度分析中，對模型中最優值的影響因素只是從單個方面的變化考慮。不是十分的全面。參考文獻1.胡運權，郭耀煌. 運籌學教程. 清華大學出版社. 19982.姜啟源, 謝金星, 葉俊.數學模型. 高等教育出版社. 20033. 趙靜 , 但琦. 數學建模與數學實驗(第二版). 高等教育出版社 2003附錄1: A=1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0