1、第六節空間圖形的垂直關系第六節空間圖形的垂直關系第八章立體幾何初步第八章立體幾何初步考考 綱綱 要要 求求1認識和理解空間中線、面垂直的有關性質與判定認識和理解空間中線、面垂直的有關性質與判定定理定理2能運用定理和已獲得的結論證明一些空間位置關能運用定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題系的簡單命題課課 前前 自自 修修知識梳理知識梳理一、空間圖形的垂直關系一、空間圖形的垂直關系直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直二、直線與直線垂直二、直線與直線垂直定義：兩條直線所成的角為定義：兩條直線所成的角為90，則稱兩直線垂直，包，則稱兩

2、直線垂直，包括兩類：相交垂直與異面垂直括兩類：相交垂直與異面垂直三、直線與平面垂直三、直線與平面垂直1定義：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都定義：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直這條直線叫做平面的垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直這條直線叫做平面的垂線，這個平面叫做直線的垂面垂線，這個平面叫做直線的垂面2直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定.類別類別語言表述語言表述 應用應用判定判定如果一條直線和一個平面內的任如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直，那么這條直何一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直線和這個平面垂直(定義定義) 證

3、直線和平面垂直證直線和平面垂直 如果一條直線和一個平面內的兩如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面線垂直于這個平面 (判定定理判定定理)證直線和平面垂直證直線和平面垂直 如果兩條平行直線中的一條垂直如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面于同一個平面 證直線和平面垂直證直線和平面垂直 3.直線與平面垂直的性質直線與平面垂直的性質類類別別語言表述語言表述圖示圖示字母表示字母表示應用應用性性質質如果一條直線和如果一條直線和一個平面垂直，一個平面垂直，那么這條直線和那么這條直線和這個

4、平面內的任這個平面內的任何一條直線都垂何一條直線都垂直直 證兩條證兩條直線垂直線垂直直如果兩條直線同如果兩條直線同垂直于一個平面，垂直于一個平面，那么這兩條直線那么這兩條直線平行平行ab證兩條證兩條直線平直線平行行四、二面角四、二面角1定義：從一條直線定義：從一條直線AB出發的兩個半平面出發的兩個半平面(和和)所所組成的圖形叫做二面角記作二面角組成的圖形叫做二面角記作二面角-AB-，AB叫做二面叫做二面角的棱，兩個半平面角的棱，兩個半平面(和和)叫做二面角的面叫做二面角的面2二面角的平面角：在二面角的棱二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一點上任取一點O，過過O分別在二面角的兩個面分別在二面

5、角的兩個面，內作與棱垂直的射線內作與棱垂直的射線OM，ON，我們把，我們把MON叫做二面角叫做二面角-AB-的平面角，用它來的平面角，用它來度量二面角的大小度量二面角的大小平面角是直角的二面角叫做直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角五、兩個平面垂直的判定和性質五、兩個平面垂直的判定和性質1定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直角，就說這兩個平面互相垂直2兩個平面垂直的判定和性質兩個平面垂直的判定和性質類別類別語言表述語言表述圖示圖示字母表示字母表示應用應用判定判定根據定義證明根據定義證明兩平面所成的二兩平面所成的二

6、面角是直二面角面角是直二面角AOB是二面角是二面角a的平面的平面角，且角，且AOB90，則，則證兩證兩平面平面垂直垂直如果一個平面經如果一個平面經過另一個平面的過另一個平面的一條垂線，那么一條垂線，那么這兩個平面互相這兩個平面互相垂直垂直類別類別語言表述語言表述圖示圖示字母表示字母表示應用應用性質性質如果兩個平面如果兩個平面垂直，那么它垂直，那么它們所成二面角們所成二面角的平面角是直的平面角是直角角，AOB是是二面角二面角a的平面角，則的平面角，則AOB90證兩證兩條直條直線垂線垂直直如果兩個平面如果兩個平面垂直，那么在垂直，那么在一個平面內垂一個平面內垂直于它們交線直于它們交線的直線垂直于的

7、直線垂直于另一個平面另一個平面證直證直線和線和平面平面垂直垂直基礎自測基礎自測1已知直線已知直線m，n和平面和平面，若，若，m，n，要使要使n，則應增加的條件是，則應增加的條件是() A. mn B. nmC. n D. n解析：已知直線解析：已知直線m，n和平面和平面，若，若，m，n，根據面面垂直的性質定理，應增加條件，根據面面垂直的性質定理，應增加條件nm，才能，才能使得使得n.答案：答案：B2. (2012沈陽、大連聯考沈陽、大連聯考)設設a，b是平面是平面內兩條不同的直線，內兩條不同的直線，l是平面是平面外的一條直線，則外的一條直線，則“la，lb”是是“l”的的()A充要條件充要條件

8、B充分不必要條件充分不必要條件C必要不充分條件必要不充分條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件解析：根據線面垂直的性質，解析：根據線面垂直的性質，a，b是平面是平面內兩條不同的內兩條不同的直線，由直線，由“l”，可以推得，可以推得“la，lb”，反之則不一，反之則不一定定“la，lb”是是“l”的必要不充分條件故選的必要不充分條件故選C.答案：答案：C3.如圖所示，在四棱錐如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，中，PA底面底面ABCD，且底面各邊都相等，且底面各邊都相等，M是是PC上的一動點，當點上的一動點，當點M滿足滿足_時，平面時，平面MBD平面平面PCD.(只只要填寫一個你認為是正

9、確的條件即可要填寫一個你認為是正確的條件即可)解析：解析：底面四邊相等，底面四邊相等，BDAC.PA平面平面ABCD，BDPA.PAACA，BD平面平面PAC.BDPC.故當故當DMPC(或或BMPC)時，有時，有PC平面平面MBD，從而有平面從而有平面PCD平面平面MBD.答案：答案：DMPC(或或BMPC)4已知已知m，n是兩條不同的直線，是兩條不同的直線，為兩個不同的平為兩個不同的平面，有下列四個命題：面，有下列四個命題：若若m，n，mn，則，則；若若m，n，mn，則，則；若若m，n，mn，則，則；若若m，n，則，則mn.其中正確的命題是其中正確的命題是(填上所有正確命題的序號填上所有正

10、確命題的序號)_.答案：答案：考考 點點 探探 究究考點一考點一直線與平面垂直的證明直線與平面垂直的證明【例【例1】如圖，在四棱錐】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，側棱側棱PD底面底面ABCD，PDDC，E是是PC的中點，作的中點，作EFPB交交PB于于點點F. (1)證明：證明：PA平面平面EDB; (2)證明：證明：PB平面平面EFD.點評：點評：(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：證明直線和平面垂直的常用方法有：判定判定定理；定理；ab，ab；，aa；面面面面垂直的性質垂直的性質(2)線面垂直的性質，常用來證明線線垂直線面垂直的性質，常用來證明線線

11、垂直變式探究變式探究1如圖，正方形如圖，正方形ABCD所在平面與三角形所在平面與三角形CDE所在平面所在平面相交于相交于CD，AE平面平面CDE，且，且AE3，AB6.(1)求證：求證：AB平面平面ADE；(2)求凸多面體求凸多面體ABCDE的體積的體積證明：證明： (1) AE平面平面CDE，CD平面平面CDE，AECD. 在正方形在正方形ABCD中，中，CDAD，ADAEA且且AD，AE平面平面ADE，CD 平面平面ADE，CD平面平面ADE.ABCD，AB平面平面ADE.解析：解析： (2)(法一法一)在在RtADE中，中，AE3，AD6，DE過點過點E作作EFAD于點于點F，考點二考點

12、二兩直線垂直的證明兩直線垂直的證明【例【例2】如圖，】如圖，ABCDEF-A1B1C1D1E1F1是底面半徑是底面半徑為為1的圓柱的內接正六棱柱的圓柱的內接正六棱柱(底面是正六邊形，側棱垂直于底底面是正六邊形，側棱垂直于底面面)，過，過FB作圓柱的截面交下底面于作圓柱的截面交下底面于C1E1，已知，已知FC1 .(1)證明：四邊形證明：四邊形BFE1C1是平行四邊形；是平行四邊形；(2)證明：證明：FBCB1.3點評：欲證線線垂直，可先證線面垂直，而欲證線面垂點評：欲證線線垂直，可先證線面垂直，而欲證線面垂直，可先證線線垂直，反復用直線與平面垂直的定義、判定直，可先證線線垂直，反復用直線與平面

13、垂直的定義、判定及性質來實現及性質來實現變式探究變式探究2如圖如圖(1)，ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACBC4，E，F分別為分別為AC，AB的中點，將的中點，將AEF沿沿EF折起，使折起，使A1在平在平面面BCEF上的射影上的射影O恰好為恰好為EC的中點，得到圖的中點，得到圖(2) (1)求證：求證：EFA1C；(2)求三棱錐求三棱錐FA1BC的體積的體積考點三考點三線面垂直的開放性探究線面垂直的開放性探究【例【例3】在棱長為】在棱長為1的正方體的正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，E，F，G分別為棱分別為棱BB1，DD1和和CC1的中點的中點(1)求證：求證：C1F平面平

14、面DEG；(2)求三棱錐求三棱錐D1A1AE的體積；的體積；(3)試在棱試在棱CD上求一點上求一點M，使，使D1M平面平面DEG.思路點撥：思路點撥：(1)連接連接DG，證明，證明C1FDG，再用線面平行的，再用線面平行的判定定理證明；判定定理證明；(2)確認確認A1D1是三棱錐的高；是三棱錐的高；(3)不論點不論點M在線在線段段CD上的什么位置，都有上的什么位置，都有EGD1M，因此只需在，因此只需在CD上確定點上確定點M，使得，使得D1MDG即可即可證明：證明： (1)在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，F，G分別為棱分別為棱DD1和和CC1的中點，的中點，DFGC1，且，且

15、DFGC1.四邊形四邊形DGC1F是平行四邊是平行四邊形形C1FDG.又又C1F 平面平面DEG，DG平面平面DEG，C1F平面平面DEG.點評：第點評：第(1)題也可以用面面平行的性質定理來證明：連接題也可以用面面平行的性質定理來證明：連接B1F，則可證明平面，則可證明平面B1C1F平面平面DEG；第；第(2)題也可以將平面題也可以將平面AA1D1作為底面，作為底面，E到到AA1的距離為高，求得體積；第的距離為高，求得體積；第(3)題是探題是探索性問題，常采用根據題設條件和結論，猜出要探索的結論，再索性問題，常采用根據題設條件和結論，猜出要探索的結論，再證明其正確性證明其正確性變式探究變式探

16、究3已知一四棱錐已知一四棱錐P-ABCD的三視圖如下，的三視圖如下，E是側棱是側棱PC上的動點上的動點(1)求四棱錐求四棱錐P-ABCD的體積的體積(2)是否不論點是否不論點E在何位置，都有在何位置，都有BDAE？證明你的結？證明你的結論論(3)求四棱錐求四棱錐P-ABCD的側面積的側面積(2)不論點不論點E在何位置，都有在何位置，都有BDAE.證明如下：連接證明如下：連接AC.ABCD是正方形，是正方形，BDAC.PC底面底面ABCD，且，且BD平面平面ABCD，BDPC.又又ACPCC，BD平面平面PAC.不論點不論點E在何位置，都有在何位置，都有AE平面平面PAC，不論點不論點E在何位置

17、，都有在何位置，都有BDAE.(3)由由(1)知知PCCD，PCBC，CDCB，RtPCD RtPCB.ABBC，ABPC，BCPCC，AB平面平面PCB.PB平面平面PBC，ABPB.同理同理ADPD.四棱錐四棱錐P-ABCD的側面積的側面積考點四考點四平面與平面垂直的證明平面與平面垂直的證明【例【例4】如圖，】如圖，ABC 為正三角形，為正三角形，EC平面平面ABC，BDCE，CECA2BD，M 是是EA 的中點，求證：的中點，求證：(1)DEDA；(2)平面平面BDM平面平面ECA；(3)平面平面DEA平面平面ECA.思路點撥：思路點撥：(1)證明證明DEDA，可以通過圖形分割，證明，可

18、以通過圖形分割，證明三角形全等三角形全等(2)證明面面垂直的關鍵在于尋找平面內一直線垂直于另證明面面垂直的關鍵在于尋找平面內一直線垂直于另一平面由一平面由(1)知知DMEA，取，取AC 中點中點N，連接，連接MN，NB，易，易得四邊形得四邊形MNBD 是矩形從而證明是矩形從而證明DM平面平面ECA.證明：證明：(1)如圖所示，取如圖所示，取EC 中點中點F，連接，連接DF.EC平面平面ABC，BDCE，得，得DB平面平面ABC.DBAB，ECBC.BDCE，BD CEFC，則四邊形，則四邊形FCBD是矩形，是矩形，DFEC.又又BABCDF，RtDEF RtADB.DEDA.(2)如圖所示，取

19、如圖所示，取AC 中點中點N，連接，連接MN，NB，M 是是EA 的中點，的中點，點評：面面垂直的問題常常轉化為線面垂直、線線垂直的點評：面面垂直的問題常常轉化為線面垂直、線線垂直的問題解決問題解決考點五考點五面面垂直性質的運用面面垂直性質的運用【例【例5】 如圖，正方形如圖，正方形ADEF與梯形與梯形ABCD所在的平面互相所在的平面互相垂直，垂直，ADCD，ABCD，CD2AB2AD.(1)求證：求證：BCBE；(2)在在EC上找一點上找一點M，使得，使得BM平面平面ADEF，請確定，請確定M點點的位置，并給出證明的位置，并給出證明解析：解析：(2)取取EC中點中點M，則有，則有BM平面平面

20、ADEF.證明如下：連接證明如下：連接MN.由由(1)知知BNAD，BN平面平面ADEF.又又M，N分別為分別為CE，CD的中點，的中點，MNDE.則則MN平面平面ADEF.平面平面BMN平面平面ADEF.BM平面平面ADEF.變式探究變式探究5如圖，正方形如圖，正方形ABCD和四邊形和四邊形ACEF所在的平面互相所在的平面互相垂直，垂直，EFAC，AB ，CEEF1.(1)求證：求證：AF平面平面BDE；(2)求證：求證：CF平面平面BDE.2四邊形四邊形CEFG為菱形為菱形CFEG.四邊形四邊形ABCD為正方形，為正方形，BDAC.又平面又平面ACEF平面平面ABCD，且平面且平面ACEF

21、平面平面ABCDAC，BD平面平面ACEF.CFBD.又又BDEGG.CF平面平面BDE.課時升華課時升華1三種垂直關系的證明三種垂直關系的證明(1)線線垂直的證明線線垂直的證明利用利用“兩條平行直線中的一條和第三條直線垂直，兩條平行直線中的一條和第三條直線垂直，那么另一條也和第三條直線垂直那么另一條也和第三條直線垂直”；利用利用“線面垂直的定義線面垂直的定義”，即由，即由“線面垂直線面垂直線線線線垂直垂直”；利用利用“三垂線定理或三垂線定理的逆定理三垂線定理或三垂線定理的逆定理”(2)線面垂直的證明線面垂直的證明利用利用“線面垂直的判定定理線面垂直的判定定理”，即由，即由“線線垂直線線垂直線面垂直線面垂直”；利用利用“如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么那么另一條也垂直于同一個平面另一條也垂直于同一個平面”；利用利用“面面垂直的性質定理面面垂直的性質定理”，即由，即由“面面垂直面面垂直線面線面垂直垂直”；利用利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面也垂直于另一個平面”利用定義：如果一條直線和平面內任何一條直線都垂直，利用定義：如果一條直線和平面內任何一條直線都垂直，那么這條直