1、1 第十一章第十一章 無窮級數無窮級數infinite seriesR2常數項級數的概念常數項級數的概念收斂級數的基本性質收斂級數的基本性質收斂級數的必要條件收斂級數的必要條件小結小結 思考題思考題 作業作業 第十一章第十一章 無窮級數無窮級數constant term infinite series第一節第一節 常數項級數常數項級數的概念和性質的概念和性質3為什么要研究無窮級數為什么要研究無窮級數是進行數值計算的有效工具是進行數值計算的有效工具( (如計算函數值、如計算函數值、出它的威力出它的威力. . 在自然科學和工程技術中在自然科學和工程技術中, ,也常用無窮也常用無窮無窮級數是數和函數

2、的一種表現形式無窮級數是數和函數的一種表現形式. .因無窮級數中包含有許多非初等函數因無窮級數中包含有許多非初等函數, ,故它在積分運算和微分方程求解時故它在積分運算和微分方程求解時, ,也呈現也呈現如諧波分析等如諧波分析等. .造函數值表）造函數值表）. .級數來分析問題級數來分析問題, ,常數項級數的概念常數項級數的概念41. 級數的定義級數的定義 nnnuuuuu3211(常數項常數項)無窮級數無窮級數一般項一般項如如 ;1031003103 n;1)1(41312111 nn.)1(11111 n以上均為以上均為(常常)數項數項級數級數.(1)常數項級數的概念常數項級數的概念一、一、常

3、數項級數常數項級數的概念的概念5這樣這樣, 級數級數(1)對應一個部分和數列對應一個部分和數列: nnuuus21稱無窮級數稱無窮級數(1)的的,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2. 級數的收斂與發散概念級數的收斂與發散概念按通常的加法運算一項一項的加下去按通常的加法運算一項一項的加下去,為級數為級數(1)的的,無窮級數定義式無窮級數定義式(1)的含義是什么的含義是什么?也算不完也算不完,永遠永遠那么如何計算那么如何計算?前前n項和項和部分和部分和. niiu1常數項級數的概念常數項級數的概念6部分和數列可能存在極限部分和數列可能存在極限,也可能不存在極限也可

4、能不存在極限.定義定義,無無限限增增大大時時當當n, ssn有有極極限限數數列列,1收斂收斂 nnu.1的的和和叫叫做做級級數數這這時時極極限限 nnus nuuus21,沒有極限沒有極限如果如果ns.1發發散散則則稱稱無無窮窮級級數數 nnu的部分和的部分和如果級數如果級數 1nnu.limssnn 即即則稱無窮級數則稱無窮級數并寫成并寫成即即常數項級數收斂常數項級數收斂(發散發散).nns lim(不存在不存在)存在存在常數項級數的概念常數項級數的概念7nnssr 21nnuu 1iinu0lim nnr對對收斂收斂級數級數(1),為級數為級數(1)的的余項余項或或余和余和. .顯然有顯然

5、有當當n充分大時充分大時,級數的斂散性它與部分和數列是否有級數的斂散性它與部分和數列是否有極限是等價的極限是等價的. nnnuuuuu3211(1)稱差稱差ssn 誤差誤差為為|nr常數項級數的概念常數項級數的概念8例例2)1(321 nnnsn而而 nnslim所以所以, n321的部分和的部分和 級數級數 2)1(limnnn 級數發散級數發散.常數項級數的概念常數項級數的概念9解解時時如果如果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1qaqqan 11(重要重要)例例討論等比級數討論等比級數(幾何級數幾何級數)的收斂性的收斂性.)0(20 aaqaqaqaaqnnn常數項級數的概念常

6、數項級數的概念10,1 時時當當 q0lim nnqqasnn 1lim,1 時時當當 q nnqlim nnslim 收斂收斂 發散發散時時如果如果1 q,1 時時當當 q,1 時時當當 q nasn 發散發散 aaaa不不存存在在nns lim 發散發散 綜上綜上 發發散散時時當當收收斂斂時時當當,1,10qqaqnn級數變為級數變為qaqqasnn 11常數項級數的概念常數項級數的概念11討論級數討論級數的斂散性的斂散性.)0(ln31 aann解解例例因為因為 1ln3nna為公比的等比級數為公比的等比級數,是以是以aln故故,1時時當當eae , 1|ln| a級數級數收斂收斂.發散

7、發散.ea10 當當, 1|ln| a 發發散散時時當當收收斂斂時時當當,1,10qqaqnn,時時或或ea 常數項級數的概念常數項級數的概念12解解)12)(12(1 nnun)121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn例例 判定級數判定級數的收斂性的收斂性. )12()12(1531311nn常數項級數的概念常數項級數的概念13)1211(21limlim nsnnn)1211(21 nsn21 ,級級數數收收斂斂其余項為其余項為nnssr 12112121n即即21 s.21和和為為12121 n常數項級數的概

8、念常數項級數的概念14例例 12nnn 因為因為nnns223222132 ns2后式減前式后式減前式,得得nnnnnnns2)212()2223()2122(11122 nnn2212121112 證證證明級數證明級數并求其和并求其和.收斂收斂,12223221 nnnnn2211211 常數項級數的概念常數項級數的概念15 nnnns2211211故故 nnsslim 所以所以,此級數收斂此級數收斂,nnn22121 且其和為且其和為2. )2212(lim1nnnn2 12nnn常數項級數的概念常數項級數的概念16的部分和分別為的部分和分別為 ns.n 及及則則 n nks于是于是,0時

9、時不存在極限且不存在極限且當當 ksn也不存在極限也不存在極限.nnks , ssn當當nnks 證證性質性質1 1設常數設常數, 0 k則則 11nnnnkuu 與與有相同的斂散性有相同的斂散性. 11nnnnkuu 與與令令 nkukuku21;ks所以所以, 11nnnnkuu 與與有相同的斂散性有相同的斂散性.結論結論: : 級數的每一項同乘一個不為零的常數級數的每一項同乘一個不為零的常數, , 斂散性不變斂散性不變. .常數項級數的概念常數項級數的概念二、二、收斂級數的基本性質收斂級數的基本性質12()nk uuu17性質性質2 2,11 nnnnvu 與與設有兩個級數設有兩個級數,

10、1sunn 若若,1 nnv.)(1 svunnn則則 1nnu若若 1nnv)(1nnnvu 則則發散發散.,1 nnu若若收斂收斂,發散發散, 1nnv均發散均發散,)(1nnnvu 則則斂散性斂散性不確定不確定.證證 niiivu1)(極限的性質極限的性質 niiinvu1)(lim niinniinvu11limlim即證即證.級數的部分和級數的部分和 niiv1 niiu1 結論結論: : 收斂收斂級數可以逐項相加與逐項相減級數可以逐項相加與逐項相減. .常數項級數的概念常數項級數的概念18 例例 11131,21nnnn 1121nn 1121nn都收斂都收斂. 131nn 211

11、1 113131nn無窮遞減等比數列的和無窮遞減等比數列的和qaS 11 發發散散時時當當收收斂斂時時當當,1,10qqaqnn 113121nnn311131 25 常數項級數的概念常數項級數的概念19,)1()1()1( 都都發散發散. 但但,111 )1(1收斂收斂.例例 000 )1(10 常數項級數的概念常數項級數的概念20性質性質3 3 添加或去掉添加或去掉有限項有限項不影響一個級數的斂散性不影響一個級數的斂散性.性質性質4 4 1nnu設級數設級數收斂收斂,則對其各項任意加括號所得則對其各項任意加括號所得新級數新級數仍收斂仍收斂于原級數的和于原級數的和.一個級數加括號后所得新級數

12、發散一個級數加括號后所得新級數發散,則則注注原級數發散原級數發散.事實上事實上,加括后的級數就應該收斂了加括后的級數就應該收斂了.設原來的級數收斂設原來的級數收斂,則根據則根據性性常數項級數的概念常數項級數的概念質質4, )11()11(例例如如 1111 收斂收斂 發散發散一個級數加括號后收斂一個級數加括號后收斂,原級數斂散性不確定原級數斂散性不確定.210lim nnu證證 1nnus nu nnulimss 0 級數收斂的必要條件級數收斂的必要條件因為因為則則所以所以1limlim nnnnss1 nnss常數項級數的概念常數項級數的概念三、三、收斂級數的必要條件收斂級數的必要條件22注

13、注 級數收斂的必要條件級數收斂的必要條件, , 必要條件不充分必要條件不充分. .0lim nnu有有 n131211常用判別級數發散常用判別級數發散;如如 調和級數調和級數 也可用它求或驗證極限為也可用它求或驗證極限為“0”0”的極限的極限;0lim nnu級數收斂的必要條件級數收斂的必要條件:但級數是否收斂但級數是否收斂常數項級數的概念常數項級數的概念23是否收斂是否收斂?討論討論 n131211調和級數調和級數由于由于)1ln(xx )0( x知知 nn11ln1得得 nknkS11nn1ln34ln23ln2ln nn134232ln)1ln(n 由由 nnSlim知級數發散知級數發散

14、. .發散發散 nkk111ln )1ln(lim nn 常數項級數的概念常數項級數的概念24例例 判別下列級數的斂散性判別下列級數的斂散性)1( 13)32)(12)(12(52nnnnnn)2( 1)1(3nnnnn 133ln31nnnn)3(級數收斂的必要條件級數收斂的必要條件常用判別級數發散常用判別級數發散. ., 0lim nnu解題思路解題思路常數項級數的概念常數項級數的概念25)1( 13)32)(12)(12(52nnnnnn解解 由于由于 nnulim81 發散發散0 )32)(12)(12(52lim3 nnnnnn)2( 1)1(3nnnnn解解 由于由于 nnulim

15、 nnn111lim30 發散發散e3常數項級數的概念常數項級數的概念26 133ln31nnnn)3( 解解 11nn 131nn而級數而級數33ln r33ln| r所以這個等比級數所以這個等比級數 133ln31nnnn發散發散.由由性質性質2知知,由由性質性質1知知,發散發散.因調和級數因調和級數發散發散,為公比的等比級數為公比的等比級數, 133lnnnn是以是以1 收斂收斂.常數項級數的概念常數項級數的概念27 1nnu設設為為收斂級數收斂級數, a為非零常數為非零常數,試判別級數試判別級數 1)(nnau的斂散性的斂散性.解解 因為因為 1nnu收斂收斂, 故故. 0lim nnu從而從而)(limaunn 0 故故級數級數 1)(nnau發散發散.a 0lim nnu級數收斂的必要條件級數收斂的必要條件:常數項級數的概念常數項級數的概念28常數項級數的基本概念常數項級數的基本概念基本審斂法基本審斂法3. 按基本性質按基本性質則級數收斂則級數收斂由定義由定義, ssn若若2., 0lim nnu當當則級數發散則級數發散一般項、部分和、收斂、發散及級數的性質一般項、部分和、收斂、發散及級數的性質常數項級數的概念常數項級數的概念四、小結四、小結級數收斂的必要條件級數收斂的必要條件記