1、.1.4導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用1能應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題重點(diǎn)2審清題意，正確建立函數(shù)關(guān)系式難點(diǎn)3無視變量的實(shí)際意義，忽略函數(shù)定義域易錯點(diǎn)根底·初探教材整理導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用閱讀教材P35P38“練習(xí)以上部分，完成以下問題1導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如用料最省、利潤最大、效率最高等問題一般可以歸結(jié)為函數(shù)的最值問題，從而可用導(dǎo)數(shù)來解決2用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活問題的根本思路1做一個容積為256 m3的方底無蓋水箱，所用材料最省時，它的高為_m.【解析】設(shè)底面邊長為x m，高為h m，那么有x2h256，所以h.所用材料的面積設(shè)為S m2，那么有S4x·hx24x&#

2、183;x2x2.S2x，令S0，得x8，因此h4m【答案】42某一件商品的本錢為30元，在某段時間內(nèi)，假設(shè)以每件x元出售，可賣出200x件，當(dāng)每件商品的定價為_元時，利潤最大【解析】利潤為Sxx30200xx2230x6 000，Sx2x230，由Sx0，得x115，這時利潤到達(dá)最大【答案】115質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型面積、體積的最值問題請你設(shè)計一個包裝盒，如圖1­4­1，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，

3、再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn)，設(shè)AEFBxcm圖1­4­11某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積Scm2最大，試問x應(yīng)取何值？2某廠商要求包裝盒的容積Vcm3最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值【精彩點(diǎn)撥】弄清題意，根據(jù)“側(cè)面積4×底面邊長×高和“體積底面邊長的平方×高這兩個等量關(guān)系，用x將等量關(guān)系中的相關(guān)量表示出來，建立函數(shù)關(guān)系式，然后求最值【自主解答】設(shè)包裝盒的高為h cm，底面邊長為a cm.由得ax，h30

4、x，0x30.1S4ah8x30x8x1521 800，所以當(dāng)x15時，S獲得最大值2Va2h2x330x2，V6x20x由V0，得x0舍去或x20.當(dāng)x0,20時，V0；當(dāng)x20,30時，V0.所以當(dāng)x20時，V獲得極大值，也是最大值此時，即包裝盒的高與底面邊長的比值為.1解決面積、體積最值問題的思路要正確引入變量，將面積或體積表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實(shí)際問題的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值2解決導(dǎo)數(shù)在實(shí)際應(yīng)用時應(yīng)注意的問題1列函數(shù)關(guān)系式時，注意實(shí)際問題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域；2一般地，通過函數(shù)的極值來求得函數(shù)的最值假如函數(shù)fx在給定區(qū)間內(nèi)只有一個極值點(diǎn)或函數(shù)fx在開區(qū)間上只有一個點(diǎn)

5、使fx0，那么只要根據(jù)實(shí)際意義判斷該值是最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)展比較再練一題1將一張2×6 m 的矩形鋼板按如圖1­4­2所示劃線，要求至全為矩形，且其中與，與分別是全等的矩形，且，沿線裁去陰影部分，把剩余部分焊接成一個以為底，為蓋的水箱，設(shè)水箱的高為x m，容積為y m3.圖1­4­21寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；2x取何值時，水箱的容積最大【解】1由水箱的高為x m，得水箱底面的寬為22x m，長為3x m.故水箱的容積為y2x38x26x0<x<12由y6x216x60，解得x舍去或x.因?yàn)閥2x38x2

6、6x0<x<1在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x的值為時，水箱的容積最大用料最省、本錢費(fèi)用最低問題位于A，B兩點(diǎn)處的甲、乙兩村合用一個變壓器，如圖1­4­3所示，假設(shè)兩村用同型號線架設(shè)輸電線路，問變壓器設(shè)在輸電干線何處時，所需電線總長最短圖1­4­3【精彩點(diǎn)撥】可設(shè)CDx，那么CE3x，利用勾股定理得出AC，BC的長，從而構(gòu)造出所需電線總長度的函數(shù)【自主解答】設(shè)CDx km，那么CE3xkm.那么所需電線總長lACBC0x3，從而l.令l0，即0，解得x1.2或x6舍去因?yàn)樵?,3上使l0的點(diǎn)只有x1.2，所以根據(jù)實(shí)際意義，知x1.2就是我

7、們所求的最小值點(diǎn)，即變壓器設(shè)在DE之間離點(diǎn)D的間隔 為1.2 km處時，所需電線總長最短1用料最省、本錢費(fèi)用最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象正確書寫函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答2利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問題，當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點(diǎn)使fx0時，假如函數(shù)在這點(diǎn)有極大小值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道在這個點(diǎn)獲得最大小值再練一題2甲、乙兩地相距400千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100千米/時，該汽車每小時的運(yùn)輸本錢P元關(guān)于速度v千米/時的函數(shù)關(guān)系是Pv4v315v，1求全程運(yùn)輸本錢Q元關(guān)于速度v的函數(shù)關(guān)系式；2為使全程

8、運(yùn)輸本錢最少，汽車應(yīng)以多大速度行駛？并求此時運(yùn)輸本錢的最小值. 【導(dǎo)學(xué)號：01580020】【解】1QP···400v26 0000<v1002Q5v，令Q0，那么v0舍去或v80，當(dāng)0<v<80時，Q<0；當(dāng)80<v100時，Q>0，v80千米/時時，全程運(yùn)輸本錢獲得極小值，即最小值，且Q最小值Q80元探究共研型利潤最大、效率最高問題探究在實(shí)際問題中，假如在定義域內(nèi)函數(shù)只有一個極值點(diǎn)，那么函數(shù)在該點(diǎn)處取最值嗎？【提示】根據(jù)函數(shù)的極值與單調(diào)性的關(guān)系可以判斷，函數(shù)在該點(diǎn)處取最值，并且極小值點(diǎn)對應(yīng)最小值，極大值點(diǎn)對應(yīng)最大值某商場銷售

9、某種商品的經(jīng)歷說明，該商品每日的銷售量y單位：千克與銷售價格x單位：元/千克滿足關(guān)系式y(tǒng)10x62，其中3x6，a為常數(shù)，銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克1求a的值；2假設(shè)該商品的本錢為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大【精彩點(diǎn)撥】1根據(jù)x5時，y11求a的值2把每日的利潤表示為銷售價格x的函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求最大值【自主解答】1因?yàn)閤5時，y11，所以1011，a2.2由1知，該商品每日的銷售量y10x62，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤fxx3210x3x62,3x6，從而，fx10x622x3x630x4·x6，于是，當(dāng)x變化時

10、，fx，fx的變化情況如下表：x3,444,6fx0fx單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得，x4是函數(shù)fx在區(qū)間3,6內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以，當(dāng)x4時，函數(shù)fx獲得最大值，且最大值等于42.故當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大1經(jīng)濟(jì)生活中優(yōu)化問題的解法經(jīng)濟(jì)生活中要分析消費(fèi)的本錢與利潤及利潤增減的快慢，以產(chǎn)量或單價為自變量很容易建立函數(shù)關(guān)系，從而可以利用導(dǎo)數(shù)來分析、研究、指導(dǎo)消費(fèi)活動2關(guān)于利潤問題常用的兩個等量關(guān)系1利潤收入本錢2利潤每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù)再練一題3某工廠消費(fèi)某種產(chǎn)品，該產(chǎn)品的月消費(fèi)量x噸與每噸產(chǎn)品的價格p元/噸之間的關(guān)系式為：p

11、24 200x2，且消費(fèi)x噸的本錢為R50 000200x元問該廠每月消費(fèi)多少噸產(chǎn)品才能使利潤到達(dá)最大？最大利潤是多少？【解】每月消費(fèi)x噸時的利潤為fxx50 000200xx324 000x50 000x0，由fxx224 0000，解得x200或x200舍去因?yàn)閒x在0，內(nèi)只有一個點(diǎn)x200使fx0，故它就是最大值點(diǎn)，且最大值為f200×201924 000×20050 0003 150 000元，故每月消費(fèi)200噸產(chǎn)品時利潤到達(dá)最大，最大利潤為315萬元構(gòu)建·體系1煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進(jìn)展冷卻和加熱，假如第x小時，原油溫度單位：為fxx3x

12、280x5，那么，原油溫度的瞬時變化率的最小值是_【解析】原油溫度的瞬時變化率為fxx22xx1210x5，所以當(dāng)x1時，原油溫度的瞬時變化率獲得最小值為1.【答案】12從邊長為10 cm×16 cm的矩形紙板的四角截去四個一樣的小正方形，作成一個無蓋的盒子，那么盒子容積的最大值為_cm3. 【導(dǎo)學(xué)號：01580021】【解析】設(shè)盒子容積為y cm3，盒子的高為x cm.那么y102x162xx0<x<54x352x2160x，y12x2104x160.令y0，得x2或x舍去，ymax6×12×2144cm3【答案】1443電動自行車的耗電量y與速度x

13、之間的關(guān)系為yx3x240xx>0，為使耗電量最小，那么其速度應(yīng)定為_【解析】由題設(shè)知yx239x40，令y>0，解得x>40，或x<1，故函數(shù)yx3x240xx>0在40，上遞增，在0,40上遞減當(dāng)x40時，y獲得最小值由此得為使耗電量最小，那么其速度應(yīng)定為40.【答案】404某產(chǎn)品的銷售收入y1萬元是產(chǎn)量x千臺的函數(shù)：y117x2x0，消費(fèi)本錢y2萬元是產(chǎn)量x千臺的函數(shù)：y22x3x2x0，為使利潤最大，應(yīng)消費(fèi)_千臺【解析】設(shè)利潤為y，那么yy1y217x22x3x22x318x2x0，y6x236x6xx6令y0，解得x0或x6，經(jīng)檢驗(yàn)知x6既是函數(shù)的極大值點(diǎn)又是函數(shù)的最大值點(diǎn)【答案】65某商品每件本錢9元，售價30元，每星期賣出432件，假如降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x單位：元，0x30的平方成正比，商品單價降低2元時，一星期多賣出24件1將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；2如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？【解】1假設(shè)商品降價x元，那么多賣的商品數(shù)為kx2件，由題意知24k·22，得k6.假設(shè)記商品在一個星期的獲利為fx，那么依題意有fx30x9·432