1、.第12講二次函數A組根底題組一、選擇題1.2019陜西對于拋物線y=ax2+2a-1x+a-3,當x=1時,y>0,那么這條拋物線的頂點一定在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.2019威海拋物線y=ax2+bx+ca0如下圖,以下結論錯誤的選項是A.abc<0B.a+c<bC.b2+8a>4acD.2a+b>03.2019甘肅蘭州將拋物線y=3x2-3向右平移3個單位長度,得到的新拋物線的表達式為A.y=3x-32-3B.y=3x2C.y=3x+32-3D.y=3x2-64.如圖,一次函數y1=kx+nk0與二次函數y2=ax2+bx+ca0的

2、圖象相交于A-1,5,B9,2兩點,那么關于x的不等式kx+nax2+bx+c的解集為A.-1x9B.-1x<9C.-1<x9D.x-1或x95.在同一坐標系中,一次函數y=-mx+n2與二次函數y=x2+m的圖象可能是二、填空題6.2019湖北武漢關于x的二次函數y=ax2+a2-1x-a的圖象與x軸的一個交點的坐標為m,0.假設2<m<3,那么a的取值范圍是. 7.某農場擬建兩間矩形飼養室,一面靠現有墻墻足夠長,中間用一道墻隔開,并在如下圖的三處各留1 m寬的門.方案中的材料可建墻體不包括門總長為27 m,那么能建成的飼養室面積最大為m2. 8.

3、如圖,RtOAB的頂點A-2,4在拋物線y=ax2a0上,將RtOAB繞點O順時針旋轉90°,得到OCD,邊CD與該拋物線交于點P,那么點P的坐標為. 三、解答題9.如圖,需在一面墻上繪制幾個一樣的拋物線型圖案.按照圖中的直角坐標系,最左邊的拋物線可以用y=ax2+bxa0表示.拋物線上B,C兩點到地面的間隔 均為34 m,到墻邊的間隔 分別為12 m,32 m.1求該拋物線的函數關系式,并求圖案最高點到地面的間隔 ;2假設該墻的長度為10 m,那么最多可以連續繪制幾個這樣的拋物線型圖案?B組提升題組一、選擇題1.以下關于二次函數y=ax2-2ax+1a>1的圖象與x

4、軸交點的判斷,正確的選項是A.沒有交點B.有一個交點,且它位于y軸右側C.有兩個交點,且它們均位于y軸左側D.有兩個交點,且它們均位于y軸右側2.2019棗莊以下圖是二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分,且過點A3,0,二次函數圖象的對稱軸是直線x=1,以下結論正確的選項是A.b2<4acB.ac>0C.2a-b=0D.a-b+c=03.2019濰坊二次函數y=-x-h2h為常數,當自變量x的值滿足2x5時,與其對應的函數值y的最大值為-1,那么h的值為A.3或6B.1或6C.1或3D.4或64.2019菏澤二次函數y=ax2+bx+c的圖象如下圖,那么一次函數y=bx+a與反

5、比例函數y=a+b+cx在同一平面直角坐標系中的圖象大致是二、填空題5.2019青島假設拋物線y=x2-6x+m與x軸沒有交點,那么m的取值范圍是. 6.2019淄博拋物線y=x2+2x-3與x軸交于A,B兩點點A在點B的左側,將這條拋物線向右平移mm>0個單位,平移后的拋物線與x軸交于C,D兩點點C在點D的左側,假設B,C是線段AD的三等分點,那么m的值為. 三、解答題7.2019廣東如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=-x2+ax+b交x軸于A1,0,B3,0兩點,點P是拋物線上在第一象限內的一點,直線BP與y軸相交于點C.1求拋物線y=-x2+ax+b的解析式;

6、2當點P是線段BC的中點時,求點P的坐標;3在2的條件下,求sinOCB的值.8.2019陜西拋物線L:y=x2+x-6與x軸相交于A、B兩點點A在點B的左側,并與y軸相交于點C.1求A、B、C三點的坐標,并求ABC的面積;2將拋物線L向左或向右平移,得到拋物線L',且L'與x軸相交于A'、B'兩點點A'在點B'的左側,并與y軸相交于點C',要使A'B'C'和ABC的面積相等,求所有滿足條件的拋物線的函數表達式.二次函數的綜合應用培優訓練一、選擇題1.向上發射一枚炮彈,經x秒后的高度為y千米,且時間與高度的關系為y

7、=ax2+bx.假設此炮彈在第7秒與第14秒時的高度相等,那么在以下哪一個時間的高度是最高的A.第9.5秒B.第10秒C.第10.5秒D.第11秒2.煙花廠為成都春節特別設計制作了一種新型禮炮,這種禮炮的升空高度hm與飛行時間ts的關系式是h=-32t2+12t+30,假設這種禮炮在升空到最高點時引爆,那么從點火升空到引爆需要的時間為A.3 sB.4 sC.5 sD.6 s3.二次函數y=ax2+bx+ca0圖象的一部分如下圖,x=-1是對稱軸,以下結論:ac<0;a-b+c=-9a;假設-3,y1,32,y2是拋物線上兩點,那么y1>y2;將拋物線沿x軸向右平移一個單位后得到的新

8、拋物線的表達式為y=ax2-9.其中正確的選項是A.B.C.D.二、填空題4.科學家為了推測最合適某種珍奇植物生長的溫度,將這種植物分別放在不同溫度的環境中,經過一定時間后,測試出這種植物高度的增長情況,部分數據如表:溫度t/-4-2014植物高度增長量l/mm4149494625科學家經過猜測并推測出l與t之間是二次函數關系.由此可以推測最合適這種植物生長的溫度為. 5.如圖,直線y=mx+n與拋物線y=ax2+bx+c交于A-1,p,B4,q兩點,那么關于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是. 三、解答題6.旅游公司在景區內配置了50輛觀光車供游客租賃使用

9、,假定每輛觀光車一天內最多只能出租一次,且每輛車的日租金x元是5的倍數.發現每天的運營規律如下:當x不超過100元時,觀光車能全部租出;當x超過100元時,每輛車的日租金每增加5元,租出去的觀光車就會減少1輛.所有觀光車每天的管理費是1 100元.1優惠活動期間,為使觀光車全部租出且每天的凈收入為正,那么每輛車的日租金至少應為多少元?注:凈收入=租車收入-管理費2當每輛車的日租金為多少元時,每天的凈收入最多?7.我國中東部地區霧霾天氣趨于嚴重,環境治理已刻不容緩.我市某電器商場根據民眾安康需要,代理銷售某種家用空氣凈化器,其進價是200元/臺.經過市場銷售后發現:在一個月內,當售價是400元/

10、臺時,可售出200臺,且售價每降低10元/臺,就可多售出50臺.供貨商規定這種空氣凈化器售價不能低于300元/臺,代理銷售商每月要完成不低于450臺的銷售任務.1試確定月銷售量y臺與售價x元/臺之間的函數關系式;2求售價x的范圍;3當售價x元/臺定為多少時,商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w元最大?最大利潤是多少?8.如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6a0相交于A12,52和B4,m兩點,點P是線段AB上異于A、B的動點,過點P作PCx軸于點D,交拋物線于點C.1求拋物線的解析式;2是否存在這樣的P點,使線段PC的長有最大值?假設存在,求出這個最大值;假設不存在,請說明理由

11、.9.如圖,直線y=-x+3與x軸,y軸分別交于B3,0,C0,3兩點,拋物線y=ax2+bx+c過A1,0,B,C三點.1求拋物線的解析式;2假設點M是拋物線在x軸下方的一個動點,過點M作MNy軸交直線BC于點N,求線段MN的最大值;3在2的條件下,當MN獲得最大值時,在拋物線的對稱軸l上是否存在點P,使PBN是以BN為腰的等腰三角形?假設存在,求出點P的坐標,假設不存在,請說明理由.10.如圖,在矩形OABC中,點O為原點,點A的坐標為0,8,點C的坐標為6,0.拋物線y=-49x2+bx+c經過點A、C,與AB交于點D.1求拋物線的函數解析式;2點P為線段BC上一個動點不與點C重合,點Q

12、為線段AC上一個動點,AQ=CP,連接PQ,設CP=m,CPQ的面積為S.求S關于m的函數表達式;當S最大時,在拋物線y=-49x2+bx+c的對稱軸l上是否存在點F,使DFQ為直角三角形,假設存在,請直接寫出所有符合條件的點F的坐標;假設不存在,請說明理由.11.如圖1,平面直角坐標系中,二次函數y=-14x2+bx+c的圖象與坐標軸分別交于點A、B、C,其中點A0,8,OB=12OA.1求二次函數的表達式;2假設OD=OB,點F為該二次函數在第二象限內圖象上的動點,E為DF的中點.當CEF的面積最大時,求出點E的坐標;如圖2,將CEF繞點E旋轉180°,C點落在M處,假設M點恰好

13、在該拋物線上,求出此時CEF的面積.12.如圖,直線y=-x+2與x軸交于B點,與y軸交于C點,A點坐標為-1,0.1求過A、B、C三點的拋物線的解析式;2在直線BC上方的拋物線上有一點D,過D作DEBC于E,作DFy軸交BC于F,求DEF周長的最大值;3在滿足第2問的條件下,在線段BD上是否存在一點P,使DFP=DBC.假設存在,求出點P的坐標;假設不存在,說明理由.13.如圖,在平面直角坐標系中,直線y=12x+2與x軸交于點A,與y軸交于點C.拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=-32且經過A、C兩點,與x軸的另一交點為點B.1求二次函數y=ax2+bx+c的表達式;2假設點P為直線

14、AC上方的拋物線上的一點,連接PA,PC,BC.求四邊形PABC面積的最大值,并求出此時點P的坐標;3拋物線上是否存在點M,過點M作MN垂直x軸于點N,使得以點A,M,N為頂點的三角形與ABC相似?假設存在,求出點M的坐標;假設不存在,請說明理由.第12講二次函數A組根底題組一、選擇題1.C當x=1時,y=a+2a-1+a-3>0,解得a>1,又根據拋物線頂點坐標公式可得-2a-12a<0,4a(a-3)-(2a-1)24a=-8a-14a<0,所以這條拋物線的頂點一定在第三象限,應選C.2.DA.由圖象開口可知:a<0,由對稱軸可知:-b2a>0,b>

15、;0,由拋物線與y軸的交點可知:c>0,abc<0,故A正確;B.由圖象可知:x=-1時,y<0,y=a-b+c<0,a+c<b,故B正確;C.由圖象可知:頂點的縱坐標大于2,4ac-b24a>2,a<0,4ac-b2<8a,b2+8a>4ac,故C正確;D.對稱軸x=-b2a<1,a<0,2a+b<0,故D錯誤.應選D.3.A4.A5.D二、填空題6.答案-3<a<-2或13<a<12解析把m,0代入y=ax2+a2-1x-a得am2+a2-1m-a=0,m=-(a2-1)±(a2-1)

16、2+4a22a=-(a2-1)±(a2+1)2a,解得m1=1a,m2=-a,2<m<3,2<1a<3或2<-a<3,解得13<a<12或-3<a<-2.7.答案75解析設垂直于墻的材料長為x米,那么平行于墻的材料長為27+3-3x=30-3x,那么總面積S=x30-3x=-3x2+30x=-3x-52+75,故飼養室的最大面積為75平方米.8.答案2,2解析RtOAB的頂點A-2,4在拋物線y=ax2a0上,4=4a,解得a=1,拋物線的解析式為y=x2,ABx軸,B-2,0,OB=2,將RtOAB繞點O順時針旋轉90&#

17、176;,得到OCD,D點在y軸上,且OD=OB=2,D0,2,DCOD,DCx軸,P點的縱坐標為2,代入y=x2,得2=x2,解得x=2負值舍去,P2,2.三、解答題9.解析1根據題意得B12,34,C32,34,把B,C代入y=ax2+bxa0得34=14a+12b,34=94a+32b,解得a=-1,b=2,拋物線的函數關系式為y=-x2+2x,圖案最高點到地面的間隔 =-224×(-1)=1 m.2令y=0,即-x2+2x=0,解得x1=0,x2=2,10÷2=5,最多可以連續繪制5個這樣的拋物線型圖案.B組提升題組一、選擇題1.Da>1,=-2a2-4a=4

18、aa-1>0,ax2-2ax+1=0有兩個不相等的實數根,即函數圖象與x軸有兩個交點,x=2a-4a(a-1)2a>0,應選D.2.D拋物線與x軸有兩個交點,b2-4ac>0,即b2>4ac,所以A選項錯誤;拋物線開口向上,a>0,拋物線與y軸的交點在x軸下方,c<0,ac<0,所以B選項錯誤;二次函數圖象的對稱軸是直線x=1,-b2a=1,2a+b=0,所以C選項錯誤;拋物線過點A3,0,二次函數圖象的對稱軸是x=1,拋物線與x軸的另一個交點為-1,0,a-b+c=0,所以D選項正確.應選D.3.B對于二次函數y=-x-h2h為常數,當x=h時,函數

19、有最大值0,又當自變量x的值滿足2x5時,與其對應的函數值y的最大值為-1,故h<2或h>5.當h<2,2x5時,y隨x的增大而減小,故當x=2時,y有最大值,此時-2-h2=-1,解得h1=1,h2=3舍去;當h>5,2x5時,y隨x的增大而增大,故當x=5時,y有最大值,此時-5-h2=-1,解得h1=6,h2=4舍去,綜上可知h=1或6.應選B.4.B二次函數y=ax2+bx+c的圖象開口向上,a>0,該拋物線對稱軸位于y軸的右側,a、b異號,即b<0.當x=1時,y<0,a+b+c<0.一次函數y=bx+a的圖象經過第一、二、四象限,反比

20、例函數y=a+b+cx的圖象分布在第二、四象限,應選B.二、填空題5.答案m>9解析拋物線y=x2-6x+m與x軸沒有交點,<0,即-62-4×1×m<0,解得m>9.6.答案2解析如圖,B,C是線段AD的三等分點,AC=BC=BD,由題意得:AC=BD=m,當y=0時,x2+2x-3=0,x-1x+3=0,x1=1,x2=-3,A-3,0,B1,0,AB=3+1=4,AC=BC=2,m=2,故答案為2.三、解答題7.解析1把A1,0,B3,0代入拋物線y=-x2+ax+b,得0=-1+a+b,0=-9+3a+b,解得a=4,b=-3.拋物線的解析式

21、為y=-x2+4x-3.2當點P是線段BC的中點時,易得點P的橫坐標為32,當x=32時,y=34,所以點P的坐標為32,34.3由2得點C的坐標為0,32,OC=32,又OB=3,BC=OC2+OB2=352.sinOCB=OBBC=3352=255.8.解析1令y=0,得x2+x-6=0,解得x=-3或x=2,A-3,0,B2,0.AB=5,令x=0,得y=-6,C0,-6,OC=6,SABC=12AB·OC=12×5×6=15.2由題意得A'B'=AB=5.要使SA'B'C'=SABC,只要拋物線L'與y軸的交

22、點為C'0,-6或C'0,6即可.設所求拋物線L':y=x2+mx+6,y=x2+nx-6.拋物線L'與拋物線L的頂點的縱坐標一樣,24-m24=-24-14,-24-n24=-24-14,解得m=±7,n=±1n=1舍去.拋物線L'的函數表達式為y=x2+7x+6,y=x2-7x+6或y=x2-x-6.二次函數的綜合應用培優訓練一、選擇題1.C當x=7時,y=49a+7b;當x=14時,y=196a+14b.根據題意得49a+7b=196a+14b,b=-21a,根據二次函數圖象的對稱性及拋物線的開口方向,得當x=-b2a=10.5

23、時,y最大,即高度最高.應選C.2.B禮炮在升空到最高點時引爆,且二次函數圖象的開口向下,高度h取最大值時,t=-b2a,即t=-122×-32=4.應選B.3.D二次函數的圖象開口向下,a<0,拋物線與y軸的正半軸相交,c>0,ac<0,故正確;拋物線的對稱軸x=-b2a=-1,b=2a,當x=2時,y=0,4a+2b+c=0,4a+4a+c=0,c=-8a,a-b+c=-9a,故正確;拋物線的對稱軸為x=-1,當x=-1時,拋物線有最大值,-3間隔 -1有2個單位長度,32間隔 -1有52個單位長度,y1>y2,故正確;設拋物線的解析式為y=ax+12+k

24、,將拋物線沿x軸向右平移一個單位后得出平移后的解析式y=ax2+k,c=-8a,a+k=-8a,k=-9a,將拋物線沿x軸向右平移一個單位后得到的新拋物線的表達式為y=ax2-9a,即y=ax2-9,故正確.正確結論為.應選D.二、填空題4.答案-1解析設l=at2+bt+ca0,將0,49,1,46,4,25代入后得方程組c=49,a+b+c=46,16a+4b+c=25,解得a=-1,b=-2,c=49,所以l與t之間的二次函數解析式為l=-t2-2t+49,當t=-b2a=-1時,l有最大值50,即最合適這種植物生長的溫度是-1 .5.答案x<-1或x>4解析由題圖可知,當x

25、<-1或x>4時,直線y=mx+n的圖象在拋物線y=ax2+bx+c的上方,不等式mx+n>ax2+bx+c的解集為x<-1或x>4.三、解答題6.解析1由題意知,假設觀光車能全部租出,那么0<x100,由50x-1 100>0,解得x>22,x是5的倍數,每輛車的日租金至少應為25元.2設每天的凈收入為y元,當0<x100時,y1=50x-1 100,y1隨x的增大而增大,當x=100時,y1的最大值為50×100-1 100=3 900;當x>100時,y2=50-x-1005x-1 100=50x-15x2+20x-1

26、 100=-15x2+70x-1 100=-15x-1752+5 025,當x=175時,y2的最大值為5 025,5 025>3 900,故當每輛車的日租金為175元時,每天的凈收入最多,是5 025元.7.解析1根據題中條件售價每降低10元/臺,月銷售量就可多售出50臺,那么月銷售量y臺與售價x元/臺之間的函數關系式為y=200+50×400-x10,化簡得y=-5x+2 200.2根據供貨商規定這種空氣凈化器售價不能低于300元/臺,代理銷售商每月要完成不低于450臺的銷售任務,那么x300,-5x+2 200450,解得300x350.所以售價x的范圍為300x350.

27、3w=x-200-5x+2 200,整理得w=-5x-3202+72 000.x=320在300x350內,當x=320時,w有最大值,為72 000,即售價定為320元/臺時,商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w最大,最大利潤是72 000元.8.解析1B4,m在直線y=x+2上,m=6,即B4,6,A12,52和B4,6在拋物線y=ax2+bx+6上,a122+12b+6=52,16a+4b+6=6,解得a=2,b=-8,拋物線的解析式為y=2x2-8x+6.2存在.設動點P的坐標為n,n+2,點C的坐標為n,2n2-8n+6,PC=n+2-2n2-8n+6=-2n2+9n-4=-2n

28、-942+498,-2<0,拋物線開口向下,有最大值,當n=94時,線段PC的長有最大值498.9.解析1由題意將點A1,0、B3,0、C0,3代入拋物線y=ax2+bx+c中,得a+b+c=0,9a+3b+c=0,c=3,解得a=1,b=-4,c=3,拋物線的解析式為y=x2-4x+3.2設點M的坐標為m,m2-4m+3,MNy軸,點N的坐標為m,-m+3.A1,0,B3,0在拋物線上且點M是拋物線在x軸下方的一個動點.1<m<3.線段MN=-m+3-m2-4m+3=-m2+3m=-m-322+94,當m=32時,線段MN取最大值,最大值為94.3假設存在.設點P的坐標為2

29、,n.當m=32時,點N的坐標為32,32,PB=(2-3)2+(n-0)2=1+n2,PN=2-322+n-322,BN=3-322+0-322=322.PBN以BN為腰的等腰三角形,分二種情況:當PB=BN,即1+n2=322時,解得n=±142,此時點P的坐標為2,-142或2,142.當PN=BN,即2-322+n-322=322時,解得n=3±172,此時點P的坐標為2,3-172或2,3+172.綜上可知:在拋物線的對稱軸l上存在點P,使PBN是以BN為腰的等腰三角形,點P的坐標為2,-142或2,142或2,3-172或2,3+172.10.解析1將A、C兩點

30、坐標代入拋物線解析式,得c=8,-49×36+6b+c=0,解得b=43,c=8,拋物線的解析式為y=-49x2+43x+8.2OA=8,OC=6,AC=OA2+OC2=10,過點Q作QEBC與E點,那么sinACB=QEQC=ABAC=35,QE10-m=35,QE=3510-m,S=12·CP·QE=12m×3510-m=-310m2+3m.S=12·CP·QE=12m×3510-m=-310m2+3m=-310m-52+152,當m=5時,S取最大值;在拋物線對稱軸l上存在點F,使DFQ為直角三角形,拋物線y=-49x

31、2+43x+8的對稱軸為x=32,D的坐標為3,8,Q的坐標為3,4,當FDQ=90°時,F132,8,當FQD=90°時,那么F232,4,當DFQ=90°時,設F32,n,那么FD2+FQ2=DQ2,即94+8-n2+94+n-42=16,解得n=6±72,F332,6+72,F432,6-72,滿足條件的點F共有四個,分別為F132,8,F232,4,F332,6+72,F432,6-72.11.解析1OA=8,OB=12OA=4,B4,0,y=-14x2+bx+c的圖象過點A0,8,B4,0,-14×42+4b+c=0,c=8,解得b=

32、-1,c=8,二次函數的表達式為y=-14x2-x+8.2當y=0時,-14x2-x+8=0,解得x1=4,x2=-8,C點坐標為-8,0,D點坐標為0,4,設直線CD的解析為y=kx+dk0,故-8k+d=0,d=4,解得k=12,d=4,故直線DC的解析為y=12x+4.如圖,過點F作y軸的平行線交DC于點P,設F點坐標為m,-14m2-m+8,那么P點坐標為m,12m+4,那么FP=-14m2-32m+4,SFCD=12·FP·OC=12×-14m2-32m+4×8=-m2-6m+16,E為FD中點,SCEF=12×SFCD=-12m2-

33、3m+8=-12m+32+252,當m=-3時,SCEF有最大值,-14m2-m+8=-14×9+3+8=354,E點縱坐標為12×354+4=518,F-3,354,E-32,518.F點坐標為m,-14m2-m+8,C點坐標為-8,0,D點坐標為0,4,Mm+8,-14m2-m+12,又M點在拋物線上,-14m+82-m+8+8=-14m2-m+12,解得m=-7,故SCEF=-12m2-3m+8=92.12.解析1直線y=-x+2與x軸交于B2,0,與y軸交于C0,2,設過A、B、C的拋物線的解析式為y=ax2+bx+ca0,把A-1,0,B2,0,C0,2的坐標代入,解得a=-1,b=1,c=2,拋物線的解析式為y=-x2+x