1、代數基本定理代數基本定理定理定理1 任何一個任何一個 次多項式次多項式 可以分解成可以分解成 下面的形式下面的形式)(xpnn21)()()(21 axaxxpn21,aa其中其中 為實數根，為實數根， 為其實數；為其實數；,21,)( ,)(21222112qxpxqxpx分別對應于一對復根，分別對應于一對復根，21,為其實數，且為其實數，且n212122 定理定理2 若有理真分式若有理真分式 的分母的分母 分解成定理分解成定理1的形式，則有理真分式可展開成的形式，則有理真分式可展開成)()(xPxQnn)(xPn21)()(222112 qxpxqxpxqpxxMxNqpxxMxNqpxx

2、MxN21222211)()( )()()()()(111211axAaxAaxAxPxQnn )()()(111221axBaxBaxB qpxxSxRqpxxSxRqpxxSxR21222211)()( 其中其中 等都是未定常數。等都是未定常數。iiiiiiSRNMBA,可通過比較多項式系數而定出。可通過比較多項式系數而定出。例例1) 1() 1() 1() 1(1)()(222122xMNxxAxAxxxPxQnn22221) 1)() 1)(1() 1(1xMNxxxAxA)()() 1() 1() 2(2222211221qpxxMxNqpxxMxNxBxBxA222)32()1)(

3、2(1)()(xxxxxPxQnn例例132xBxA) 3)(2(36532xxxxxx3)2()3(xxBxA3231BABA6, 5BA21xCxBxA例例2) 2)(1(3223223xxxxxxxx32)1()2()2)(1(xxCxxBxxxA令0 x得23,23AA令1x2x令得35, 53BB得61, 16CC) 2)(1(3223223xxxxxxxx) 2( 61) 1( 3523xxxdxxxxxdxxxxx) 2)(1(3223223dxxxx) 2( 61) 1( 35233312224xDCxxBxAxx)() 3() 3(1222DCxxxBxAx1303300BB

4、ABDCA310310DCBA2424353123162xxxxxxx例3dxxxxdxxxxx3123162242435dxxxxxx)3(31313122242cxxx3arctan331312dxxxx322232332) 32(21222xxdxdxxxxx222)2()1()1(3)32ln(21xxdxx例例4cxxx21arctan23)32ln(212三角函數有理式的積分三角函數有理式的積分三角函數有理式是指由三角函數和常數經過有限四則運算所構成的函數，由于各種三角函數都可用 及 的有理式表示，故三角函數有理式也就是 的有理式，記作xx cos,sinxsinxcos)cos,

5、(sinxxR例5 求dxxxx)cos1 (sinsin1有三角公式知 與 都可以用 的有理式表示，即xsin2tanxxcos2tan12tan22sec2tan22cos2sin2sin22xxxxxxx2sin2coscos22xxx2tanxu 令令212sinuux2211cosuuxduudx212uxarctan22tan12tan12sec2tan12222xxxxdxxxx)cos1 (sinsin1于是于是2222212)111 (12)121 (uduuuuuuucuuuduuu)ln22(21)12(212cxxx2tanln212tan2tan412duuuuuuRdxxxR222212)11,12()cos,(sin一般地對于三角有理式的積分，令一般地對于三角有理式的積分，令2tanxu 簡單無理函數的積分簡單無理函數的積分主要討論主要討