1、第三節(jié) 基本定理的推廣一、問題的提出二、復合閉路定理三、典型例題復合閉路定理復合閉路定理四、小結與思考一、問題的提出 2.d11 , zzz計算計算實例實例 , 1 2 在內的閉曲線在內的閉曲線是包含是包含因為因為 zz根據本章第一節(jié)例根據本章第一節(jié)例4可知可知, 2.2d11 zizz由此希望將基本定理推廣到多連域中由此希望將基本定理推廣到多連域中.二、復合閉路定理1. 閉路變形原理閉路變形原理 , )( 在多連通域內解析在多連通域內解析設函數設函數zf ),( 1正向為逆時針方向正向為逆時針方向單閉曲線單閉曲線內的任意兩條簡內的任意兩條簡為為及及DCC. 11DDCC全含于全含于為邊界的區(qū)

2、域為邊界的區(qū)域及及DC1C1DAA BB , BBAA 和和作兩段不相交的弧段作兩段不相交的弧段DC1C1DAA BB EE FF , AAEBAEB 顯然曲線顯然曲線 BFABFAA , , , , ,FFEE 添加字符添加字符為了討論方便為了討論方便 . 均為封閉曲線均為封閉曲線 , D因為它們的內部全含于因為它們的內部全含于, 0d)( AAEBAEBzzf故故. 0d)( BFABFAAzzf,AAAEBBBAEBAAEBAEB ,BFABBBFAAABFABFAA AAEBAEBzzfd)( 由由, 0d)( BFABFAAzzf得得DC1C1DAA BB EE FF Czzfd)(

3、 1d)(Czzf AAzzfd)( AAzzfd)(, 0d)( BBzzf BBzzfd)(, 0d)(d)( 1 CCzzfzzf即即.d)(d)( 1 CCzzfzzf或或DC1C1DAA BB EE FF , 1 成一條復合閉路成一條復合閉路看看及及閉曲線閉曲線如果我們把這兩條簡單如果我們把這兩條簡單CC : 的正方向為的正方向為 , 按逆時針進行按逆時針進行外面的閉曲線外面的閉曲線 C , 1按順時針進行按順時針進行內部的閉曲線內部的閉曲線 C ), , (的左手邊的左手邊內部總在內部總在的的的正向進行時的正向進行時即沿即沿 . 0)( dzzf那末那末 解析函數沿閉曲線的積分解析

4、函數沿閉曲線的積分, , 不因閉曲線在不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的值區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的值. .閉路變形原理閉路變形原理說明說明: : 在變形過程中曲線不經在變形過程中曲線不經過函數過函數 f(z) 的不解析的點的不解析的點. .2. 復合閉路定理復合閉路定理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn為邊界的區(qū)域全含于為邊界的區(qū)域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它們它們內部的簡單閉曲線內部的簡單閉曲線是在是在內的一條簡單閉曲線內的一條簡單閉曲線多連通域多連通域為為設設 , )( 內解析內解析在在如果如果DzfDC1C2

5、C3C那末那末,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCCDC1C2C3C. 0d)()2( zzf). , , , , :( , , , , 2121順時針進行順時針進行按按按逆時針進行按逆時針進行其方向是其方向是組成的復合閉路組成的復合閉路為由為由這里這里nnCCCCCCCC 三、典型例題例例1 1解解 . 1 ,d12 2曲線曲線在內的任何正向簡單閉在內的任何正向簡單閉為包含圓周為包含圓周計算積分計算積分 zzzzz, 1 0 12 2 zzzzz和和內有兩個奇點內有兩個奇點在復平面在復平面因為函數因為函數依題意知依題意知, xyo 1 也包

6、含這兩個奇點，也包含這兩個奇點， , 21CC 和和不相交的正向圓周不相交的正向圓周內作兩個互不包含也互內作兩個互不包含也互在在 xyo 1 , 0 1 zC 只包含奇點只包含奇點 , 1 2 zC 只包含奇點只包含奇點1C2C根據復合閉路定理根據復合閉路定理, zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 例例2 2 . 1 2 ,d 所組成所組成向圓周向圓周和負和負為正向圓周為正向圓周計算積分計算積分 zzzzezxyo121C2C解解 , 21圍成一個圓環(huán)域圍成一個圓環(huán)域和和CC, 上處處解析上處處

7、解析在此圓環(huán)域和其邊界在此圓環(huán)域和其邊界函數函數zez圓環(huán)域的邊界構成一條復合閉路圓環(huán)域的邊界構成一條復合閉路,根據閉路復合定理根據閉路復合定理,. 0d zzez例例3 3. , ,d)(1 1為整數為整數的任一簡單閉路的任一簡單閉路為含為含求求nazazn 解解 , 內部內部在曲線在曲線因為因為 a a , 故可取很小的正數故可取很小的正數 , : 1內部內部含在含在使使 az1 , )(111內處處解析內處處解析為邊界的復連通域為邊界的復連通域在以在以 naz由復合閉路定理由復合閉路定理, 1d)(1d)(111zazzaznn a 1 ,20 ieaz令令 1d)(11zazn 201

8、d)( niieie 20d ninie . 0, 00,2d)(1 1nnizazn故故 此結論非常重要此結論非常重要, 用起來很方用起來很方便便, 因為因為不必是圓不必是圓, a也不必也不必是圓的圓心是圓的圓心, 只要只要a在簡單閉曲在簡單閉曲線線內即可內即可.例例4 4. , ,d)(121 00為自然數為自然數閉曲線閉曲線的任意正向的任意正向為含為含求求nzzzzin 解解由上例可知由上例可知 , 0, 00,2d)(1 1nnizazn , 0za 此處不妨設此處不妨設 . 1, 01, 1d)(121 0nnzzzin則有則有四、小結與思考 本課所講述的復合閉路定理與閉路變形原本課所講述的復合閉路定理與閉路變形原理是復積分中的重要定理理是復積分中的重要定理, 掌握并能靈活應用它掌握并能靈活應用它是本章的難點是本章的難點.常用結論常用結論: . 0, 00,2d)(1 1nnizazn思考題思考題 復合閉路定理在積分計算中有什么用復合閉路定理在積分計算中有什么用? 要要