1、v1.0可編輯可修改構造對偶式的八種途徑在數學解題過程中，合理地構造形式相似，具有某種對稱關系的一對對偶關系式，并通過對這對對偶關系式進行適當的和，差，積等運算，往往能使問題得到巧妙的解決，收到事半功倍的效果。下面通過實例來談談構造對偶式的八種途徑。一.和差對偶對于表達式u(x) v(x),我們可構造表達式 u(x)v(x)作為它的對偶關系式。,且 3sin 4cos 5,求 tan 的值。2解析：構造對偶式：3sin 4cos y r 3sin 4cos3sin 4cosy，得sincos再由 sin2cos21,得：y 7, tan點評：這種構造對偶式的方法靈巧，富有創意，有助于培養學生的

2、創新思維和創造能力。例2 已知：a, b, c, dR,且 a2 b2c2d21,求證：(ab)4 (ac)4 (a d)4(bc)4(bd)4 (c d)4 6。解：設M (a b)4 (a c)4 (a d)4 (b c)4 (b d)4 (c d)4,構造對偶式N (a b)4 (a c)4 (a d)4 (b c)4 (b d)4 (c d)4則有：M N6(a4b4c4d4 2a2b22a2c22a2d2 2b2c22b2d2 2c2d2)6(a2b2c2d2)2 6又N 0 ,故M 6 ,即原不等式成立。點評：這個對偶式構造得好！它的到來一下子使問題冰消融了。解法自然，樸素，過程簡

3、潔,運算輕松!例 3 解方程：，x2 8x 21x2 8x 21 1011v1.0可編輯可修改123解：構造對偶式:一 x2 8x21 x28x 21 a,再由原方程聯立可解得:.x2 8x 21x2 8x 2110 a10 a,(2)那么(1)2(2)2 得：2x2421 2(1002a2),(1)2(2)2 得：16x8x代入(3 )中得:一 一 9 2整理得：x 252164 22x2 42 -(100 一x2), 2254,解得：x 10 o3二.互倒對偶互倒對偶是指針對式子的結構，通過對式中的某些元素取倒數來構造對偶式的方法。例4若 x,y,z (0,1),求證:1 3。1 z x解

4、：設M構造對偶式:3,故M(1y)(1z)(1x),則一 (1 y3,即y)(1z)；(1 z x)3。例5設a1，a2, a3,|“，an為互不相等的正整數,求證:aia222A" 3an d 11 -n2231113解：設M =a222I HIan2 n,構造對偶式:a222HIa2111an31113v1.0可編輯可修改3iii又ai,a2,a3,|,an為互不相等的正整數，所以NIlli點評：解題時巧妙構思，對其構造了 “意料之中”的對偶式，化新為舊，等價轉化，完成對 難點的突破，以達化解問題這目的。34例6已知對任意x (,0)(0,)總有.1f(x) 2f(一) x x0

5、,求函數y f(x)的解析解析：因f(x) 2f (1)x 0x 111用1替代上式中的x,構造對偶式：f(-) 2f (x) - 0xxx由X 2 得：f (x) x 4f d) 2 0 x x故 f (x)x2 2x3x三.共輾對偶共軻對偶是反映利用共軻根式或共軻復數來構造對偶式的方法。例7已知z c ,解方程：z z 3iz 1 3i。解析：由z z 3iz 1 3i構造對偶式：z z 3iz 1 3i由一得z z 2,代入得(z 1)(z 1 3i) 0,故 z 1 或 z 1 3i。z 1例8若z c,已知z 1且z 1,證明：為純虛數。z 1一 7 1 一. 7 17 17 1解：

6、設乂=則M(二) 七一構造對偶式：N= z 1z 1 z 1z 1則M + N= - + :?- = 0 (因為 z z z 1)z 1 z 1z 1，又 0 (因為z 1)z 1v1.0可編輯可修改z 1 一，為純虛數。z 1例9 已知：a 0,b 0,且 a b 1,求證：J20l J2bF 2四。證明：設m= J2a。J2T7,構造對偶式：n= J2aJ2BF222 M M N 4(a b) 4 8M 2 J2 ,即原不等式成立。四.倒序對偶倒序對偶是指針對式子的結構，通過和式或積式進行倒序構造對偶式的方法。例10求和：S 1C： 2cl2 3c3 4c4 m nC：解析：觀察和式聯想到

7、 Ck c；k,0 k n,n N ,故首先在和式右邊添上一項0C0,則 S 0 C0 1C1 2c2 III nCl構造對偶式：S nC： (n 1)Cn (n 2)C2Ml 0C：即亦為： S 0 C0 1C； 2cl2 "I nCnn由+得：nC： nC1 "I nC： 1 nC：2S nC： nC1 | nC：1 nC； n(C0 U C；1 C：) 2S n 2nS n 2n點評：利用現成的對偶式，使問題本身變得簡單，便易，如此處理，可謂“勝似閑庭信步”，豈不妙哉！例1 1正項等比數列an中，Ta1a2a3口an,Sa1a2a3an試用s,t表示 Q 1。a a2

8、 川 an解析：傳統解法都用 a1，q表示s, T及Q,然后通過 a1和q找到s, T, Q的等量關系，這種解法雖思路正確，但運算繁瑣，加之在用等比數列求和公式時還要討論q 1和q 1兩種情形，如 44v1.0可編輯可修改此解題會陷入漫漫無期的運算之中，很少有人能夠到達終點。其實，觀察和式子與積式特征不妨 采取“本末倒置”構造倒序對偶序式一試。由題意知：T a1a2 a3111an構造倒序對偶式:an an 1 an 2 W ai由X得：T2 (a1 an)(a2 an 1)n(an aj (ai an)2,即 T (a an尸再來看：Q 1ai a2 川 an55構造倒序對偶式：Q 1an

9、an 1ai即+得：1an 2III(i即2Qa ana2an 2a ana2 an 2IIIan a1an 4由等比數列性質可知，右邊的分母均為a1 an,故2Q(a an) (a?an 1)(ana)a1 an2s即 2Q 二S , . QamSaianTn2五.定值對偶定值對偶是指能利用和，差，積，商等運算產生定值，并借此構造出對偶式的方法。x2例12已知函數 f (X) -o1 X111f(4)f(3)也) f(1) f(2)f(3)f(4),則5= v1.0可編輯可修改67解析：f(x) f(l) - x 12x2 x(1)2x1(-)2x發現定值：f(x)1那么S f(-)4f(-

10、)x1f(-) f3f(2)f(3)f(4)構造對偶式：Sf(4) f(3)f(2)f(1)嗎)11f(3) f(4)由+得:_ 1.12s f(/ f f(3)f(3)1 f(2)f(2)2f(1),1,1,1f(2) f(2) f f(3) f f(4)六.奇偶數對偶奇偶數對偶指利用整數的分類中奇數與偶數的對稱性構造對偶式的方法。例1 3求證:2n 12n解：設M4 6 |,llh2n 1|-2,構造對偶式：N2n 12nIII2no2n 1因此M從而M 2 M2n2n 1,2n 1例 14求證：(1 1)(1 1X"。)3 3n 13n 2證明：待證不等式的左邊為：(111)(

11、1 對 k13n 25 in 貯。4 3n 2III3n 1構造兩個對偶式:3n32712 3'4 5 625 in,明占P3n3n 1433n6iii13n3n3nv1.0可編輯可修改78M3(13nIII3H)(2%(4 73n 1)3n 13 6 3n M33n 1故原不等式成立。點評：靈活地選取解題方法，對其構造了 “意想不到”的對偶式，從而完成了解答，充分體現了解題技巧。七.輪換對偶輪換對偶是指針對式子的結構,通過輪換字母而構造對偶式的方法。例1 5求證：對任意實數2 b2-b 8不等式成立。 1 a 1證明:b2b2構造對偶式N b 1(a b)(a b)2(b 1)(a1

12、)(b1)(a1)4 2 2 8,8,即M8。當且僅當2時等號成立。例 1 6設 a,b,cb2證明:b2構造對偶式:b2 M2,2abb2 b0,b2b c八.互余對偶v1.0可編輯可修改三角中的正弦與余弦是兩個對稱元素，利用互余函數構造對偶式，借用配對思想可以輕 松完成有關三角題的解答。例 1 7 已知 x 0,解方程：cos2x cos2 2x cos2 3x 1 222 _2_ -2_2_2_斛析：右令 M cos x cos 2x cos 3x,構造對偶式：N sin x sin 2x sin 3x則：M N 32M N cos2x cos4x cos6x 2cosxcos3x 2c

13、os 3x 12cos3x(cosx cos3x) 1 4cosxcos2xcos3x 1 M N 4cos x cos2x cos3x 11由十得：cosxcos2xcos3x (2M2),又 M 14cosx cos2x cos3x 0cosx 0 或 cos2x0或 cos3x 0,x 0,-288x 一或 x 或 x。642點評：通過構造對偶式，創設了 cosxcos2xcos3x 0這一美妙而又能打開書局面的有利條 件，可謂“高招” ！例 1 8求 sin210， cos2 40. sin10 . cos40,.的值。解析：令 M sin210 * cos2 401sin10' cos40;,構造對偶式： N cos210sin2 40* cos10'*' sin 40-,則M N 2 sin10vcos40cos10、sin40， 2 sin50M N cos20 - cos80H sin10，cos40， cos10 sin40:1 2sin 50 sin 301 sin30sin