1、常系數非齊次線性微分方程 第八節型)(e)(xPxfmxxxPxflxcos)(e)(型sin)(xxPn一、一、 第七章 )(xfyqypy ),(為常數qp二階常系數線性非齊次微分方程 :根據解的結構定理 , 其通解為Yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據 f (x) 的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數 . 待定系數法待定系數法)(exQx )()2(xQp )()(2xQqp)(exPmx一、一、 型)(e)(xPxfmx 為實數 ,)(xPm設特解為, )(e*xQyx其中 為待定多項式 , )(xQ )()(e*xQxQyx )

2、()(2)(e*2xQxQxQyx 代入原方程 , 得 )(xQ )()2(xQp)()(2xQqp)(xPm為 m 次多項式 .)(xfyqypy (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即則取),(xQm從而得到特解形式為. )(e*xQymxQ (x) 為 m 次待定系數多項式(2) 若 是特征方程的單根 , , 02qp,02 p)(xQ則為m 次多項式, 故特解形式為xmxQxye)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 則是 m 次多項式,故特解形式為xmxQxye)(*2小結小結 對方程,)2, 1, 0(e)(*kxQxyxmk此結論可推廣到高

3、階常系數線性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即當 是特征方程的 k 重根 時,可設特解例例1.1332 xyyy求方程的一個特解.解解: 本題而特征方程為,0322rr不是特征方程的根 .設所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0例例2. xxyyy2e65 求方程的通解. 解解: 本題特征方程為,0652 rr其根為對應齊次方程的通解為xxCCY3221ee設非齊次方程特解為xbxbxy210e)(*比較系數, 得120 b0210bb1,211

4、0bb因此特解為.e)1(*221xxxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxCCy3221ee.e)(2221xxx ,2二、二、型xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(第二步第二步 求出如下兩個方程的特解xmxPyqypy)i(e)( yqypy分析思路:第一步第一步將 f (x) 轉化為第三步第三步 利用疊加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特點xmxP)i(e)(第一步第一步利用歐拉公式將 f (x) 變形xxfe)(i2)(2)(xPxPnlx)i(ei2)(2)(xPxPnlx)i(e

5、xmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(則令,maxlnm )(xPl2eeiixx)(xPni2eeiixx 第二步第二步 求如下兩方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), xmkxQxy)i(1e)()(次多項式為mxQm故xmxPyqypy)i(111e)()()( 等式兩邊取共軛 :xmxPyqypy)i(111e)(1y這說明為方程 的特解 .xmxPyqypy)i(e)( xmxPyqypy)i(e)( 設則 有特解:第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的結果, 根據疊加原理, 原方程有特解 :11*yyy

6、xkxexmxmQQiiee原方程 yqypy xxPxxPnlxsin)(cos)(exkxe)sini(cosxxQm)sini(cosxxQm xkxexRmcosxRmsinmmRR,其中均為 m 次多項式 .xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(第四步第四步 分析的特點yxRxRxyyymmxksincose11因11yy*yy所以mmRR,因此均為 m 次實多項式 .11yyy本質上為實函數 ,11yy小小 結結:xxPxxPnlxsin)(cos)(e對非齊次方程yqypy ),(為常數qpxRxRxymmxksincose*則可設特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k =

7、 0, 1), ilnm,max上述結論也可推廣到高階方程的情形.例例4. xxyy2cos 求方程的一個特解 .解解: 本題 特征方程, 2, 0故設特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,i2i代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比較系數 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一個特解13 a043cb03 c043ad0 cb例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程為, 092r其根為對應齊次方程的通解為xCxCY3s

8、in3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數, 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyi32, 1r代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為xCxCy3sin3cos21為特征方程的單根 ,3i)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此設非齊次方程特解為例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根i,r所以設非齊次方程特解為(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根i, 04, 32, 1rrxxyyxsin3e)2()

9、4( 利用疊加原理 , 可設非齊次方程特解為)(*2baxxyxce)sincos(xkxdx設下列高階常系數線性非齊次方程的特解形式:內容小結內容小結xmxPyqypye)(. 1 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkxQxye)(*則設特解為sin)(cos)(e. 2xxPxxPyqypynlx 為特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkxye*則設特解為sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述結論也可推廣到高階方程的情形.思考與練習思考與練習時可設特解為 xxxfcos)() 1當xxxxf2e2cos)()2當xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)