1、數學研究生課程設置統計分析課程設置既是研究生進行課程學習的知識載體，學生科研創新能力培養中基本知識和基本方法的傳承和發展，也直接制約著培養目標的實現。課程設置還是學科點自主實現學科持續發展的主體作用的體現，關注研究生課程設置與建設是當前的熱點話題之一。 2014年 12月教育部公布了關于改進和增強研究生課程建設的意見 1，要求“把培養目標和學位要求作為課程體系設計的根本依據。完整貫徹本學科研究生培養目標和學位要求，重視課程體系的系統設計和整體優化。堅持以能力培養為核心、以創新能力培養為重點，拓寬知識基礎 ”。2015 年 1 月 27 日，李克強總理在與科教文衛體的代表座談時談到“剛才為什么我

2、要問純數學？我們要搞原始創新，就必須更加重視基礎研究，沒有扎實的基礎研究，就不可能有原始創新”2。與一般研究研究生公共數學 3 或者數學二級學科4 的課程體系不同，本文主要關注數學學科本身的課程設置問題。通過調研我國 19 個大學數學一級學科下，各個培養單位自主設置基礎數學、應用數學、計算數學、概率論與數理統計和運籌學與控制論共五個二級學科下開設專業課程的現狀，進行可視化統計分析。把各個高校開設的共性課程與哈佛大學、加州大學伯克利分校的數學課程進行對比分析。課程統計分析結果可以為數學學科碩士研究生培養方案修（制）訂提供參考，也可供理工類學科選修數學課程參考。一、數學學科課程開設頻數可視化分析課

3、程數據來自于19個高等學校：北京大學（PKU ,北京工業大學 （PKU ,北京航空航天大學（BAUU ,北京交通大學（BJTU ,北京 科技大學（USTB ,復旦大學（FDU ,哈爾濱工業大學（HIT）,華 東理工大學（ECUST ,武漢理工大學（WUT ,上海交通大學（SJTU ,西安交通大學（XJTU ,蘭外I大學（LZUJ）,武漢大學 （WHU,吉林大學（JLU）,南京大學（NJU ,四JI大學（SCU , 南開大學（NKU ,浙江大學（ZJU）,山東大學（SDU。括號中的學 校簡稱用于課程設置信息可視化圖形繪制（如圖 1）。所選的 19所高校中包括北京大學等國家重點學科院校8 個。因為

4、本次統計分析主要面向綜合類或者理工類院校，所以沒有納入師范類院校。根據各個學校公開的培養方案中的選修課和必修課進行統計，把課程名稱非常接近的課程合并為同一個課程名稱 , 比如“代數幾何初步”并入“代數幾何”，“算法分析與設計”并入“算法設計與分析”，“現代分析基礎”并入“現代分析引論”，“小波分析及應用”并入“小波分析”，“有限元的數學理論”并入“有限元方法”，“隨機信號處理”并入“隨機信號分析”，“最優化計算方法”并入“最優化理論與算法”，“矩陣分析”并入“矩陣分析與計算”等。在合并之后，這 19 所高校的開設課程之和多達664 門，采用信息可視化軟件Gephi, 繪制出這 19 所高校及其

5、數學學科開設課程交叉關系圖（圖 1）。圖 1 中，學校和課程都采用代碼表示，每門課程對應一個小圓點（結點），每所學校對應于一大圓點（結點），將學校與其所開設課程通過直線相連。若同一門課程的開設學校多于一個，則此結點與多個學校相關聯，并且這類多個學校關聯的結點一般都布局在比較靠近中心的位置。若某個結點僅與某個高校關聯，則說明此課程為這個學校特色課程。從圖 1 可以看出，ZJU, BJTU LZU, SDU PKU NKU FDUM開設了較多特色課程。從高校角度看，這19 所高校中，各個高校開設課程數量如圖 2 所示，其中開課最多的是復旦大學 158 門，最少的是華東理工大學 26 門。從課程角度

6、看， 664 門課程中，有447 門課程僅有一個學校開設，有118 門課程獲得了 3 個或者 3 個以上學校開設。而獲得 7 個或者 7 個以上學校開設的課程僅有28 門 , 如表 1 所示。表 1中的課程代碼體現在圖 1 中。可見表1 所列出的 28 門課程獲得比較多高校的重視，可以認為是數學學科的關鍵課程集。根據開設課程的頻數和相關排序，從表1 還可以歸納出以下幾個結論。（ 1）相對公認的最關鍵課程是泛函分析、動力系統、隨機過程，這也是近些年來數學學科各個分支方向的熱門課程。（2）數值計算、最優化方法、統計分析等基本數學技術與動力系統、小波分析、有限元方法等前沿課程代表的先進方法在數學學科

7、獲得同等重要的地位，在28 門課程中的次序不相上下，所占比例也比較接近。（3）純數學課程保持了相當的比例。數學作為學科自我發展的純數學方向的課程，比如代數拓撲、交換代數、黎曼幾何、代數學、拓撲學、微分幾何等都 得到了重點關注。二、依據開設課程相關性的高校聚類因為課程數目多達到 664 門，而各個高校開設課程數量相對于這個數字而言只能是小比例，以其中的關鍵課程或者熱門課程為基礎進行聚類分析。我們先給出數據統計分析方法的基本描述。第(ii=1,2,，伯)個學校關于n門課程開設狀態用一個n維的向量xi二 (c1,c2)表示，其中cj (j=1,2,m)為0-1變量，cj=0表示該學校未開設第j門課程

8、，否則cj=1。將兩所學校A和B之間相關距離定義為 d=1-r2 ，即實數 1 與相關系數r 的平方的差。兩所學校相關系數絕對值越高，這兩所學校的距離就越短。采用 R語言的iGraph軟 件包編程實現聚類分析。其中聚類算法采用力導引布局的FR算法，輸入這 19 個學校的相關距離矩陣，繪制出聚類結果圖。為了讓圖像更加簡潔地體現聚類效果，僅畫出相關距離小于 0.9 的聚類結果。繪圖中邊的長度與A和B之間的相關距離相對應。取表1中排序前15 (n=15) 門關鍵課程進行可視分析，從圖 3(a) 可以看出，在相關距離小于 0.9 的水平上， 19 個學校可以分為六個類：第一類是北京大學、四川大學、 武

9、漢大學、華東理工大學、武漢理工大學；第二類是蘭州大學、山東 大學；第三類是浙江大學、南京大學、北京科技大學、上海交通大學 和北京航空航天大學；第四類是哈爾濱工業大學、北京交通大學、北 京工業大學；第五類是西安交通大學、南開大學和吉林大學；第六類是復旦大學。這個聚類是按照這15 門課程的開設情況作出的，能夠從課程設置方面體現出一些異同之處。如果需要找出更深層次的信息，需要結合各個學校的培養目標進行分析。若重點考慮其中至少有6 個或者6個以上學校開設的課程，則有 37門(n=37),這37門課程為 基礎進行聚類分析。由FR算法可以繪制聚類結果如圖3 (b)所示。與 圖3 (a)相比較，聚類結果有些

10、變化，比如學校被分為8類，其原因是向量維數增加， 0 分量的個數增加，學校之間的相關性削弱，從而相 關距離增加。三、關鍵數學課程的中美比較分析哈佛大學數學系的數學課程5 中包含在表1 中 28 門課程的是復分析、代數拓撲、代數學、李群和李代數、微分幾何等5 門。面向研究生開設的課程有32門，其中有代數K-理論和流形拓撲、算術統計專題、代數幾何中的相交理論、結的代數不變量等12 門新課程，這些新的課程與學科的新進展、當前社會和科技新需求緊密結合。學校還開設了供研究生與本科生同修的數學課程30 門，包括一些經典的數學課程，比如泛函分析、動力系統、組合論、線性代數及其應用、概率論等。在這 30 門課

11、程中開設了統計軟件的數學基礎等5 門新課程。新課程的開設以及研究生與本科生大量課程的同修是哈佛大學數學系與國內課程設置上的兩個不同點。加州大學伯克利分校數學學科研究生課程65 門6，其中在表1 的課程有 8 門課程，分別是動力系統，偏微分方程，代數拓撲，矩陣分析與計算，黎曼幾何，調和分析，微分方程數值解, 李群。 65 門課程中包含數學課程熱點話題、代數專題、拓撲專題、微分幾何專題等特色課程，其授課內容是由任課教師自主選定的各個方向的高級話題，因此其內容因時因人而有所變化。對比這兩所學校的開設課程與表1 的關鍵課程表，可以看出，哈佛大學和加州大學伯克利分校的應用類課程如小波分析、有限元方法、時間序列等課程沒有開設，它們主要通過一些專題課程形式來教授應用、前沿、熱點知識。四、對自主設置課程的思考與建議1. 各個學校開設的數學專業課程數量差異較大，多的 150余門，少的20 多門；各個高校課程交叉形成的關鍵課程28 門，其中泛函分析, 動力系統，偏微分方程，小波分析，復分析, 有限元方法，組合優化，最優化理論，多元統計獲得半數以上高校開設；根據各個高校課程交叉的特征對各個高校進行聚類，能夠直觀分析各個高校的聚類特征和特色課程；交叉課程基數越大，聚類越分散。2. 基于哈佛大學與加州伯克利分校數學課程，可以看出國外高校在分析、幾何、代數三大傳統方向的基