1、【上海市位育中學(xué)2015學(xué)年第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)學(xué)科期末考試卷】一、填空題（本大題滿(mǎn)分40分，共有10題，要求直接填寫(xiě)結(jié)果，每題填對(duì)得4分，否則一律得零分）1、若直線工一2y+5=O與直線2x+叫，一6=0互相垂直，則實(shí)數(shù)m=.【答案：1】2、直線y=x關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)的直線方程是.【答案：x+2y-2=013、直線2qcos0=1與圓q=2cos。相交的弦長(zhǎng)為.【答案：B解析：直線2qcosO=1與圓q=2cos。的普通方程為2尤=1和（工-1滬+；/=1,圓心到直線的距離為1-;二!，所以弦長(zhǎng)為2）1節(jié)）=妊】4、若腿R,則直線y=sin<9x+2的傾斜角的取值范圍是.7T【答案：0,

2、-_4225、己知雙曲線。：二-七=1的焦距為10,點(diǎn)P（2,l）在C的漸近線上，則C的方程ab為.r2v2【答案：-=120522解析：設(shè)雙曲線。：1-4=1的半焦距為c,則2c、=10,c=5.ab又LC的漸近線為），=±合工，點(diǎn)P（2,l）在漸近線上，.1=上2,即a=2b.aa22又普=疽+1）2,：'=2販由=抵，：.C的方程為土一匕=1.2056、若IzJ=|z2|=2,且|z+z2|=23>貝iz-z2|=.【答案：2 若b/la,則p|=p|； 若兩個(gè)非零向量白、滿(mǎn)足p+|=|a|+|S|,則ab=ab; 巳知。、Rc是三個(gè)非零向量，若白+方=6,則ac

3、=be.其中真命題的序號(hào)是.、己知烏、是兩個(gè)不平行的向量，實(shí)數(shù)X、y滿(mǎn)足X。+(5-)*2=(y+l)q+刀。2，則x+y=.5若數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)4>0,%014+%015>°，。2014-2015<。，則使前n項(xiàng)和S”>0成立的最大自然數(shù)n是.4028二、選擇題(本大題滿(mǎn)分12分)本大題共有4題，每題都給出代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，每題答對(duì)得3分，否則一律得零分.13.“。=%ha2b2clx+b.y=c.1'1有唯一解"的A.充分不必要條件B.必要不充分條a2x+b2y=c2C.充要條件D.既不充分

4、又不必要條件若0/1=(-5,4),。8=(7,9),向量A8同向的單位向量坐標(biāo)是B,125、，125、A.(,)B.(,125、13131313(D.1+2+3+414. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+(2+1)=(+1)(2+1)時(shí)，在驗(yàn)證=1成立時(shí)，左邊所得的代數(shù)式是()CC.1+2+3A.1B.1+301«12%3、15. 由9個(gè)正數(shù)組成的矩陣。21«22的3中，每行中的三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且|+02+3、頂3132。33/a2i+a22+缶3、。31+。32+33成等比數(shù)列，卜列四個(gè)判斷正確的有第2列2，。22，。32必成等比數(shù)列第2列2，。

5、22，。32必成等比數(shù)列第1列角|,。21，。31不一定成等比數(shù)列白12+白32“21+23白12+白32“21+23若9個(gè)數(shù)之和等于9,則。2221A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)三、解答題（本大題滿(mǎn)分48分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫(xiě)出必要的步驟.16. （本題滿(mǎn)分8分，第1小題4分，第2小題4分）己知關(guān)于工的不等式x+a2<0的解集為（一1力）.求實(shí)數(shù)、8的值。1X解：原不等式等價(jià)于（x+a）x-2<0,即x2+ax-2<0由題意得，一1+Z?=。-1x/?=-26分解得。=一1,b=2.17. （本題滿(mǎn)分8分）設(shè)小為等差數(shù)列，儂為等比數(shù)列.己知叫=兒=1,。2

6、+“6=»4，b山6=。4分別求出0和解：0為等差數(shù)列，知為等比數(shù)列，則有02+06=204,妍6=龐2分已知Cl2H-»/>2力6=。4，得，仞=2。4，4=仞.即/>4=2/>4.又Z?#0所以得，ib4=»a4=.4分24由"1=1,04=知。的公差為d=>則6Z|（）=Cl+（101）/；6分由勿=1,加=：知/"的公比為，則0=4礦=：8分22818. （本題滿(mǎn)分10分）一航模小組進(jìn)行飛機(jī)模型實(shí)驗(yàn)，飛機(jī)模型在第一分鐘時(shí)間里上升了15米高度。（1）若通過(guò)動(dòng)力控制系統(tǒng)，使得飛機(jī)模型在以后的每一分鐘里，上升的高度都比

7、它前一分鐘上升的高度少2米，達(dá)到最大高度后保持飛行，問(wèn)飛機(jī)模型上升的最大高度是多少?（2）若通過(guò)動(dòng)力控制系統(tǒng)，使得飛機(jī)模型在以后的每一分鐘上升的高度是它在前一分鐘里上升高度的80%,那么這個(gè)飛機(jī)模型上升的最大高度能超過(guò)75米嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）由題意，飛機(jī)模型每分鐘上升的高度構(gòu)成=15,1=-2的等差數(shù)列，則S=+-一d=5n+一-一x（2）3分=-n2+16當(dāng)=8時(shí)，（S"）max=Sg=64即，飛機(jī)模型在第8分鐘上升到最大高度為64米。5分（2）不能超過(guò)。6分由題意，飛機(jī)模型每分鐘上升的高度構(gòu)成4=15,0=0.8的等比數(shù)列，則業(yè)免=15。-。8）=75（10.8）8分-q

8、0.2飛機(jī)模型上升的最大高度是這個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)和。即，S=limS=-=75I”-q1-0.8所以，這個(gè)飛機(jī)模型上升的最大高度不能超過(guò)75米。10分（本題滿(mǎn)分12分，第1小題4分，第2小題4分，第3小題4分）己知：a.5、Z是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a=（1,2）（1）若|c|=2V5,Rc/a,求Z的坐標(biāo)；-A/I一一（2）若b=a+2b與2ab垂直，求與b的夾角0；2（3）若5=（1,1）,且方與4+人5的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)A的取值范圍。解：（1）設(shè)c=（x,y）,由c。和|c|=2V5可得：1-2x=0.（x=2或x=-2x2+y2=20y=4一y=-4.c=(2,4),或c=(-2

9、,-4)4分(2)由G+25)_L(2，一5)得，(方+2片).(2方片)=05分即，2a+3ab-2b=02時(shí)'+3方.片一期七。52x5+3f/?-2x-=0,所以ah=-_56分421得，COS=ITIT=_1由。£0,勿l+H得，0=兀.8分(3)。=(1,2)ntz+4/?=(人+1,4+2)由。與a+Ab的夾角為銳角，得a-(a+Ah)>0人+1+2A+4>0A,>10分35若aHaMb得4=0,所以，Ag,0)U(0,4-oo)12分319. （本題滿(mǎn)分14分，第1小題4分，第2小題5分，第3小題5分）設(shè)x軸、），軸正方向的單位向量分別為；,j

10、,坐標(biāo)平面上的點(diǎn)A”滿(mǎn)足條件：函=；+；夜>2叮-亍（K）。（1）若數(shù)列%的前項(xiàng)和為s”，且s=宓章二，求數(shù)列%的通項(xiàng)公式。（2）求向量函二的坐標(biāo)，若左Q4Ah（cN*）的面積Sama構(gòu)成數(shù)列也，寫(xiě)出數(shù)列也的通項(xiàng)公式。（3）若烏=虹-2,指出為何值時(shí)，§取得最大值，并說(shuō)明理由。%解：（1）由題意席=宓;=2"-12分當(dāng)=1時(shí)，at=s,=2-1=1當(dāng)/?>2時(shí)，5心=2”-|一1由一得：%=2"_（2-i_1）=2"T又當(dāng)=1時(shí)，弓=1符合題意，所以an=（N'）4分（不對(duì)=1的情況進(jìn)行驗(yàn)證說(shuō)明的扣1分）(2)解:瓦=函+班+.+X&

11、gt;(1+2+22+.+2”)；+(1-11)7=(2n+,-l)Z+(1-«)7所以，O47=(2,+,-l,l-/?)7分由當(dāng)時(shí)，。4/咔的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：0(0,0)、凡(1,1)、隊(duì)2*-1,1-)得，111。1=扣+-2)=2”+導(dǎo)9分2M+,-l1-1即b=T+5eN*)10分n2(其他方法求出(M通項(xiàng)公式的參照給分)2”+火=oo一2&=工一2=-2=-II分"q2”t2業(yè)、cz一2_3當(dāng)時(shí)，cn-cn.=-nn-l22"-14業(yè)、cz一2_3當(dāng)時(shí)，cn-cn.=-nn-l22"-142.1<«<3時(shí)，c是遞

12、增數(shù)列，時(shí),12分%是遞減數(shù)列,&<c2<c3=c4>c5>c6>.>c;>&<c2<c3=c4>c5>c6>.>c;>13分.L當(dāng)=3或=4時(shí)，c”取得最大值，g=eq=8（設(shè)最大項(xiàng)、解不等式等方式闡述理由的參照給分）14分7、在直角坐標(biāo)系X。），中，已知曲線G：x=,+擋-2建為參數(shù)）與曲線G：x=osin。八y=3cosO為參數(shù)，。0）有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上，則"=3【答案：-128、已知匕分別為雙曲線。專(zhuān)-切=1的左、右焦點(diǎn)'點(diǎn)人在曲線。上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,0）,AM）

13、AF2的平分線,則AF2=【答案：6解析：.項(xiàng)（一6,0），政6,0）,由角平分線的性質(zhì)得俱=欄耳=§=2,例4又|M|T洞=2x3=6,.|M|=6.】9、已知直線L:x+y-9=0和圓由：2工2+22一8工一8），一1=0,點(diǎn)A在直線£上，B,C為圓M上兩點(diǎn)，在ABC中，ZBAC=45°,過(guò)圓心則點(diǎn)人橫坐標(biāo)范圍為.【答案：3,6解析：設(shè)人（。,9一），則圓心M到直線AC的距離d=|AAf|sin45。，由直線AC與圓MV34有公共點(diǎn)，則d"即混弓，解得3S6.】*2210、橢圓芬+春=1（。對(duì)0）上任意兩點(diǎn)P,Q,若OP1OQ,則乘積|OP|OQ|的

14、最小值為.答案：己當(dāng)a-+b解析：設(shè)P（|OP|cosa|OF|sin。）,Q|O0cos0±-OQsin0±-,由于P,Q在橢圓上，有1cos20sin20，一、b2b2:=+-5-,l°Psin哲cos26?,+得兩十商節(jié)b2于是當(dāng)|OP|=|O0=山與時(shí)，|0外|0。|達(dá)到最小值戔】二、選擇題（本大題滿(mǎn)分16分，共有4題，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號(hào)寫(xiě)在題后的圓括號(hào)內(nèi)，選對(duì)得4分，否則一律得零分.）11、在復(fù)平面內(nèi)，其數(shù)津主（，是虛數(shù)單位）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）3-4/A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答

15、案：B12、己知拋物線關(guān)于a軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)0,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2,），o）.若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3,則0M=（）A.25B.4C.2y/3D.2>/2【答案：C解析：設(shè)拋物線方程為寸=2px,焦點(diǎn)F,貝ij|MF|=2+Z=3,.p=2,.>2=4x,0M=+yl=V22+4x2=2V3.113、設(shè)m,ngR,若直線（7+l）x+（+l）y-2=0與圓（x-l）?+（3J-1）2=I相切，則m-n的取值范圍是（）A.p/3,1+B.1-Up+/，+8）C.2-2>/2,2+2V2D.（*,2-2心加2+2次+00）【答案：D圓心為（1,1）,半徑為I.直線與

16、圓相切，所以圓心到直線的距離滿(mǎn)足|(2+1)+(+1)-2=0|(m+nY、-=1,即m+n+=mn<,設(shè)m+n=z,即J(m+1八(+1尸2J-z2-z->0,解得z<2-2V2,或zN2+2>/.】4直嶗+臺(tái)1,與橢畦+卜|相交于戲兩點(diǎn)，該橢圓上點(diǎn)P,使得她面積等于3.這樣的點(diǎn)P共有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【答案：B解析：直線與橢圓的交線長(zhǎng)為5.直線方程3x+4y-12=0.設(shè)點(diǎn)P(4cos8,3sin。).點(diǎn)P與直線的距離d=咻"；皿-1|,當(dāng)8京史時(shí)，6/<(V2-1),<6(72-1)<3,即此時(shí)沒(méi)有三角形面積為3；51

17、C當(dāng)-<9<2tu時(shí)，J<(V2+1),SAPAf<6(72+1)，即此時(shí)有2個(gè)三角形面積為3.選5B.三、解得題(本大題滿(mǎn)分44分，共有4題，解答下列各題必須寫(xiě)出必要步驟.)15、(本題1()分)己知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z-2|=2,z+eR,求z.【解：設(shè)z=x+yi9(x,yeR)t則44z.4(ji-yz)4x(4y).z+=z+=x+)v+=X+y一Izzzx+yx+x+Jz+gR»，.y-=0,乂|z2|=2,，.(a*2)24-y2=4,zx+y11.聯(lián)立解得，當(dāng)y=0時(shí)，x=4或x=0(舍去x=0,因此時(shí)z=0),當(dāng)y壬0時(shí)，",z=1

18、77;>/3i,綜上所得Z=4,Z2=1+=1.】y=±j316、(本題10分)己知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0)和8(3,4),線段人B的垂直平分線交P于點(diǎn)C和。，且|CD|=4面.求圓P的方程.【解：直線人B的斜率為k=l,AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),所以直線CD的方程為y-2=-(x-l),即工+y-3=0.設(shè)圓心P(a,b),則由P在CO上得a+b-3=0.又由直徑|C£>|=4J16,.|PA=2面".(。+1尸+厭=40.a=3修=5由解得或,.圓心P(-3,6)或F(5,-2),0=6b=-2.圓P的方程為(x+3)2+(y-6)2=

19、40或(x-5)2+(y+2)2=40.117、(本題12分)已知橢圓G:+/=!.過(guò)點(diǎn)(,0)作圓J+),2=i的切線/交橢圓G4于A,8兩點(diǎn).(1) 求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)：(2)將泌四表示為，的函數(shù)，并求|A8|的最大值.【解：(1)由已知得a=2,b=l,.c；項(xiàng)=后,.橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(項(xiàng),0),危,0).(2) 由題意知，時(shí)21.當(dāng)z=l時(shí)，切線/的方程為x=l，點(diǎn)48的坐標(biāo)分別為h,1,-,此時(shí)2)2)四=右；當(dāng)m=-1時(shí)，同理可得pB|=>/3；當(dāng)時(shí)>1時(shí)，設(shè)切線方程為y=k(x-m),y=k(x一in)由x2,(1+4A:2)x2-Sk2nix+4k2fn2-4=0

20、.+y2=14-設(shè)A,B兩點(diǎn)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(a*!,y),(易，力)，則8k'm4k2m2-4，"-又由/于圓x2+y2=l相切，得EPnrk2=k2+.所以|AB=yl(xx2)+(>'-y2)(1+®)64妒冰(1+4X?)24(4k"-4)43|/n|tn2+3由于當(dāng)m=±1時(shí)，=所以AB=(-oo,-lUt+°°)因?yàn)榫W(wǎng)=心-4因?yàn)榫W(wǎng)=心-4當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)m=土退時(shí)，網(wǎng)=2,所以|A8|的最大值為2.】18、（本題12分）過(guò)拋物線），2=2px（p>0）的對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)A（",0）（>0）的

21、直線與拋物線相交于M,N兩點(diǎn)，自M,7V向直線l:x=-a作垂線，垂足分別為虬，（1）當(dāng)a=時(shí)，求證：AM.1AN.；21'（2）記MMMqMNMNN的面積分別為S,S&是否存在人，使得對(duì)任意的。>0,都有5=AS,S3成立.若存在，求出人的值；若不存在，說(shuō)明理由.【解：依題意，可設(shè)直線MV方程為工=2），+。,山0,凹）,？/（易，力），則有x=my+a、,消去尤可得y-2mpy-2ap=0f從而有，y=2px)'i+)2=2mpyy2=-2ap)'i+)2=2mpyy2=-2ap于是X+易=，()'i+)%)+2i=2(矽p+a)又由=2pxq

22、：=2網(wǎng)可得3羽=（）?；）=（:華）=。4p4p/、如圖I,當(dāng)號(hào)時(shí)，點(diǎn)喧。）即為拋物線的焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線-py2b并由可得>,i>2=-p2.-py2b并由可得>,i>2=-p2.證法1:=(一,y,),AN=(-p,*)，A-AN,=p2+y,y2=p2-p2=0,即AM1AN.證法2：咽=玲知=專(zhuān)f加=晉=專(zhuān)=-1，55（2）存在2=4，使得對(duì)任意的。>0,都有S；=4S§成立，證明如下:證明：記直線/與工軸的交點(diǎn)為片，貝ij|OA|=|%|=。.于是有S產(chǎn)項(xiàng)M崎.也崎"0+仍山禹=!時(shí)Nj|M|=d)W，S3=nnJ.仇加=；(易+心亦S

23、；_疽m_yj_4"2()1+力)2_4”2S&；0+0)(易+司)仍|中2+心+工2)+/邸2由、代入上式化簡(jiǎn)可得§-=4,所以對(duì)任意的。>0,都有S；=4S6恒成立.】四、附加題19設(shè)橢圓E：；+】=l(oM>0)過(guò)M(2,S,N(R,)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).是否存ab"在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,R0A10B?若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求出|AB|的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.2_822摭4,所以橢圓-的方程為2m2-8(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)且0A1

24、0B,設(shè)該圓的切線方程為y=+m,解方程組，(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,則A=16/:2w2-4(14-2k2)(2m2-8)=8(82-m2+4)>0,即Sk2-m2+4>0,）'i，2=（上9+）（奴2+m）=k2xx2+to（X+易）+m'=二（2次一8）4k2m22一源1+2尸*次=1+2尸所以C崎土。，又奸辦4>°,所以.m,所以,2>,即m>3nr>8331+2妒1+2好1+2妒1+2好要使OALOB，需使不易+刃）2=0，即2mf+，n=0>所以W-8A:2-8=0,0nr|"|=J（X|工2）'+（）i一）2）2=j（l+*）'4饑丫4（2麻-8）1+