1、第四節一、函數單調性的判定法一、函數單調性的判定法 二、曲線的凹凸與拐點二、曲線的凹凸與拐點 函數的單調性與 曲線的凹凸性 第三三章 一、一、 函數單調性的判定法函數單調性的判定法若定理定理 1. 設函數)(xf0)( xf則 在 I 內單調遞增)(xf, )0)( xf(遞減) .證證: 無妨設,0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故. )()(21xfxf這說明 在 I 內單調遞增.)(xf在開區間 I 內可導,證畢例例1. 確定函數31292)(23xxxxf的單調區間.解解:12186)(2xxxf)2)(1

2、(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的單調增單調增區間為, ) 1,();,2()(xf的單調減單調減區間為).2,1 (12xOy12yxO說明說明: 單調區間的分界點除駐點外,也可是導數不存在的點. 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函數在某駐點兩邊導數同號, 則不改變函數的單調性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyOx3xy 例例2. 證明20 x時, 成立不等式.2sinxx證證: 令,2sin)(xxxf,2,0()(上連續在則xf，上可導在)2,0(2sincos)(

3、xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(內單調遞減在因此xf從而2,0(,2sinxxx0)2()( fxf,2)(處左連續在又xf因此且* 證明0tanxx令,tan)(xxx則xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上遞減在x從而0)0()(x即),0(,0tan2xxxAB定義定義 . 設函數)(xf在區間 I 上連續 ,21Ixx(1) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱的)(xf圖形是凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱的)(xf圖形是凸凸的 .二、曲線的凹凸與拐點二、曲線的凹凸與拐點yOx

4、2x1x221xx yOx2x1x221xx 連續曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點拐點 .yOx拐點定理定理2.(凹凸判定法)(xf(1) 在 I 內,0)( xf則 f (x) 在 I 內圖形是凹的 ;(2) 在 I 內,0)( xf則 f (x) 在 I 內圖形是凸的 .證證:,21Ixx利用一階泰勒公式可得)()(1fxf)()(2fxf兩式相加22!21)(12xx )()(21ff ,0)(時當 xf說明 (1) 成立; (2) 設函數在區間I 上有二階導數證畢,221xx 記)(f )(1x)(f )(2x!2)(2f 22)(x!2)(1f 21)(x)(2)()(21fxfxf

5、),(2)()(21fxfxfxyO例例3. 判斷曲線4xy 的凹凸性.解解:,43xy 212xy 時，當0 x;0 y,0時x, 0 y故曲線4xy 在),(上是向上凹的.說明說明:1) 若在某點二階導數為 0 ,2) 根據拐點的定義及上述定理, 可得拐點的判別法如下:若曲線)(xfy ,0連續在點x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 兩側異號異號,0 x則點)(,(00 xfx是曲線)(xfy 的一個拐點.則曲線的凹凸性不變 .在其兩側二階導數不變號,例例4. 求曲線3xy 的拐點. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此點 ( 0 , 0 ) 為曲

6、線3xy 的拐點 .Oxy凹凸xxy24362 )(3632xx對應271121,1yy例例5. 求曲線14334xxy的凹凸區間及拐點.解解: 1) 求y ,121223xxy2) 求拐點可疑點坐標令0 y得,03221xx3) 列表判別)0,(),0(32),(32y xy0320012711故該曲線在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 點 ( 0 , 1 ) 及),(271132均為拐點.上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0(),(271132xyO內容小結內容小結1. 可導函數單調性判別Ixxf,0)()(xf在 I 上單調遞增Ixxf,0)()(xf在 I 上單調遞減2.曲

7、線凹凸與拐點的判別Ixxf ,0)(上向上凹在曲線Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲線Ixfy)(拐點 連續曲線上有切線的凹凸分界點思考與練習思考與練習 1 ,0上,0)( xf則, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或) 1 ()0(ff的大小順序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示: 利用)(0)(xfxf 單調增加 ,) 10()()0() 1 (fff及B1. 設在 .),(21)e1,(21212. 曲

8、線2e1xy的凹區間是凸區間是拐點為提示提示:)21 (e222xyx ),(2121),(21及及yOx)e1,(2121)e1,(2121 ; ;作業作業 P152 3 (2),(6) ; 5 (4) ; 9 (3); 10 (3) ; 14 112xxy有位于一直線的三個拐點.1. 求證曲線 證明：證明： y y222) 1(21xxx3223) 1() 133(2xxxx32) 1()32)(32)(1(2xxxxxxx2) 1() 1(222) 1(x42) 1(x)22(x22) 1(x)21 (2xx ) 1(22xx2令0 y得,11x, )1,1(從而三個拐點為因為32所以三個拐點共線.323x,322x, )34831,32()34831,32(3211348311134831112xxy32) 1()32)(32)(1(2 xxx