1、第九章結構型時間序列模型時間序列回歸模型分類：1 .不含外生變量的非結構型模型， 包括單方程模型（如 ARMA 模型） 和多方程模型（如向量自回歸模型，VAR ）2 .傳統的結構模型，包括含有外生變量的單方程回歸模型（如確定性趨勢或季節模型、靜態模型、分布滯后模型、自回歸分布滯后模型等）和聯立方程模型3 .協整和誤差修正模型等現代時間序列模型第二、三類模型反統稱為結構型時間序列模型。本章將對最基本的幾種結構型時間序列模型進行簡要介紹。第一節 確定性趨勢與季節模型確定性趨勢與季節模型將經濟變量看作是時間的某種函數，用于描述時間序列觀測值的長期趨勢特征和周期性變動特征。其中的自變量是確定性的時間變

2、量t 或反映季節的虛擬變量。由于自變量是非隨機變量，自然是嚴格外生的，所以不涉及諸如非平穩性、高度持久等問題，一般可以如同橫截面數據一樣，直接使用經典線性模型的回歸分析方法。一、確定性趨勢模型（一）種類按照因變量y與時間t的關系不同，常用的確定性趨勢模型主要有以下三 類：1. 線性趨勢模型yt01tut（ 9.1）當時間序列的逐期增長量（即一階一次差分ytytyt 1 ）大體相同時，可以考慮擬合直線趨勢方程。2. 曲線趨勢模型2kyt01t 2t2kt k ut（ 9.2）若逐期增長量的逐期增長量（二階一次差分2ytytyt 1） 大致相同，可擬合二次曲線yt01t2t2 ut。類似地，如果事

3、物發展趨勢有兩個拐點，可以擬合三次曲線 yt0it2t23t3 Uto其他更高次的曲線趨勢比較少用。3. 指數曲線模型yt0 1 e t（9.3）或ln（ yt）ln 0 （ln 1）tut指數曲線的特點是各期的環比增長速度大體相同（即自然對數的一階一次差分yt / yt 1 ln ytln yt 1 基本為常數），時間序列的逐期觀測值大致按一定的百分比遞增或衰減。為了更好地表現事物發展的特征，我們還可以給指數曲線設置發展的上限或下限（漸進線）。常用的帶漸進線的指數曲線有以下幾種：（1）修正指數曲線模型y k 0 ；e k>0,0w0 , 01 1（9.4）(2)龔伯茲(Gompertz

4、)曲線模型(9.5)(9.6)Vt k o 1teut, k>0, 0V。*1, 0< 1 T(3)邏輯斯蒂(Logistic)曲線模型1，八一一Vt ;TV，k>0，產0，0V 產1k 0 1e(二)模型選擇標準如果對同一時間序列有幾種趨勢線可供選擇，在考慮經濟意義的基礎 上，線性模型可以參照第三章第四節有關多元回歸模型的評價準則進行優 選。除此之外，還可以用下列指標作為輔助標準，選擇這些指標比較小的模 型。1 .均方根誤差(Root Mean Squared Error , RMSE )：RMSE（yt 夕）22 .平均絕對誤差（Mean Absolute Error ,

5、 MAE ）: 1-MAE Tyt 又3 .平均絕對百分比誤差（Mean Absolute Percent Error , MAPE ）：MAPE -yt yt 100%t I yt I（三）模型估計上述確定性趨勢模型要么本身是參數線性的，要么通過變換模型形式可 以使其線性化，所以均屬于廣義的線性模型范疇。而且自變量（時間變量 t 及其函數）都是非隨機變量（肯定符合嚴格外生條件），所以，可以直接使用OLS進行估計，所有估計與推斷方法完全等同于橫截面數據。唯一與橫截面回歸不同的是，時間序列往往存在誤差項自相關（將在第 十章討論）。例9-1改革開放以來我國GDP數據如表9-1所示。試估計我國實際

6、GDP的年平均增長率。表9-1部分年份中國GDP數據（1978年不變價，億元）年份tGDP年份tGDP197813645.219941716505.9197923922.219951818309.2198034228.719961920141.7198144450.419972022014.2198254853.519982123738.7198365380.319992225547.5198476196.820002327701.5198587031.220012430000.8198697653.320022532725.51987108539.820032636006.419881195

7、03.120042739637.71989129889.220052843773.019901310268.920062948871.219911411211.420073055243.019921512808.020083160189.519931614596.620093265426.0資料來源：中國統計年鑒2010首先，描出GDP及其對數的時間序列圖:70000 *60000 -50000 -.PDG. 40000 -.30000 r/*,20000 -* *.*10000 -011111105101520253035T3511.210.810.410.0PDGNL305 2 20 5

8、1 O 1 5可見，GDP與時間t之間不存在線性關系，而其對數與時間存在線性關 系。即GDP呈指數趨勢發展:GDPt0 1teut線性化的趨勢模型形式為ln GDPt ln 0 （ ln 1） t ut ，即 ln GDPt01t ut利用 OLS 估計，并消除誤差項自相關（自相關問題見第十章），輸出結果如下：表9-2 EViews輸出結果Dependent Variable: LNGDPVariableCoefficientStd. Error t-StatisticProb.C8.0704290.014908541.35080.0000T0.0942070.000778121.06280.

9、0000AR(1)1.2815660.1311449.7721790.0000AR(2)-0.733140.128869 -5.6890800.0000R-squared0.999647Mean dependent var9.718339Adjusted R-squared0.999606S.D. dependent var0.833467-5.24254S.E. of regression0.016540Akaike info criterion6-5.05572Sum squared resid0.007113Schwarz criterion0Log likelihood82.63820

10、F-statistic24538.49Durbin-Watson stat2.013367Prob(F-statistic)0.000000Inverted AR Roots .64-.57i.64+.57i可見，消除誤差項自相關后，回歸方程為in GDP 8.0700.094 t回歸結果說明，樣本內我國實際 GDP年均增長率為0.094,即9.4%用水平法計算的GDP年均增長率為3165422/3645.2 1 0.098 9.8% 二、季節變動模型與橫截面數據相比，時間序列往往受到季節變動的影響。所謂季節變動 是指經濟變量因受自然因素或社會經濟因素影響，從而形成的有規律的周期 性變動。這里

11、的 季節”一詞是廣義的，泛指任何一種有規律的、按一定周期（如 季、月、旬、周、日）重復出現的變化如果忽視其季節因素，回歸中就會犯遺漏變量的錯誤，影響參數估計的 無偏性和一致性。根據回歸分析的目的不同，對含有季節變動的數據有不同 的處理方法：1 .季節差分。如季度數據和月度數據分別采用 4階和12階差分。2 .季節修勻。即通過移動平均、指數平滑等方法，去除時間序列中的周 期性變化。3 .引入季節虛擬變量。例9-2某企業最近6年的商品銷售額的季度數據表 9-3。試用虛擬變量 方法建立季節波動模型。表9-3某企業商品銷售額的季度數據年份季度yttD2tD3tD4t200611132.63310002

12、1298.058210031207.310301041116.035400111580.5915000200721797.940610031709.866701041650.171800111856.4849000200822062.6241010032022.3101101042090.4561200112261.06813000200922518.5681410032440.0671501042465.8851600112673.70417000201022887.9031810032896.7401901042913.3852000113163.66521000201123486.161

13、2210033205.5292301043348.30724001數據的變化軌跡見圖9-3。圖9-3銷售額變化軌跡圖可見，商品銷售額既有明顯的線性增長趨勢，又含有明顯的季節波動。 故應構造含有季節虛擬變量的線性趨勢模型。為避免虛擬變量陷阱”，只對第二、三、四季度設置虛擬變量，記為D2、D3和D4。EViews回歸結果如下： 表9-4EViews輸出結果Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 2006Q1 2011Q4 Included observations: 24Coefficie Std. Error t-Statistic

14、 Prob.C975.974134.3654928.399830.0000T103.21671.95921652.682630.0000D2127.3019D3-70.8203D4-156.96737.9063238.0579138.309233.358330-1.860857-4.0973760.00330.07830.0006R-squared0.993293Adjusted R-squared0.991881S.E. of regression65.56791Sum squared resid81683.87-131.645Mean dependent var2241.061S.D. d

15、ependent var727.6855Akaike info criterion11.38710Schwarz criterion11.63253Hannan-QuinnLog likelihood2 criter.11.45221F-statistic703.4771 Durbin-Watson stat 1.893665Prob(F-statistic) 0.000000故樣本回歸方程如下:% 975.974 103.217t 127.302D2t 70.820D3t 156.967D4t(9.7) 在使用確定性趨勢和季節模型時，我們實際上是用時間變量和季節虛擬變量作為因變量的所有影響因

16、素的代理變量，簡化了回歸分析的假定，在經濟預測方面應用比較廣泛。但有時失之于過于簡單化，不能對影響時間序列變動的具體社會經濟因素進行分析，不利于驗證經濟理論、分析經濟結構和政策評價。另外，這類模型的一個潛在問題是往往存在誤差項自相關，這也是需要在應用時加以注意的。第二節靜態模型靜態模型(Static Model )是時間序列回歸分析的基礎模型之一。實際上，上一節介紹的確定性趨勢模型和季節模型都屬于靜態模型。在靜態模型中，被解釋變量的值只取決于各解釋變量和隨機誤差項的當期值。靜態模型一般形式如下：ytkxktut9.8)這實際上是將多元線性回歸模型應用于時間序列數據。一、靜態模型對數據的要求1

17、.如果模型中的自變量xj (j 1,2,., k) 是非隨機變量，或盡管是隨機變量，但嚴格外生于隨機誤差項ut ，即E(ut |X )=E(ut |X1 ,X 2,.Xk )=0 ， 其中 X j ( , xj(t 2) ,xj(t 1) , xjt , xj(t 1) , xj (t 2) , )則靜態模型( 9.8) 可以完全按照橫截面數據的經典線性回歸模型方法進行參數估計和統計推斷，如本章第一節介紹的確定性趨勢(季節)回歸模型。2 . 如果模型中的自變量xj(j 1,2,., k) 是隨機變量，但不嚴格外生于隨機誤差項，而是(寬)外生于隨機誤差項，即僅有E(ut|Xt)=E(ut|x1t

18、,x2t,.xkt)=0 ，這時時間序列的特殊性將給回歸分析帶來一些問題。但如果xjt , yt 都是產生自平穩、遍歷過程，應用OLS 在大樣本下仍然可以獲得參數的一致和漸進正態的估計量，因此也可以按照橫截面數據回歸分析的方法進行參數估計和統計推斷。 對于非平穩和高度持久的時間序列，由于OLSE 的一致性和漸進正態性受到破壞，容易產生偽回歸問題。一般而言，如果生成時間序列的隨機過程是非平穩的（或高度持久的），必須將數據平穩化（或弱相依化），然后再進行 OLS 回歸。由于在一般情況下，大多數非平穩時間序列都是高度持久的，所以時間序列平穩化的過程同時也是弱相依化的過程。二、趨勢平穩序列的回歸什么是

19、趨勢平穩序列？時間序列中確定性趨勢導致的偽回歸稱為第一種類型的偽回歸。如果作 為時間序列中包含了確定性的時間趨勢，為了避免第一種類型的偽回歸，有 等價的兩種處理方法。（一）在模型中引入時間變量如果x、y中含有確定性趨勢，若直接將y對x進行回歸，相當于遺漏了 重要變量t,所以，應該在模型中將其作為獨立的自變量引入進來。這樣 x 的回歸系數才反映在時間t固定（保持不變）條件下，x對y的 純凈”影響， 避免偽回歸。例9-3表9-5中，x是某地人均壽命（歲）,y是該地區稻米產量（千 克/畝），t是時間變量（以1991年作為起始年份）。表9-5 某地人均壽命與稻米產量歷史數據年份 1tl x 1yli

20、年份 1tl x | y1991177.05517.1020011177.50630.781992273.00525.8320021277.72610.611993369.55534.2020031378.98634.811994476.78550.9220041478.48651.921995568.60548.7920051579.23661.271996676.05561.5620061676.00642.991997774.72571.4620071780.25613.981998878.55582.4020081874.79619.941999975.52600.3220091976

21、.00678.3320001076.51603.1820102081.28627.13如果直接將y對x進行回歸，結果如下:夕 29.034 8.2199xt(9.9)2t (16.13)(5.23)R2 0.305回歸系數高度顯著，但在經濟上無法解釋。考慮到 x和y都是t的函數,x?t 70.145 0.302t(9.10)2t (31.46) (2.881)R2 0.316和yt 450.311 7.223t(9.11)2t (26.47) (9.043)R2 0.819一個自然而然的猜測是，正是由于兩個變量存在的長期趨勢形成了( 9.9)的結果。將t引入(9.9),觀察x對y的 純凈”效應

22、(偏效應)，得回歸模型 如下：y?t 382.37 0.969xt 6.931t(9.12)t (2.943) (0.527) (7.033)R2 0.822可見，消除了t 的因素， x 對 y 的偏效應在統計上不顯著。說明，( 9.9)確實是一個偽回歸。(二)去除原序列中的確定性趨勢剔除”掉時間序列中的確定性趨勢，使時間序列平穩化，然后再應用OLS 進行回歸分析。例9-4在例9-3中，我們已經驗證出x和y序列中都含有顯著的線性 趨勢，我們將其從原序列 剔除”出去，即作變換x' xt 5? xt (70.145 0.302t)y' yt yt yt (450.311 7.223

23、t)變換后的數據見表9-6。表9-6變換后的時間序列數據年份x'y'年份x'y'19916.63359.56920014.063101.01319922.28161.06920023.98173.6211993-1.47162.22120034.94090.60219945.45771.72020044.138100.4911995-3.02562.36920054.586102.61819964.12367.90720061.05377.10719972.49170.59020075.00140.88119986.01974.3022008-0.76139.6

24、1919992.68785.00520090.14790.77720003.37680.64020105.12532.354對變換后的序列進行 ADF檢驗，可以發現，xI(0), y'1(0)。使用OLS,回歸結果如下：y' 69.275 0.968x'(9.13t(0.543)R2 0.016可見，二者的線性關系不顯著，說明人均壽命與稻米畝產量之間沒有實質性的系統聯系。去勢平穩化變換對回歸系數的影響與在原序列的回歸模型中加入時間趨勢 t 的效果完全一樣。二者反映的都是剔除了t 的影響后，x 對 y 的 “ 純凈效應。三、差分平穩序列回歸什么是差分平穩序列？兩個差分平穩

25、序列的回歸往往產生第二種類型的偽回歸。我們可以通過差分處理“剔除 ”其中的隨機趨勢使時間序列平穩化，然后再進行回歸。例9-5紐約證券交易所（NYSE）證券市場綜合指數y和斯里蘭卡人口數x的數據如表9-7所示。試分析兩個序列之間的經濟關系。表9-7 NYSE證券市場綜合指數和斯里蘭卡人口數年份y (%)x（千人）年份y (%)x（千人）196643.711440197657.913717196753.811702197752.513942196858.911992197853.614184196951.512252197961.914471197050.212516198077.91473819

26、7154.612608198171.114988197264.512816198281.115189197351.813091198395.215417197436.113284198496.715599197547.6134961985121.515837節選自多米尼克 薩爾瓦多、德里克 瑞杰統計學與計量經濟學（第 版）（復旦大學出版社，2008）第291頁，表11.10.如果直接將y對x進行OLS回歸，結果如下：(9.14)y?t313.01 0.03xt2 t(8.72)R2 0.75將兩個序列進行一階差分變換，分別記為xt 和yt ，重新進行OLS 回歸，回歸方程如下：?yt 291.80 0.004xt(9.15)2t( 0.93)R2 0.03可見，消除了隨機趨勢，x 對 y 的效應在統計上不顯著。說明，( 9.14)確實是一個偽回歸。在單整序列之間進行回歸分析時，我們常常遇到不同序列的單整階數不同，比如我們研究y 與x、z 之間的關系，但yt I(1)，xt I(2)，zt I (3) 。這就需要對不同序列分別進行不同次數的差分使之平穩化，再利用差分變量yt、2Xt和3Zt進行回歸。例9-6討論EViews6.0軟件自帶的示例文件 demo.wfl中GDP與RS 的關系。打開 EV