1、鴿巢問題（ 1）教學導航：【教學內容】 最簡單的鴿巢問題（教材第 68頁例 1和第 69頁例 2）。【教學目標】 1.理解簡單的鴿巢問題及鴿巢問題的一般形式，引導學生采用操 作的方法進行枚舉及假設法探究 “鴿巢問題 ”。2.體會數學知識在日常生活中的廣泛應用，培養學生的探究意識。 【重點難點】了解簡單的鴿巢問題，理解 “總有”和“至少 ”的含義。 【教學準備】實物投影，每組 3 個文具盒和 4 支鉛筆。教學過程：【情景導入】 教師：同學們，你們在一些公共場所或旅游景點見過電腦算命嗎？“電腦算命 ”看起來很深奧，只要你報出自己的出生年月日和性別，一 按鍵，屏幕上就會出現所謂性格、命運的句子。通過

2、今天的學習，我 們掌握了 “鴿巢問題 ”之后，你就不難證明這種 “電腦算命 ”是非常可笑 和荒唐的，是不可相信的鬼把戲了。 （板書課題：鴿巢問題 ） 教師：通過學習，你想解決哪些問題？根據學生回答， 教師把學生提出的問題歸結為： “鴿巢問題 ”是怎 樣的？這里的 “鴿巢”是指什么？運用 “鴿巢問題 ”能解決哪些問題？怎樣運用 “鴿巢問題 ”解決問題？【新課講授】1.教師用投影儀展示例 1 的問題。 同學們手中都有鉛筆和文具盒， 現在分小組形式動手操作： 把四 支鉛筆放進三個標有序號的文具盒中，看看能得出什么樣的結論。組織學生分組操作， 并在小組中議一議， 用鉛筆在文具盒里放一 放。教師指名匯報

3、。學生匯報時會說出： 1 號文具盒放 4 支鉛筆， 2 號、3 號文具盒 均放 0 支鉛筆。教師：不妨將這種放法記為（ 4,0,0）。板書：（ 4,0,0） 教師提出：（4，0，0）（0，4，0）（0，0，4,）為一種放法。 教師：除了這種放法，還有其他的放法嗎？教師再指名匯報。學 生會有（ 4， 0，0）（0，1， 3）（ 2,2,0）（ 2,1,1）四種不同的放法。教 師板書。教師：還有不同的放法嗎 ?教師：通過剛才的操作，你能發現什么 ?（不管怎么放 ,總有一個 盒子里至少有 2 支鉛筆。）教師: “總有”是什么意思 ?（一定有）教師: “至少”有 2支什么意思 ?（不少于兩只 ,可能是

4、 2支,也可能是 多于 2 支）教師：就是不能少于 2 支。（通過操作讓學生充分體驗感受 ）教師進一步引導學生探究： 把 5 支鉛筆放進 4 個文具盒，總有一 個文具盒要放進幾支鉛筆？指名學生說一說， 并且說一說為什么？教 師:把 4支鉛筆放進 3個盒子里,和把 5支鉛筆放進 4個盒子里,不管怎 么放 ,總有一個盒子里至少有 2 支鉛筆。這是我們通過實際操作發現 的這個結論。那么 ,我們能不能找到一種更為直接的方法 ,只擺一種情 況,也能得到這個結論呢 ?學生思考 組內交流 匯報教師 :哪一組同學能把你們的想法匯報一下 ?學生會說 :我們發現如果每個盒子里放 1 支鉛筆,最多放 3 支,剩下

5、的 1 支不管放進哪一個盒子里 , 總有一個盒子里至少有 2 支鉛筆。教師 :你能結合操作給大家演示一遍嗎 ?（學生操作演示 ）教師 :同學們自己說說看 ,同桌之間邊演示邊說一說好嗎 ? 教師:這種分法 ,實際就是先怎么分的 ?學生：平均分。教師 :為什么要先平均分 ?（組織學生討論 ） 學生匯報：要想發現存在著 “總有一個盒子里一定至少有 2 支” 先平均分 ,余下 1 支 ,不管放在哪個盒子里 ,一定會出現 “總有一個盒子 里一定至少有 2 支 ”。這樣分 ,只分一次就能確定總有一個盒子至少有幾支筆了 ?教師:同意嗎?那么把 5支鉛筆放進 4個盒子里呢 ?（可以結合操作 , 說一說）教師:

6、哪位同學能把你的想法匯報一下？學生 :（一邊演示一邊說 ）5 支鉛筆放在 4 個盒子里 ,不管怎么放 ,總有一個盒子里至少有 2 支鉛筆。師:把 6 支鉛筆放進 5 個盒子里呢 ?還用擺嗎 ?生:6 支鉛筆放在 5 個盒子里 ,不管怎么放 ,總有一個盒子里至少有 2 支鉛筆。師:把 7 支鉛筆放進 6個盒子里呢 ?把8 支鉛筆放進 7個盒子里呢 ? 把9支鉛筆放進8個盒子里呢？教師：你發現什么 ?學生：鉛筆的支數比盒子數多 1,不管怎么放 ,總有一個盒子里至 少有 2 支鉛筆。教師 :你們的發現和他一樣嗎 ？（一樣 ）你們太了不起了 !同桌互相 說一遍。把 100 支鉛筆放進 99 個文具盒里

7、會有什么結論？一起說。鞏固練習：教材第 68 頁“做一做 ”。A 組織學生在小組中交流解答。B 指名學生匯報解答思路及過程。2.教學例 2。 出示題目 :把 7 本書放進 3 個抽屜里 ,不管怎么放 ,總有一個抽屜 里至少有幾本書 ？請同學們小組合作探究。探究時，可以利用每組桌 上的 7 本書。活動要求：a. 每人限獨立思考。b.把自己的想法和小組同學交流。c.如果需要 動手操作，可以利用每桌上的 7 本書，要有分工，并要全面考慮問題。（誰分鉛筆，誰當抽屜，誰記錄等）d.在全班交流匯報。（師巡視了解各 種情況）學生匯報。哪個小組愿意說說你們的方法？把你們的發現和大家一起分享， 學生可能會有以下

8、方法：a. 動手操作列舉法。學生：通過操作，我們把 7 本書放進 3 個抽屜，總有一個抽屜至 少放進 3 本書。b. 數的分解法。把 7 分解成三個數，有多種情況。在任何一種情況下，總有一個 數不小于 3。教師：通過動手擺放及把數分解兩種方法， 我們知道把 7 本書放 進 3 個抽屜，總有一個抽屜至少放進幾本書 ?（3 本） 教師質疑引出假設法。教師：同學們通過以上兩種方法， 知道了把 7本書放進 3個抽屜， 總有一個抽屜至少放進 3 本書，但隨著書的本數越多， 數據變大，如： 要把 155本書放進 3個抽屜呢？用列舉法、數的分解法會怎么樣？ （繁 瑣）我們能不能找到一種適用各種數據的方法呢？

9、請同學們想想。 如 果有 8 本書會怎樣？ 10 本書呢？板書:7 ÷ 3=21（總有一個抽屜里至少有 3本書）8÷ 3=2 2（總有一個抽屜里至少有 3本書）10÷3=3 1（總有一個抽屜里至少有 4本書）師:3本、3 本、 4本是怎么得到的 ?生：完成除法算式。7÷3=21（商加1）8÷3=22（商加1）10÷3=31（商加1）師 :觀察板書你能發現什么 ?學生： “總有一個抽屜里的至少有 3本”，只要用“商+1”就可以得 到。師:如果把 5本書放進 3個抽屜里,不管怎么放 ,總有一個抽屜里至 少有幾本書 ?學生：總有一個抽屜里至

10、少有3本”只要用5÷3=12,用 商+2” 就可以了。學生有可能會說：不同意 !先把 5 本書平均分放到 3 個抽屜里 ,每 個抽屜里先放 1 本,還剩 2本,這2本書再平均分 ,不管分到哪兩個抽屜 里,總有一個抽屜里至少有 2本書,不是 3本書。師：到底是“商+ 1 ”還是“商+余數”呢?誰的結論對呢 ?在小組里進行 研究、討論、交流、說理活動。可能有三種說法：a.我們組通過討論并且實際分了分，結論是總有 一個抽屜里至少有 2本書,不是 3本書。b.把5本書平均分放到3個抽屜里，每個抽屜里先放1本,余下的2 本可以在 2個抽屜里再各放 1 本,結論是“總有一個抽屜里至少有 2本 書

11、”。C我們組的結論是5本書平均分放到3個抽屜里，總有一個抽屜里至少有 2本書”用“商加 1”就可以了,不是“商加 2”。教師 :現在大家都明白了吧 ?那么怎樣才能夠確定總有一個抽屜 里至少有幾個物體呢 ?學生回答：如果書的本數是奇數 ,用書的本數除以抽屜數 ,再用所 得的商加 1,就會發現“總有一個抽屜里至少有商加 1 本書”了。教師講解：同學們的這一發現 ,稱為“抽屜原理 ”,抽屜原理 ”又稱 “鴿籠原理 ”最,先是由 19世紀的德國數學家狄里克雷提出來的 ,所以又 稱“狄里克雷原理 ”也,稱為“鴿巢原理 ”。這一原理在解決實際問題中有 著廣泛的應用。“抽屜原理 ”的應用是千變萬化的 ,用它

12、可以解決許多有 趣的問題 ,并且常常能得到一些令人驚異的結果。下面我們應用這一 原理解決問題。提問：盡量把書平均分給各個抽屜， 看每個抽屜能分到多少本書， 你們能用什么方式表示這一平均的過程呢？學生在練習本上列式：7÷ 3=21集體訂正后提問：這個有余數的除法算式說明了什么問題？生：把 7 本書平均放進 3 個抽屜，每個抽屜有兩本書， 還剩一本， 把剩下的一本不管放進哪個抽屜，總有一個抽屜至少放三本書。 引導學生歸納鴿巢問題的一般規律。a. 提問：如果把10本書放進3個抽屜會怎樣？ 13本呢？b. 學生列式回答。c. 教師板書算式：10÷3=31 （總有一個抽屜至少放4本書

13、）133=4 1 （總有一個抽屜至少放 5本書） 觀察特點，尋找規律。提問：觀察 3 組算式，你能發現什么規律？ 引導學生總結歸納出：把某一數量（奇數）的書放進三個抽屜，只要用這個數除以 3，總有一個抽屜至少放進書的本數比商多一。 提問：如果把8本書放進3個抽屜里會怎樣，為什么？8÷3=22 學生匯報。可能出現兩種情況：一種認為總有一個抽屜至少放 3 本書；一種認為總有一個抽屜至少放 4 本書。學生討論。討論后，學生明白：不是商加余數 2，而是商加 1 。 因為剩下兩本，也可能分別放進兩個抽屜里，一個抽屜一本，相當于 數的分解（ 3,3,2）。所以，總有一個抽屜至少放 3 本書。 總

14、結歸納鴿巢問題的一般規律。要把a個物體放進n個抽屜里，如果a÷n=b C （c0 ,那么 一定有一個抽屜至少放（b+1）個物體。【課堂作業】 教材第 69 頁 “做一做 ”。（ 1 ）組織學生在小組中交流解答。（ 2）指名學生匯報解答思路及過程。答案：（1）因為11÷l=2 （只）3 （只）2+1=3（只）所以一定有一個鴿籠至少飛進 3 只鴿子。（2）因為5泊=1 （人）1 （人）1 +仁2（人）所以一定有一把椅子上至少坐 2 人。【課堂小結】通過這節課的學習，你有哪些收獲？【課后作業】教材第 71 頁練習十三第 1 題。教學板書：鴿巢問題（ 1）（4，0，0）（0，1，3）（2,2,0）（2,1,1）學生鉛筆的支數比盒子數多1,不管怎么放 ,總有一個盒子里至少有 2 支鉛筆。7÷ 3=21（總有一個抽屜里至少有 3本書）8÷ 3=2 2（總有一個抽屜里至少有 3本書）10÷3=3 1（總有一個抽屜里至少有 4本書）13÷3=4 1 （總有一個抽屜至少放 5本書）要把a個物體放進n個抽屜里，如果a÷n=b C （c0 ,那么 一定有一個抽屜至少放（b+1）個物體。教學反思：1. 小組活動很容易抓住學生的注意力，讓學生覺得這節課要探究 的問題既好玩又有意義。2.