1、相似圖形必考題復習一、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）1 .（3分）己知兩數4和8,試寫出第三個數，使這三個數中，其中一個數是其余兩數的比 例中項，第三個數是 （只需寫出一個即可）.2 . （3分）如圖，在aABC中，48=8, AC=6,點。在AC上，且AO=2,如果要在A3上找一點£使AOE與原三角形相似，那么AE=13 . （3分）如圖，在A3C中，點。在AB上，請再添一個適當的條件，使AOCs/XACB, 那么可添加的條件是.4 .（3分）如圖，D, E分別是AABC的邊A8, AC上的點，請你添加一個條件，使ABC 與AEQ相似，你添加的條件是.5 .（3分）下列

2、命題：所有的等腰三角形都相似：所有的等邊三角形都相似：所有 的等腰直角三角形都相似；所有的直角三角形都相似：其中真命題是（把所有 真命題的序號都填上）.6 . （3分）如圖，在平面直角坐標系中有兩點A （4, 0）、B （0, 2）,如果點C在;v軸上（C與A不重合），當點C的坐標為 或 時，使得由點8、。、。組成的三角形與A4O8相似（至少找出兩個滿足條件的點的坐標）.7. （3分）如圖，在平行四邊形A8CO中，AB = 8°，AO=4cm, E為AO的中點，在A8上取一點 F,使ACBFsACDE,則 AF=8 .（3分）如圖，OE與8C不平行，當延=時，ABC與AOE相似.AC

3、二、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）9 .（3分）給出4個命題：三邊對應成比例的兩個三角形相似：。兩邊對應成比例且一個角對應相等的兩個三角形相似;一個銳角對應相等的兩個直角三角形相似；一個角對應相等的兩個等腰三角形相似，其中正確的命題是（）A.B.C.D.10 .(3分)如圖,己知。E8a EF/AB,則下列比例式中錯誤的是()> AD AEb 更里c DE JD口 里 JL一 AB =AC ' CF =PB' BC =BO' AB 'CB11.（3分）如圖，D、E分別是A3、AC上兩點，CO與BE相交于點0,下列條件中不能使AABE和AC。相

4、似的是（）A. ZB=ZCB. ZADC= ZAEBC. BE=CD, AB=ACD. AD： AC=AE： ABABC第1012. （3分）如圖，在矩形A8C。中，E, F分別是CD, 8C上的點，若NAEF=90： 則一 定有（）A. AADEAECF B. AECFAAEF C. /XADEAAEF D. /AEFABF13. （3分）如圖，E是平行四邊形A5CO的邊8c延長線上的一點，連接AE交CO于凡 則圖中共有相似三角形（）A. 1對D. 4對EB. 2對DBC14. （3分）如圖，*第13題BB.和C.和G第15題)A.和D.和15. （3分）如圖，在正方形網格上有6個斜三角形：

5、"（7,8CO,ABDE,BFG, ©AFGH,EFK,在中，與三角形相似的是（）A.B.C.16. （3分）如圖，M是RtZVIBC的斜邊8C上異于8、C的定點, 使截得的三角形與ABC相似，這樣的直線共有（）D.過M點作直線截ABC,A. 1條17. (3分)如圖,( )A. 4個B. 2條C.3條D.4條銳角ZkABC的高CD和BE相交于點O,圖中與相似的三角形有B. 3個C. 2個D,1個第18題18. （3分）如圖A3COEF,則圖中相似三角形的對數為（B. 2對C. 3對)A. 1對D. 4對三、解答題（共24小題，滿分96分）19 .在方格紙中，每個小格的頂點

6、叫做格點.以格點連線為邊的三角形叫做格點三角形.如 圖，請你在4X4的方格紙中，畫一個格點三角形AiBCi，使481。與一個格點三角 形A8C相似（相似比不為1）.Jc20 .如圖，ABC 中，BC=a.(1)若 AOi=1A8, AE =X1C 則 QiEi= ； 33(2)若。1。2=焉。出，EiE2=-EC,則。2及=：(3)若，。3=028, EiE3=EiC,則。3七3=3(4)若。.一 8, En En=>En Cf 則。“E尸3321.如圖，ABC 與AO5 中，ZABC= ZADB=90° , AC=5c?，AB=4cm,如果圖中的兩個直角三角形相似，求A。的長

7、.22 .己知：如圖，在正方形A5CO中，P是3C上的點，且3P=3PC,。是CO的中點. A。與是否相似？為什么？23 .已知：如圖，AABC 中，NABC=2NC, B。平分NA8C 求證：ABBC=ACCD.24 .如圖，已知：A3C為等腰直角三角形，NAC8=90° ZECF= 135° ,求證：AEACsACBF.25 .如圖，一個三角形鋼筋框架三邊長分別為20c?、50cm. 60cm,要做一個與其相似的鋼筋框架.現有長為30a和50c?的兩根鋼筋，要求以其中一根為一邊，從另一根上截下 兩段(允許有余料)作為另外兩邊，你認為有幾種不同的截法？并分別求出.30cm

8、50cm26 .已知：如圖，/XABC 中，AD=DB, Z1 = Z2.求證：AABCAEAD.27 .如圖，點C。在線段上，PCO是等邊三角形.(1)當AC、CD、。8滿足怎樣的關系時，(2)當ACPs/PO8時，求/A尸8的度數.28 .如圖，四邊形ABC。、CDEF、EFG都是正方形.(1)/XAC尸與GCA相似嗎？說說你的理由：(2)求N1+N2的度數.29 .如圖，己知N1 = N3, NB=ND, AB=DE=5cm. BC=4cm.(1) ABCszMOE嗎？說明理由.(2)求A。的長.30 .如圖，在正方形A8CO中，七為AD的中點，EE_LEC交48于E,連接FC(AB&g

9、t;AE), AAEFsAEFC嗎?若相似，請證明；若不相似，請說明理由.若ABC。為矩形呢？31 .如圖，四邊形A8CO是平行四邊形，AE_L3C于E, AFLCDF.（1） ZiABE與AA。尸相似嗎？說明理由.（2） ZVIEF與AABC相似嗎？說說你的理由.32 .如圖，。為ABC 內一點，E 為ABC 外一點，且N1 = N2, Z3=Z4.（1） ZiAB。與ACBE相似嗎？請說明理由.（2） ZiABC與O8E相似嗎？請說明理由.33 .將兩塊完全相同的等腰直角三角形，擺成如圖所示的樣子，假設圖形中所有的點和線段 都在一個平面內，回答下列問題：（1）圖中有多少個三角形，把它們一一

10、寫出來；（2）圖中有相似（不包括全等）三角形嗎？如果有把它們一一寫出來.34 .如圖，ABLBC, DCA.BC,垂足分別為氏 C,且 AB=8, OC=6, 8c=14, BC 上是 否存在點P使4AB尸與OCP相似？若有，有幾個？并求出此時8P的長，若沒有，請 說明理由.35 .已知：如圖，CE是RtZA3C的斜邊AB上的高，BG±AP.求證：CE2=EDEP.c36.如圖，在直角梯形ABC。中，AB/CD, A。上能否找到一個點P,使得以點P、A、 三角形相似？若能，共有幾個符合條件的點P?并求相應的PD的長；若不能，說明理由.線MN將MCN翻折，使點C落在邊A3上，設其落點為

11、P.（1）當點P是邊A8的中點時，比例式改=更成立嗎？為什么？ PB CN（2）當點P不是邊AB的中點時，工殳=更是否仍然成立？請說明理由.PB CN38 .如圖.已知在 RtA43C 中，NACB=90° , AOBC, CO 是 Rt&WC 的高，E 是 AC 的中點，EO的延長線與C8的延長線相交于點F.（1）求證：OE是BE和CF的比例中項：（2）在A8上取一點G,如果AEAC=AG-A。，求證：EG，CF=EDDF.39 .反比例函數v=N的圖象在第一象限的分支上有一點A（3, 4）, P為工軸正半軸上的一 x個動點，（1）求反比例函數解析式.（2）當P在什么位置時

12、，。出為直角三角形，求出此時P點的坐標.40 .如圖，在RtZMBC中，ZACB=90° , C。為斜邊中線，點。是ABC外一點，Z CDB=COB,線段CD與線段AB相交于點M.2探究：(1)求證：(2)如圖，當NCOB = 30° ,且 OM=BM 時，求證：CM=DM,應用：如圖，在218中，PA = PB,點C是%B外一點，ZACB=ZAPB.線段AC 與射線3P相交于點。.若PB=4, ADDC=7,請直接寫出B。的值.41 .如圖(1), ZVIBC是等邊三角形，。是8C邊上的一個動點，且NAOF=60。，點F在線段AC上.(1)求證：AABDsADCF；(2

13、)若AB=6,則當8。為何值時，AF=H：6(3)如圖(2), ADA.DE. BELDE,且 AD=14, 8E=22,點。在 OE上，且ABC 是等 邊三角形，求ABC的面積.42 .如圖1,將正方形紙片A8CO對折，使A5與CO重合，折痕為EF.如圖2,展開后再 折疊一次，使點。與點E重合，折痕為GH,點8的對應點為點M, EM交AB于N.若A。 =2,求線段MN的長度。參考答案與試題解析 一、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）1. （3分）已知兩數4和8,試寫出第三個數，使這三個數中，其中一個數是其余兩數的比 例中項，第三個數是.2或16或土幺歷_（只需寫出一個即可）.【解答】

14、解：設第三個數是二 根據比例中項的概念,得8x=16, x=2：或 4x=64, x=16：或 f=32, =±42-故填 2 或 16 或土甸以2. （3分）如圖，在aABC中，48=8, AC=6,點。在AC上，且AO=2,如果要在A3上找一點E，使AO七與原三角形相似，那么AE= 旦或3.-3 -2 -【解答】解：第一種情況：要使ABCs/aoE, NA為公共角，AB： AD=AC： AE,即 8： 2=6： AE,，AE=3：2第二種情況：要使A3Cs2AEZ）, NA 為公共角，AB： AE=AC： AD,即 8： AE=6： 2, ：.AE=.故答案為：旦或3.33 23

15、. （3分）如圖，在A3C中，點。在A3上，請再添一個適當的條件，使AOCs4C& 那么可添加的條件是 NADC=NAC8或NACD=N3或AC2=aq38 .【解答】解：V ZDAC=ZCAB.，當NAOC=NAC8 或NACO=N8 或 AC2=AOA8 時，均可得出AOCsQmcb.故答案為：NAOC=NAC8 或 NACZ）=N5 或4. （3分）如圖，D, E分別是AABC的邊A8, AC上的點，請你添加一個條件，使ABC 與AEQ相似，你添加的條件是 NAED=NB.【解答】解：NAED=NB.5. （3分）下列命題：所有的等腰三角形都相似：所有的等邊三角形都相似：所有 的

16、等腰直角三角形都相似；所有的直角三角形都相似；其中真命題是 （把所 有真命題的序號都填上）.【解答】解：本題考查相似三角形的判定性質，等腰三角形三角不一定相等，不符合相似三角形的特點，錯誤；而所有的等邊三角形三角相等，是相似三角形，正確；所有的等腰直角三角形三角都相等，因此都相似，正確：所有的直角三角形三角不一定都相等，不都相似，錯誤.其中真命題是0.6. (3分)如圖，在平面直角坐標系中有兩點A (4, 0)、B (0, 2),如果點C在x軸上(C 與A不重合)，當點。的坐標為 (7.0) 或 (1,() 時,使得由點兒。、C 組成的三角形與aAOB相似(至少找出兩個滿足條件的點的坐標).更

17、。：2)I I -O (4:0)【解答】解：丁點C在x軸上，點。的縱坐標是0,且當N8OC=9(T時，由點8、0、 C組成的三角形與AlOB相似，即N8OC應該與N8OA=90°對應，當AOBs/cob,即 OC 與 OA 相對應時，則。=04=4, C(-4, 0)；當A0Bs/30C,即 0C 與 08 對應，則 OC=1, C ( - 1, 0)或者(1, 0).故答案可以是：(-1, 0)： (1, 0).7. (3分)如圖，在平行四邊形A8CO中，AB = 8°，AD=4cm, E為A。的中點，在A8 上取一點 F，使ACBFsACDE,則 AF= 7 cm.【解

18、答】解：在平行四邊形A3CO中，AB=8c】，AD=4cm, E為A。的中點.則BC= AD=4c/n. DE=2cm. CD=AB=Scm.: CBFsCDE,，型=巫.即匹=典：.AF=AB - BF=S - =7cm.CD DE 82 ,8 .(3分)如圖，OE與8c不平行，當地= 迪 時，ZXABC與AOE相似.AC -AD-【解答】解：根據題意得：NA = NA，當地 典時，從8。與AAOE相似：AB ACTOE與8c不平行，當I坦時，ZVIBC與AOE相似：即也望.AB ACAC AD二、選擇題(共10小題，每小題3分，滿分30分)9 .(3分)給出4個命題：三邊對應成比例的兩個三

19、角形相似：而兩邊對應成比例且一個角對應相等的兩個三角形相似；一個銳角對應相等的兩個直角三角形相似：一個角對應相等的兩個等腰三角形相似，其中正確的命題是()A.B.C. D.【解答】解：正確；需是夾角對應相等才相似，錯誤：一個銳角對應相等的兩個直角三角形相似，正確：若一個等腰三角形的頂角和另一個等腰三角形的底角對應相等，那么兩個等腰三角形 不相似，故錯誤.正確的有故選：A.10 .(3分)如圖,己知。E3C, EF/AB,則下列比例式中錯誤的是()B f C& AD AE 口 CE EA .DE AD n EF CFAB ACCF FBBC BDAB CB【解答】解：:DE/BC, EF

20、/AB, ：. /ADEAABC, AEFCAABC,:.ADEsXEFC, .地望，CE =EA, 第0.故選 c.AB AC CF FB AB CBU.（3分）如圖，D、E分別是A3、AC上兩點，CO與BE相交于點O,下列條件中不能 使A4BE和AC。相似的是（）A. NB=NCB. ZADC= ZAEBC. BE=CD, AB=ACD. AD： AC=AE： AB【解答】解：NA = NA,工當N8=NC或NAOC=NAE8 或 AD： AC=AE： A8 時，ABE和4從。相似.故選：C.12 .（3分）如圖，在矩形A3CD中，E, F分別是CO, 8c上的點，若NAE/=90

21、6; ,則一 定有（）A. AADEsMCF B. AECFAAEF C. AADEAAEF D. ZXAEFAABF 【解答】解：在矩形ABC。中，AZD=ZC=90° ,V ZAEF=90a ：. ZDEA+ZCEF=90° , ZDEA+ZDAE=90>B.和C.和: XADFsXEBAsWCF,，有三對，故選：C.14. （3分）如圖，D.和A.和13 . （3分）如圖，E是平行四邊形ABC。的邊8C延長線上的一點，連接AE交CO于凡 則圖中共有相似三角形（）A. 1對B.2對C. 3對D. 4對【解答】解：ABC。是平行四邊形，:.ADBC, DC/AB【解

22、答】解：和相似，;由勾股定理求出的三角形的各邊長分別為2、6、V10： 由勾股定理求出的各邊長分別為久歷、2、2姓，.亍蘭豆=等,津=亞，即=返=津，兩三角形的三邊對應邊成比例，2后 2272 2 275，相似.故選：C.15. （3分）如圖，在正方形網格上有6個斜三角形：AA8C,8CO,8。心 A.D.BFG,FG，XEFK,在中，與三角形相似的是（）【解答】解：設第個小正方形的邊長為1，則A3C的各邊長分別為1BC。的各邊長分別為1、26：AB。七的各邊長分別為2、26、2d號（為AABC各邊長的2倍）：BEG的各邊長分別為5、厭、聲（為各邊長的巡倍）：&以；的各邊長分別為2、6

23、、V10 （為各邊長的6倍）；長的各邊長分別為3、瓜娓.根據三組對應邊的比相等的兩個三角形相似得到與三角形相似的是.故選：B.16. （3分）如圖，M是RtZiABC的斜邊8C上異于8、C的定點，過M點作直線截A3C,使截得的三角形與AABC相似，這樣的直線共有（）D. 4條A. 1條【解答】解：:截得的三角形與AABC相似，過點M作A8的垂線，或作AC的垂線，或作8C的垂線，所得三角形滿足題意 ，過點M作直線/共有三條，故選：C.17. （3分）如圖，銳角ZkABC的高。和8E相交于點0,圖中與相似的三角形有A. 4個B. 3個C 2個D.1個【解答】解：: /BDO=/BEA=90

24、6; , /DBO=NEBA, :BDOsBEA,V ZBOD= ZCOE, ZBDO=ZCEO=90° , :BDOsdCEO,NCEO=NCZM=90° , /ECO=NDCA, ：.ACEOACDA,18. （3分）如圖AB8EF,則圖中相似三角形的對數為（）A. 1對【解答】解:B. 2對BC 3對D.4對9：AB/CD/EF, ACQs/XAEF, AECDAEAB.，圖中共有3對相似三角形.故選：C.三、解答題（共19小題，滿分。分）19.在方格紙中，每個小格的頂點叫做格點.以格點連線為邊的三角形叫做格點三角形.如圖，請你在4X4的方格紙中，畫一個格點三角形Ai

25、BCi， 形ABC相似（相似比不為1）.【解答】解：20.如圖，ZiABC 中，BC=a.(1)若 AOi=Ia& AE =-Uc 則 QE= L/ ；(2)若EE2 =使AiBCi與一個格點三角一3一 &C，則小金=旦 39(3)(4)若。13，En Eu=En iCt 則 DnEn 333n-2n3n若DD=DB E正產工EC則。疙3= a_- 3' -27【解答】解：(I) ADi=3aB, AEi=Lc, NA = NA, AAADiEiZkABC, 33DR 知 DE /11J-=-即-=-，。用=工況=三一1,:故答案為：BC AB a 13313(2)AE

26、i=C,。1小=4必，ExEi=EC, NA=NA,3333:.AZhEzsAABC,(AB-Lb)=鳥8, o 1D =418, ：.AD2=AD1+D1D1 =Xa8d3-33AD2_D2E21b bc-ABM 解得£>2七2=2/=3212,故答案為：紅八93293 3（3）;同（1）可得A6E3sABC, D3E3=里/=> W a,故答案為：且處273，27 a2n 9n9n（4）由（1） （2） （3）可知，DnEL -乙"，故答案為：3 -乙u3n3n21.如圖，ABC 與AO5 中，NA8C=NAQB=9（T , AC=5cnu AB=4cm9

27、如果圖中的 兩個直角三角形相似，求A。的長.A【解答】解：NA8C=NADB=90° , AC=5cm9*e, 5C=a/xC2-AB2= 3cm,若A4BCsZaO& 則至即且，解得:AB AD4 AD若zMBC/Zoa,則笆,圖，即包上，解得: AB AD4 ADAB=4cm93以53工5cm；m.A。的長為：里7522.己知：如圖，在正方形A5CO中，P是3c上的點，且BP=3PC,。是8的中點. A。與QCP是否相似？為什么？【解答】解:；BP=3PC,XXOQs XPCQcp=_Lbc=_1c。, 44.,。是。的中點，：.CQ=DQ=XD.a£P = C

28、Q.=A,又： /c=/d. :./adqaqcp.QD AD 223.已知：如圖，ABC 中，NA3C=2NC, 5。平分NA8C 求證：AB*BC=AC/CD.【解答】證明:NA8O=NO8C=NC,:.BD=CD, / / 4= / A在AB。和 AAC3 中，1 匚門。口 ，:.ABDsXACB,(zabd=zce J :=>» 即 A88C=AC8。， ：.ABBC=ACCD.AC BC24 .如圖，已知：ABC為等腰直角三角形，NAC8=90° ,延長8A至E,延長A8至F, ZECF= 135° ,求證：AEACsACBF.E AB【解答】證明

29、：A8C為等腰直角三角形，NAC8 = 90° , ，NCAB=NC區4=45° , A ZE+ZECA =45° （三角形外角定理）.又NEC尸=135° , ：.ZECA+ZBCF=ZECF- ZACB=45C , ：.ZE=ZBCF,同理，/ECA = /F, :EACsCBF.25 .如圖，一個三角形鋼筋框架三邊長分別為20c?、50“、60cm.要做一個與其相似的鋼 筋框架.現有長為30cz和50“的兩根鋼筋，要求以其中一根為一邊，從另一根上截下 兩段（允許有余料）作為另外兩邊，你認為有幾種不同的截法？并分別求出.30c 制50cm【解答】解：

30、有兩種不同的截法：（1）如圖（一），以30o長的鋼筋為最長邊，設中邊為心 短邊長為y, 則有，辿一解得x=25,60 50毀上，解得=10,60 20所以從50cm長的鋼筋上分別截取10cm 25cM的兩段；（6分）（2）如圖（二）以30o長的鋼筋為中邊，設長邊為X，短邊長為A G奇嗡，解得X=36,毀上，解得y=12.50 20所以從50加長的鋼筋上分別截取12加、36皿的兩段.（12分）（3）若以30。長的鋼筋為短邊，設長邊為x,中邊長為y,V ZBDA = Z1+ZC= Z2+ZADE,又= ：.ZC=ZADE.：.XABCs AEAD.21.如圖，點C。在線段上，PCO是等邊三角形.（

31、1）當AC、CD、。8滿足怎樣的關系時，ACPsAPDB：（2）當ACPs2pob 時，求NAPB 的度數.【解答】解：(1)當CQ2=ACO3時，MCPsAPDB, :PCD是等邊三角形,:.NPCD=/PDC=6U0 ,/. ZACP=ZPDB=20° ,即生=幽,BD PD若 CD?=ACDB,由 PC=PO=CO 可得：PCPD=ACDB, 則根據相似三角形的判定定理得ACPs2pz)8(2)當ACPs2PO8 時，/APC=NPBDVZPDB=120° ,:NDPB+/DBP=60°，NAPC+N8PO=6(T , A ZAPB= ZCPD+ZAPC+Z

32、BPD= 120° 即可得NAP8的度數為120。.28 .如圖，四邊形480 CDEF、EFG都是正方形.(1)AC/與GCA相似嗎？說說你的理由；.AC_V2aCF a=瓜爛卷S嘴嚙(2)求N1+N2的度數.【解答】解：E為A。的中點，."E=OE,VEF1EC A ZAEF+ZDEC=W , NDCE+/DEC=90° ,:NAEF=NDCE,丁 ZACF= NACF, :. ACFs2GCA； (2):ACFs4gcA,，N1 = NG4F,VZCAF+Z2=45° , A Zl+Z2=45a .29 .如圖，己知N1 = N3, /B=/D,

33、AB=DE=5cm. BC=4cm.(1) ABCs&ioe嗎？說明理由.(2)求AO的長.【解答】解：(1) AABCAADE.理由：VZ1 = Z3,，1+N2=N3+N2,即N8AC=NOAE.： /B=/D, ：.AABCAADE.(2) A3CsA4OE,上：.AB： AD=BC： DE,即 5： AD=4： 5, ：.AD=L Q7). 430 .如圖，在正方形A8CO中，七為AD的中點，EF上EC交AB于F,連接FC(AB>AE), 若ABC。為矩形呢？又NA=NO=90° , :AEFsXDCE,，嫗=坐=空，里=迎DE CD EC AE EC又NA=N

34、CEF=9(T , :/AEFs4EF3ABC。為矩形時，同理可得AEFsZSkocE, AF_AE_EF AF_EF , , DE CD EC AE EC又NA=NCEF=9(r , :/AEFs/EFC.31.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，AE_L8c于E, AFLCDF.（1） AABE與AA。尸相似嗎？說明理由.（2） ZAEF與A48C相似嗎？說說你的理由.【解答】解：（1）相似.理由如下：二四邊形A8CQ是平行四邊形，/8= NO, AE_L3c 于 E, AFLCD 于 F./. ZAEB=ZAFD=90 , A AABE ZXADF： （2）相似.理由如下：V /ABE&g

35、t;/ADF. 幽=雪 而 AO=8C,，膽二里 AD AFAE AF四邊形A3CQ是平行四邊形，"C。，：.ZBAF=ZAFD=90Q , A ZEAF+ZBAE=9 , 而N8+N8AE=90° , ：.ZB=ZEAF,：.AAEFsBAC.32. 如圖，。為ABC 內一點，E 為ABC 外一點，且N1 = N2, Z3=Z4.（1） A3O與ACBE相似嗎？請說明理由.（2） ZiABC與O8E相似嗎？請說明理由.【解答】解：（1）相似.理由如下：VZ1 = Z2> N3 = N4.:.ABDMCBE：（2）相似.理由如下：VZ1 = Z2, N1 + /DBC

36、=N2+DBC,即/月3C= NOBE,：/ABDsACBE,，些=理,，延=里,：.ABCsXDBE.BC BE BD BE33.將兩塊完全相同的等腰直角三角形，擺成如圖所示的樣子，假設圖形中所有的點和線段 都在一個平面內，回答下列問題：（1）圖中有多少個三角形，把它們一一寫出來：（2）圖中有相似（不包括全等）三角形嗎？如果有把它們一一寫出來.【解答】解：(1) 7 個，分別為：AABD. LABE、AABC、AADE、A。、AEC、 AFG：(2) AADEABAE, ACDAAADE. ABAEACDA,證明：ABC與aAFG都為等腰直角三角形，：.ZDAE=ZB=45° ,

37、ZAED=ZBEA, ：.AADE/BAE.同理：ACDA/ADE. ：.ABAEACDA.34 .如圖，ABLBC, DCA.BC,垂足分別為氏 C,且 A8=8, OC=6, 8c=14, BC 上是 否存在點P使A3尸與OC尸相似？若有，有幾個？并求出此時8P的長，若沒有，請 說明理由.【解答】解：設8P=x,則PC=14-x,8P與CP是對應邊時，空=些，即_=且，解得x=8,CP DC14-x 68P與。C是對應邊時，至巳=也,即二=-,解得xi =6,刈=8, DC CP6 14-x所以，BC上存在兩個點P, BP=6或8使八43尸與OCP相似.35 .已知：如圖，CE是RtZAB

38、C的斜邊AB上的高，BGLAP.求證：CE2=EDEP.【解答】證明：CE是RtZABC的斜邊A8上的高， ：lkCEsXCBE, 里=里 KJ CE2=AEBE.AE CE CE是Rt4BC的斜邊A3上的高，BGA.AP, NP+N用E=90° , NDBEM必E=90° ,：NP=NDBE,又：NAEP=NDEB=9g , ：.AAEPADEB； 幽=里，即 aEBE=EOEP,又：Cf=AEBE,:CE2=EDEP.DE EB36 .如圖，在直角梯形 A8CO 中，ABCD, DA1,AB, CQ=2, A8=3, AO=7,在線段A。上能否找到一個點P，使得以點P、

39、A、8為頂點的三角形和以點P、C、。為頂點的三角形相似？若能，共有幾個符合條件的點尸？并求相應的尸。的長；若不能，說明理由.【解答】解：能相似.如圖：:在直角梯形 ABC。中，AB/CD, DA±AB9 ：. ZA=ZD=90° , 設尸。=x, VCD=2t A8=3, AD=7,則以=A。- PO=7 - x,3 7-x：.PD= 或 6,當空型時，XPCDsMBPA,則/_ J,解得：r=i或x=6, FA AB7-x 3,PCDsXPBX,則2=,解得：.PD=37 .如圖，A8是等腰直角三角形A8C的斜邊，若點M在邊AC上，點N在邊8c上，沿直 線MN將MCN翻折

40、，使點C落在邊A8上，設其落點為P.（1）當點P是邊AB的中點時，比例屋良=成立嗎？為什么？PB CN（2）當點P不是邊AB的中點時，里=里是否仍然成立？請說明理由.PB CM【解答】解：（1）點P是邊A8的中點時，比例式里=生成立.PB CM理由：如圖（1）,連接PC,MN是折痕，垂直平分PC, 9AC=BC, AP=BP, C.CPLAB,肚=1,PB:MNAB, :CMNsMAB,筌=1, ：.h=L.CN BC PB CN(2)當點P不是邊AB的中點時，世=仍然成立.PB CN理由：如圖(2),連接PC,則MALLPC, 過點P作PEL4C于點£V ZACB=90°

41、 , NA 是公共角，：.AAEPAACB,，弛二, PB EC9AC=BC, ：. ZA = ZB=45° , NAPE=N5=45° ,：.AE=EP,: /MCN=90° , CPLMN,工/ECP= NMNC, :AMCNsAPEC, .CM CN - CM PE AE - PA.CMPE ECCM EC EC PB CNCl）（2）38.如圖，己知在 RtZiABC 中，NAC8=9（T , AC>BC, CO 是 RtZA3C 的高，石是 AC 的 中點，七。的延長線與C5的延長線相交于點F.（1）求證：OF是8F和CF的比例中項：【考點】相似三

42、角形的判定與性質.【專題】證明題：三角形：圖形的相似.【分析】（1）由NAC8=90°、COLAB利用同角的余角相等可得出N8CO=NA,由E 是AC的中點利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出DE=AE,進而可得出 NAOE=NA,結合對頂角相等可得出NFCQ=NFZ）8,再結合公共角NCFD=NOF8, 即可證出。/。心，根據相似三角形的性質可證出DF?=BF5（2）由A£>47=從67。結合乙4=/從可證出4從反7644。，根據相似三角形的性質 可求出NAEG=NAOC=9（T ,結合NAC8=90°可得出EGBC,進而可得出毀=度,ED DF

43、根據（1） CFQs/OFB可得出變=，等量替換后可得出旦£=變，進而即可證出 CF DFED CFEGCF=ED，DF.【解答】證明：（1）V ZACB=90° , CD1AB, ：. ZBCD=ZA, ZADC=90° .是 AC 的中點，:DE=AE=CE, ：. ZADE=ZA, ：. ZBCD=ZADE.又NADE=NFDB, ：.ZFCD=ZFDB.： /CFD=NDFB, :CFDsDFB,:.DF?=BFCF.（2） AEAC=AGA。，蟠=£AD ACNA = NA, AEGsAAOC, ：.EG/BC. :.EGDs/FBD,，毀=電

44、.ED DF由（1）知：CFDsADFB,，更=型，匹=，；.EG*CF=EDDF.CF DF ED CF【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質、互余、平行線的判定與性質以及直角三 角形的性質，解題的關鍵是：（1）利用相似三角形的性質找出CFOs2of& （2）根 據相似三角形的性質及平行線的性質找出更=巫、股=度.CF DF ED DF39.反比例函數y=K的圖象在第一象限的分支上有一點A （3, 4）, P為x軸正半軸上的一個 x動點，（1）求反比例函數解析式.（2）當P在什么位置時，。用為直角三角形，求出此時P點的坐標.【考點】函數解析式的求解及常用方法；數量積判斷兩個平面向量

45、的垂直關系.【專題】綜合題.【分析】（1）將A（3, 4）代入y*可得k的值，進而可得函數解析式： X（2）可分兩種情況：當N0A = 9（T時，易得：當NQ4P=90°時，過A作軸于H，易得。4/從尸”，進而可得得51盤1：化簡代入數據可得答案.AH PH【解答】解： 將A （3, 4）代入y4，（1分）£ 得K=12,所以函數解析式為y2： （2分）; 不、25"V（2）當NOAP=90° 時，P （幺，0）, （3 分）_ 3hP當/OAP=90°時，過A作從_1_工軸于，'2 -由0As/4P，（4 分）得型RPpTT=_L=l

46、l;AH PH OH 3上所以，。尸=3包=生：此時，點P的坐標為（生，0）.（5分） 333當點P的坐標為（3, 0）時，0%也是直角三角形.【點評】此題綜合考查了反比例函數，正比例函數等多個知識點.此題難度稍大，綜合性比 較強，注意對各個知識點的靈活應用.40.如圖，在RtZA8C中，ZACB=90° , C。為斜邊中線，點。是48C外一點，Z CDB=L/COB,線段CO與線段AB相交于點M.2探究：（1）求證：（2）如圖，當NCZ）B=30° ,且 0M=8M 時，求證：CM=DM,應用：如圖，在見8中，PA=PB,點C是見8外一點，ZACB=ZAPB.線段AC與射

47、線5尸相交于點。,若PB=4, ADDC=7,請直接寫出8。的值.【考點】相似形綜合題.【專題】等腰三角形與直角三角形：圖形的相似.【分析】探究：（1）根據直角三角形的性質得到4。=。，根據等腰三角形的性質得到NA= NAC。，推出NA = NCD8,于是得到結論；（2）根據已知條件得到，NCOB=6（T ,推出COB是等邊三角形，根據等邊三角形的性 質得到NOCM=N8CM=3（T ,根據全等三角形的性質即可得到結論；應用：如圖，延長8P到Q,使尸。=3尸；連接A。；則/。=/力0, ZAPB=ZQ+ZPAQ =2/0：根據相似三角形的性質得到ADDC=QDBD,設PD=x,則。=4+心BD

48、=4 -x,列方程即可得到結論.【解答】解：探究：（1）證明：:在RtZXABC中，NAC8=90° , CO為斜邊中線， ：.AO=CO, ：. ZA = ZACO. V ZBOC= ZA+ZACO, ：. ZA=ZCOB.2: /CDB=Z/COB, ：. ZA=ZCDB, V ZAMC=ZDMB9 ：.AAMCADMB,2(2) VZCDB=30° ， ZCDB=ZCOB.，NCO8=60° , 2COB是等邊三角形，：.CO=CB,，N0CM=NBCM=3(r ,：/OCM=NCDB, rZ0CM=ZCDB在COM 與O8W 中， ZCM0=ZDMB，：.ACOMADBM (A4S), ：.CM=DM；vB兒應用：如圖，延長8P到Q，使PQ=5P：連接AQ：則NQ=N必。，NAP8=NQ+N%0 = 2N。；V ZAP