1、精選優質文檔-傾情為你奉上阿波羅尼圓的畫板實現及應用兼談幾何畫板中自定義工具的實現及應用張志勇（江蘇省常州市第五中學）摘要：從具體畫板操作入手（即阿波羅尼圓的畫板的兩種實現方法），進而涉及畫板高級功能的研究（即自定義工具的創設）；并在具體案例應用得出啟示：教育技術可以為“研究數學”提供有效載體，而技術支持下的數學教育情境創設離不開教師的研究和設計。關鍵詞：阿波羅尼圓；教育技術；構造；自定義工具；幾何畫板我們知道，到兩定點F1、F2的距離之和為定值（大于F1F2）的點M的軌跡為橢圓，而距離之差為定值（小于F1F2）的點M的軌跡為雙曲線，那么圓是否有相類似的結論呢？答案是肯定的，事實上滿足到兩定點

2、F1、F2的距離之比為定值t(t>0且t1)點M的軌跡為圓，這個結論是阿波羅尼(Apollonius，約前260前190)發現的，所以往往稱為阿波羅尼圓。但圓的這一性質比較“隱晦”，為幫助學生直觀理解需要我們創設“所見即所得”的教學情境，本文以幾何畫板5.0為例談談在畫板環境中阿波羅尼圓的構造方式，并與讀者分享畫板中自定義工具功能的實現與應用。一、阿波羅尼圓的畫板實現1.幾何構造法實現阿波羅尼圓步驟1、構造一直線上兩點F1、F2，新建參數t，其初值賦為2；圖1步驟2、度量計算并標記為比值，雙擊點F1標記為中心，選中F2按標記比值縮放得到點P；步驟3、度量計算并標記為比值，雙擊點F1標記為

3、中心，選中F2按標記比值縮放得到點得到點Q；步驟4、構造線段PQ并構造線段PQ的中點C，以C為圓心以P為圓上一點構造圓C。試試效果如何？取圓C上任意一點M構造線段MF1、MF2，并先后選中兩線段度量比值，拖動點M會發現比值不變并且與參數t值恒相等（如圖1所示）。圖22.解析構造法實現阿波羅尼圓步驟1、在x軸上任取兩點F1、F2，度量其橫坐標將標簽分別設為x1、x2，新建參數t初值賦為3；步驟2、計算，選中后點擊繪圖菜單中的在軸上繪制點命令，在彈出窗口中選擇“繪制”按紐得到點P；步驟3、計算，重復步驟2可得到點Q；步驟4、同方法一，以PQ為直徑構造圓C。我們也可仿照方法一驗證效果（如圖2所示）。

4、3.實現方法構造詳解及比較圖3從以上構造過程我們可以發現，確實阿波羅尼圓關鍵在于找到圓與直線F1F2的交點P、Q（因為圓C以PQ為直徑）。事實上，P、Q兩點一個在線段F1F2內一個在線段F1F2外，于是這兩個點便稱為圓的內分點、外分點；更進一步地，如果參數t>1，則Q點在F1F2的延長線上，此時圓C偏向F2一側；如果0<t<1，則Q點在F1F2的反向延長線上，此時圓C偏向F1一側。這樣，我們可以將實現阿波羅尼圓問題界定為“知三求二”問題：三條件（定點F1、F2、定值t）確實兩結論（內分點P、外分點Q），而確定P、Q點的位置恰是構造的重點和難點。【評注】方法一將點F2以F1為中

5、心進行放縮屬于幾何構造，而放縮比例分別確定為、卻是考慮到的緣故； 方法二則是解析法計算，為將問題簡化，我們將F1、F2限定在了x軸上，設F1(x1,0)、F2(x2,0)、P(x,0)，由可得從而，這樣便可確定點P，同理可得到點Q。兩種構造方法本質上是一致的，都用到了定比分點公式，相比較而言方法一略顯繁瑣。二、自定義工具的創設及應用1自定義工具的創設以方法1為例，先后選中參數值t、點F1、點F2和圓C，點擊工具欄中的自定義工具選項，彈出窗口中選擇創建新工具（如圖3所示）；在彈出“新建工具” 窗口的工具名稱中輸入“阿波羅尼圓”點擊確實即可。如果在“新建工具” 窗口中勾選顯示腳本視圖（如圖4所示）

6、，我們會發現“阿波羅尼圓”工具的先決條件為度量結果t、點F1、F2，只要給定這三個先決條件便可得到相應的阿波羅尼圓C，簡而言之相當于由條件“度量結果t、點F1、F2”便可得到結論“圓C”。需要強調的是：一方面創設工具時要關注F1、F2的選中的先后順序，如果順序錯了得到的結果就“南轅北轍”了；另一方面如果在創建工具過程中同時選中“點C、線段MF1、線段MF2”的話，圖4圖5我們會發現結論中也多了相應的結果，讀者不妨一試；同時，對于方法二的構造而言，因為構造過程中依賴于坐標系，所以在創新工具時選擇對象應包括坐標軸，這樣需要選中軸x、軸y、參數值t、點F1、點F2和圓C，但在“腳本視圖”中出現的先決

7、條件只有“軸y、軸x、度量結果t”（如圖5所示），究其原因在于在工具的操作步驟中畫板將點F1、F2設置為自由點了。2自定義工具的應用舉例案例（2009年江蘇高考第18題的推廣）：圓C1和圓C2的半徑分別為r1、r2，則平面上存在兩個點P滿足：過點P有無窮多對夾角為的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長比值為。步驟1、構造線段r1、r2，點C1、點C2；以C1為圓心r1為半徑構造圓C1，同理得到圓C2，度量r1與r2的線段長的比值并將標簽修改為t；圖6圖7步驟2、點擊工具欄中的自定義工具選項，選中自定義工具“阿波羅尼圓”，先后選中

8、比值t及點C1、點C2，得到相應的阿波羅尼圓M；步驟3、以C1 C2為直徑構造圓N，構造圓M與圓N的交點P1、P2（這便是我們要找尋的定點，如圖6所示）。步驟4、過P1作兩條相互垂直的直線l1、l2，度量C1、 C2到兩條直線的距離（效果如圖7所示）。三、兩點思考和啟示1教育技術可以為“研究數學”提供有效載體以案例中所涉及問題為例，如果僅以代數推演的方式我們可以得出正確的結論，但只囿于以教師講述啟發學生用“心靈”去想象，對于學生來說除了被動接受一無意義的事實外便無所收獲了，而在圖7創設的情境里學生可以在感受數學結論的真實性的同時產生探究欲望，繼而積極探求影響結果的數學本質（當然要達成這一目標還

9、需要我們推敲細節設計過程），從而使數學研究成為學生的內在訴求。事實上，以幾何畫板為代表的教育技術能為學生提供“多元聯系表征”的學習環境，因為作為一種認知工具，教育技術能對同一數學對象（數學的概念、法則、表達式、定義等等）給出幾種不同表征，從而對學生真實理解數學產生重要影響；與此同時，教育技術能為學生創設數學研究情境，讓學生在觀察問題、猜想結論、驗證猜想、體驗本質、歸納和發現新結論的過程中感受數學的全過程。因此我們需要發揮教育技術的力量，更好地組織和管理教學資源，構建交互式、多樣化的實驗學習環境，呈現“以往教學中難以呈現的課程內容”；促進學生對數學的基本理解和形成直覺思維，使學生感受“數學是自然的，數學是清楚的，數學是水到渠成的”。2教育技術支持下的數學情境創設離不開教師的精心設計我們知道，幾何畫板作為一種動態幾何演示軟件，可以把抽象的數量、圖形關系形象地描述出來，再現真實環境的數形的動態變化過程。但如何利用幾何畫板構建易于學生理解和接受的問題情境，創建易于學生觀察問題、猜想結論、驗證猜想、體驗本質、歸納和發現結論的數學實驗平臺，這就離不開教師的精心設計、巧妙構造。一方面我們需要研究技術本身，因為“工欲善其事必先利其器”，如需要在實踐中思考幾何畫板5版本的新功能（方法2中“在軸上繪制點”便是一例）和目標問題的構造實現方法，使技術成為如紙筆一樣方便