1、勾股定理一探索勾股定理（一）勾股定理知識鏈接（1 ）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c,那么a2+b2=c2.（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中.（3） 勾股定理公式 a2+b2=c2 的變形有：a2=c2-b2, b2=c2-a2及 c2=a2+b2.（4）由于a2+b2=c2 a2,所以c a，同理c b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中 的每一條直角邊.同步練習1 .如圖所示，在 Rt ABC中，/ A=90 , BD平分/ ABC，交AC于點D,且AB=4 , BD=5，則點D

2、到BC的距離是（）A . 3B . 4C. 5D . 62.（2014?樂山）如圖， ABC的頂點A、B、C在邊長為1的正方形網格的格點上，BD丄AC于點D .則BD的長為（)A .2 5B .C .45D . （ 2013?黔西南州）一直角三角形的兩邊長分別為3和4 .則第三邊的長為（）A. 5 B . i7 C.5 D. 5 或. 753455A/AABC4. （ 2013?六合區一模）如圖，直線I上有三個正方形a, b, c,若a, c的面積分別為3和4，則b的面積為（）A . 3B . 4C . 5D . 7aK/c15. ( 2014?增城市一模)在 Rt ABC 中，/ ACB=9

3、C , CD 丄AB 于 D , AC=20 , BC=15 ,(1 )求 AB 的長;B（2）求CD的長.6. （2014?金華模擬）如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為有趣三角形”,這條中線稱為 有趣中線”.已知Rt ABC中，/ B=90 ,較短的一條直角邊邊長為 1 ,如果Rt ABC是 有 趣三角形”，那么這個三角形 有趣中線”長等于7.（ 2014?本溪一模）如圖，在ABC，/ C=90，/ B=15 , AB 的中垂線 DE 交 BC 于 D, E 為垂足,若BD=10cm，則AC等于（8cm5cmD. 2.5cmABC中，AC、BC上的中線交于點 O,

4、且BE丄AD .若BD=5 , BO=4 ,8 .（ 2014?徐匯區二模）如圖，9.（ 2014?香坊區三模）如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB=9C , BD 平分/ ABC .若 CD=3 , BC+AB=16 ,則厶ABC的面積為（C. 24 D. 3210 . （ 2014?南充）如圖，有一矩形紙片ABCD，AB=8，AD=17，將此矩形紙片折疊，使頂點 A落在BC邊的A處，折痕所在直線同時經過邊AB、AD （包括端點），設 BA =x，則x的取值范圍是A11.（ 2014?房山區一模）閱讀下列材料:小明遇到這樣一個問題：已知：在 ABC中，AB，BC，AC三邊的長分別為.5、

5、,10、13，求 ABC的面積.小明是這樣解決問題的：如圖 1所示，先畫一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1 ），再在網格中畫出格點 ABC （即 ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），從而借助網格就能計算出 ABC的面積.他C：3：圖3D把這種解決問題的方法稱為構圖法.圖1請回答：（1 ）圖1中厶ABC的面積為 參考小明解決問題的方法，完成下列問題：（2 ）圖2是一個6X6的正方形網格（每個小正方形的邊長為1）.利用構圖法在答題卡的圖 2中畫出三邊長分別為.13、 2 5、29的格點 DEF ； 計算 DEF的面積為（3）如圖3，已知 PQR，以PQ ,PR為邊向外作正方形 PQAF ,P

6、RDE，連接EF.若PQ= 2 ： 2 , PR= 13 ,QR= 17，則六邊形AQRDEF的面積為（二）勾股定理證明知識鏈接（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的.先利用拼圖的方法,然后再利用面積相等證明勾股定理.（2 ）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規則的圖形，然后利用大圖形的 面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理.同步練習1.用四個邊長均為a、b、c的直角三角板，拼成如圖中所示的圖形，則下列結論中正確的是（）A . c2=a2+b2B. c2=a2+2ab+b 2C . c2=a2-2ab+b 2D . c2= （a+b ） 2.2下列

7、選項中，不能用來證明勾股定理的是（）A.B .C .D .3. （2014?滿洲里市模擬）我國古代數學家趙爽的勾股方圓圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別是 a和b，那么（a+b ） 2的值為（）C . 13BAC=9C ，）AB=3，AC=4，點 D，E，F，G，H，I 都在矩形 KLMJ 的邊4. （2012?寧波）勾股定理是幾何中的一個重要定理.在我國古算書周髀算經中就有若勾三，股四,則弦五”的記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的，可以用其面積關系驗證勾股定理

8、.圖D . 121C . 110A. 90B .100（圍1）2是由圖1放入矩形內得到的，/ 上，則矩形KLMJ的面積為（5、（ 2011?溫州）我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一副弦圖”后人稱其為 趙爽弦圖” （如圖1 ） 圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成. 記圖中正方形 ABCD，正方形EFGH , 正方形MNKT的面積分別為S! , S2, S3，若S!+S2+S3=10，則S2的值是 弦實二主朱及黃6由8個相同的直角三角形（圖中帶陰影的三角形）與中間的小正方形拼成的一個大正方形.如果最大的正方形的面積是25，最小正方形的面積是 1，直角三角形的較短直角邊

9、長為 a，較長直角邊長為 b，那么33222a 3-333b 3= .7利用圖（1）或圖（2）兩個圖形中的有關面積的等量關系都能證明數學中一個十分著名的定理，這個 定理稱為，該定理的結論其數學表達式是.圍圖2）8. 如圖，網格中的圖案是美國總統Garfield于1876年給出的一種驗證某個著名結論的方法：(1) 請你畫岀直角梯形 EDBC繞EC中點0順時針方向旋轉180的圖案，你會得到一個美麗的圖案.(陰 影部分不要涂錯).(2) 若網格中每個小正方形邊長為單位1,旋轉后A、B、D的對應點為A、B、D ,求四邊形ACA E的面積？(3) 根據旋轉前后形成的這個美麗圖案，你能說岀這個著名的結論嗎

10、？若能，請你寫岀這個結論.9. (1 )如圖1是一個重要公式的幾何解釋請你寫出這個公式；(2)如圖 2，Rt ABC 幻 RtA CDE，/ B= / D=90，且 B，C，D 三點共線.試證明/ ACE=90 ;(3)請利用(1)中的公式和圖2證明勾股定理.圖1ffi 210 .如圖，已知正方形 ABCD和CEFG，連接DE，以DE為邊作正方形EDHI，試用該圖形證明勾股定（三）等腰直角三角形知識鏈接（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.（2 ）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質即：兩個銳角都是45兩腰相等，斜邊上中線

11、、角平分線、斜邊上的高，三線合一；（3）若設等腰直角三角形內切圓的半徑r=1，則外接圓的半徑 R= 2+1，所以r： R=1 :2+1 同步練習1.如圖，在 Rt ABC中，AB=AC，/ A=90 , BD是角平分線，DE丄BC ,垂足為點 E.若CD= 5 2 ,則AD的長是（）A. 5/2B . 2?2C . D . 52 22 .在 ABC 中，BC : AC : AB=1 : 1 :2，則 ABC 是（ ）A 等腰三角形B 鈍角三角形C 直角三角形D 等腰直角三角形3 .如圖，等腰直角三角形 ABC中，AC=BC 3，點M在AC上，點N在CB的延長線上，MN交AB于點 O，且 AM=

12、BN=3，貝U S amo 與 S bno 的差是（）A . 9 B . 4.5C . 0D .因為AC、BC的長度未知，所以無法確定4. （2011?萬州區模擬）如圖， ACD和厶AEB都是等腰直角三角形，/ EAB= / CAD=90，下列五個結1論： EC=BD :EC 丄 BD : S 四邊形 ebcd=- EC?BD : S ade =Sabc :厶 EBF DCF ;其中正確2的有（）A .B .C .D .5.如圖，已知 ABC是腰長為1的等腰直角三形，以 Rt ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰 Rt ACD，再以Rt ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰 RtA ADE

13、，依此類推，則第2015個等腰 直角三角形的斜邊長是6. 如圖，在等腰直角 ACB中，/ ACB=9C ，O是斜邊AB的中點，點 D、E分別在直角邊 AC、BC 上, 且/ DOE=9C ，DE交0C于點P .有下列結論：1/ DEO=45 :厶 AOD COE : S 四邊形 CDOE =S ABC : OD2=op?oc .2其中正確的結論序號為.（把你認為正確的都寫上）7 .如圖，a / b，點A在直線a上，點C在直線b上，/ BAC=9C ，AB=AC，若/ 1=20，則/ 2的度數 為.8. （ 2014?徐州模擬）如圖，在 ABC中，/ A=90 , / C=45 , AB=6cm

14、，/ ABC的平分線交 AC于點cm .D, DE 丄 BC，垂足為 E ,_則 DC+DE=9. （2014?溫州五校一模）如圖，在 ABC中，AC=BC，/ ACB=90 ，D為AC延長線上一點，丿BC 邊上，且 CE=CD，連結 AE、BD、DE . 求證： ACEBCD ; 若/ CAE=25，求/ BDE的度數.能得到直角三角形嗎（一）勾股定理的逆定理知識鏈接（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就 是直角三角形.說明: 勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等.必須滿足較 勾股定理的逆定理將數轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三

15、角形.小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷.（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角然后進一步結合 其他已知條件來解決問題.注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較,如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.同步練習1.（ 2012?廣西）已知三組數據：2 ,3，4 :3，4，5;1，3，2 分別以每組數據中的三個數為三角形的三邊長，構成直角三角形的有（A .B .C .D.2 . （2012?連云港一模）如圖，在5X5的正方形網格中，以AB為邊畫直角 ABC，使點C在格點上，滿足這樣條件的點

16、C的個數（2014?江西模擬）3.下列各三角形中，面積為無理數的是（C 淪 d.2bSC.下列能構成直角三角形三邊長的是（1，1，2 B. 5，8，10 C . 5，12，13 D. 6，7，8（2012?松北區二模）如圖 ABC中，AB=5，AC=3，中線AD=2，_則BC長為6 在直角三角形中，滿足條件的三邊長可以是 （寫出一組即可）.7 .三角形的三邊 a，b，c滿足（a+b）2=c2+2ab，則這個三角形是 三角形.8. （ 2014?蕭山區模擬）如圖，在四邊形 ABCD 中，/ B=90，/ BCD=135 ，且 AB=3cm，BC=7cm，_ 1CD= 5 2 cm，點M從點A出發

17、沿折線A-B-C-D運動到點D，且在AB上運動的速度為一 cm/s，在BC2上運動的速度為1cm/s，在CD上運動的速度為 J2cm/s，連接AM、DM，當點M運動時間為 .9. （ 2014?高安市模擬）如圖，方格紙中的每個正方形的邊長均為1,點A、B在小正方形的頂點上，在圖中畫 ABC （點C在小正方形的頂點上），使 ABC為直角三角形（要求畫兩個且不全等）10 . （2014?順義區一模）在厶 ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設c為最長邊.當a2+b2=c2時， ABC是 直角三角形；當a2+b2工C時，利用代數式a2+b2和c2的大小關系，可以判斷 ABC的形狀（按角分類）.（

18、1 ）請你通過畫圖探究并判斷：當厶 ABC三邊長分別為6，8，9時， ABC為三角形；當厶ABC三邊長分別為6，8，11時， ABC為三角形.（2）小明同學根據上述探究，有下面的猜想：當a2+b2c2時， ABC為銳角三角形；當a2+b2 1）.（1）這個三角形一定是直角三角形嗎？為什么？（2） 試給岀一組直角三角形的三邊的長，使它的最小邊不小于20，另兩邊的差為2，三邊均為正整數.(二)勾股數 知識鏈接勾股數：滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數.說明： 三個數必須是正整數，例如： 2.5、6、6.5滿足a2+b2=c2，但是它們不是正整數，所以它 們不是夠勾股數. 一組勾股數擴大相

19、同的整數倍得到三個數仍是一組勾股數. 記住常用的勾股數再做題可以提高速度.如：3, 4 , 5; 6, 8, 10 ; 5, 12 ,13 ;同步練習1.下列幾組數中,為勾股數的是()1 1 1A. B. 3 ,4 , 6C. 5 , 12 , 13D . 0.9 , 1.2 , 1.53452.下列各組數中,是勾股數的為()A.1 , 2 , 3B . 4 , 5 , 6C .3 , 4 , 5D . 7 , 8 , 93我們知道以3, 4, 5為邊長的三角形為直角三角形，所以稱 3, 4 , 5為勾股數組，記為(3, 4, 5), 類似地，還可以得到下列勾股數組(8 , 6, 10), (

20、 15 , 8 , 17), ( 24 , 10 , 26)等，請你寫出上述四組勾股數組的規律：4 .有一組勾股數,兩個較小的數為8和15，則第三個數為5 .一個直角三角形的三邊長是不大于10的偶數，則它的周長為6 能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數，試寫岀兩種勾股數，7 .在 Rt ABC 中，/ C=90 , / A、/ B、/ C 所對的邊分別是 a、b、c .(1 )填表:邊 a、 b、 cs三角形的面積與周長的比值l3 4 55 12 138 15 17s(2 )若a+b-c=m ,則猜想一= (用含m的代數式表示，不必證明)l _8.( 1) 一位同學從勾股數“3

21、4 , 5”中發現,32 -1232 1由此他發現最小數是奇數的勾股數的構造方法.你發現了嗎？請你寫出以下幾組勾股數組：5 , , ； 7 , , ； 9 , , ；(2)寫出一般規律的表達方式，(用字母n表示，n為正整數)9 .滿足方程x2+y2=z2的正整數x、y、z ,我們稱它們為勾股數.(1) 已知 x=m2-n2 , y=2mn , z=m 2+n2 ,請證明 x、y、z 是一組勾股數；(2) 求有一個數是16的一組勾股數.10 據我國古代周髀算經記載，公元前 1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接 得到一個直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五后人概括為勾

22、三、股四、弦五”.(1 )觀察：3，4，5; 5，12，13 ; 7，24，25 ;，小明發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過，11當勾=3 時，股 4= _ (9-1 )，弦 5= _ (9+1 );2211當勾=5 時，股 12= _ (25-1 )，弦 13= _ (25+1 );22請你根據小明發現的規律用 n (n為奇數且n3)的代數式來表示所有這些勾股數的勾 、股、弦，并猜想他們之間的相等關系(寫二種)并對其中一種猜想加以證明；(2 )繼續觀察4，3，5 ; 6，8，10 ; 8，15，17 ;，可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過.請你直接用 m (m

23、為偶數且m4 )的代數式來表示他們的股和弦.三勾股定理應用（一）勾股定理的應用知識鏈接（1 ）在不規則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.（2 ）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法， 關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖.領會數形結合的思想的應用.（3）常見的類型： 勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度. 由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和. 勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數學模型解決現實世

24、界的實際問題. 勾股定理在數軸上表示無理數的應用：利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊.同步練習1 .已知小龍、阿虎兩人均在同一地點， 若小龍向北直走160公尺，再向東直走80公尺后，可到神仙百貨，則阿虎向西直走多少公尺后，他與神仙百貨的距離為340公尺？（）A . 100 B . 180 C. 220 D. 2602 .如圖，為了測得湖兩岸 A點和B點之間的距離，一個觀測者在 C點設樁，使/ ABC=9C，并測得AC長20米，BC長16米，貝U A點和B點之間的距離為（）米.A . 25 B . 12 C . 13 D. 4.33 如圖所示，一場暴雨過后，垂直于

25、地面的一棵樹在距地面1米處折斷，樹尖B恰好碰到地面，經測量AB=2米，則樹高為（）A . 5 米 B .3 米 C . （ .5+1 ）米 D . 3 米4. （ 2014?和平區一模）如圖，在兩面墻之間有一個底端在A點的梯子，當它靠在一側墻上時，梯子的頂端在B點，當它靠在另一側墻時，梯子的頂端在D點.已知/ BAC=60，/ DAE=45 .點D到地面的垂直距離DE=3 J2m，則點B到地面的垂直距離 BC為.5. （ 2013?池州一模）如圖是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據圖中標出尺寸（單位：mm ）計算兩圓孔中心 A和B的距離為 .開始時B到墻C的距離則下滑的距離是米.B向外

26、移動的距離相等,是 .6. （ 2014?西湖區一模）如圖，一架 2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的墻 AC 上,7. （ 2014?三門縣一模）如圖，這是某種牛奶的長方體包裝盒，長、寬、高分別為5cm、4cm、12cm，插吸管處的岀口到相鄰兩邊的距離都是1cm，為了設計配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管長度要在3cm至5cm間（包括3cm與5cm，不計吸管粗細及出口的大小），則設計的吸管總長度L的范圍8 . （2014?西寧）課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖.（1 ）求證： ADC CEB ;（2）從三角板的刻度可知 AC=25cm，請你幫小明求岀砌墻磚塊的

27、厚度a的大小（每塊磚的厚度相等）9. （ 2014?廣東一模）如圖，小麗想知道自家門前小河的寬度，于是她按以下辦法測出了如下數據：小麗在河岸邊選取點A，在點A的對岸選取一個參照點 C,測得/ CAD=30 ;小麗沿岸向前走30m選取點B ,并 測得/ CBD=60 請根據以上數據，用你所學的數學知識，幫小麗計算小河的寬度.10 .（ 2013?本溪）校車安全是近幾年社會關注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載某中學九年級數學活動小組進行了測試汽車速度的實驗，如圖，先在筆直的公路I旁選取一點A,在公路I上確定點B、C,使得AC丄I，Z BAC=60，再在AC上確定點D,使得/ BDC=75，測得

28、AD=40米，已知本路段對校 車限速是50千米/時，若測得某校車從 B到C勻速行駛用時10秒，問這輛車在本路段是否超速？請說明理由（參考數據： 2 =1.41 ,3 =1.73 ）_S./（二）平面展開最短路徑冋題知識鏈接（1） 平面展開-最短路徑問題，先根據題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間 的最短路徑一般情況是兩點之間，線段最短在平面圖形上構造直角三角形解決問題.（2）關于數形結合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數和形的結合，所以我們在 解決有關結合問題時的關鍵就是能從實際問題中抽象出數學模型.同步練習21 .如圖，圓柱的底面周長為 6cm ,AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點P是母線BC上一點，且PC= BC 3只螞蟻從A點岀發沿著圓柱體的表面爬行到點P的最短距離是（）6廠A. （4+） cmB. 5cmC . 3、5 cmD. 7cmpAJ -*嚴%t-1c2 如圖，若圓柱的底面周長是30cm，高是40cm，從圓柱底部A處沿側面纏繞一圈絲線到頂部B處做裝飾，則這條絲線的最小長度是（）A . 80cm B. 70cm C . 60cm D . 50cm3.如圖，為了慶祝 五”，學校準備在教學大廳的圓柱體柱子上貼彩帶，已知柱子的底面周長為1m，高為3m .如果要求彩帶從柱子底端的 A處均勻