1、九年級數(shù)學(xué)圓弧、弦、圓心角間的關(guān)系圓周角定理及其推論精選例題和練習(xí)圓周角定理及其推論一、知識點總結(jié)1 圓心角： 頂點在圓心的角注意： 圓心角的底數(shù)等于它所對弧的度數(shù)2 在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距中，只要有一組量相 等，那么另外三組量也分別相等考點一：圓心角，弧，弦的位置關(guān)系 二、弧、弦、圓心角、弦心距間的關(guān)系舉例例 1 如圖，AB 為。O 的弦，點 C D 為弦 AB 上兩點，且 OC=OD 延 長 OC OD分別交。O 于點 E、F,試證明弧 AE=弧 BF.分析：“弧 AE=MBF”J“/ _二/_”把證弧相等轉(zhuǎn)化為證 _證明：例 2 如圖，點 O 是/ BPD 的平分線上的一

2、點，以 O 為圓心的圓和角 的兩邊分別交于點 A、 B 和 C、 D求證： AB=CD 分析：把證明弦相等轉(zhuǎn)化為證明_弦心距 _相等例 3 如圖所示，已知 AB 為。O 的直徑，CD 是弦，且 AB 丄 CD 于點 E， 連接 AC、 OC、 BC求證：/ ACO二/ BCD.（2）若 EB=8cm, CD=24cm,求。O 的直徑.分析：（1）/ ACO 二/_,而/_=/_ .在 Rt/_中，利用勾股定理列方程求例 4 已知，如圖，在/ ABC 中，AD, BD 分別平分/ BAC 和/ ABC,延長 AD 交/ ABC 的外接圓于 E,連接 BE.求證：BE=DE 分析：把證 BE=DE

3、 轉(zhuǎn)化為證/ _ =/ _ 1. 如圖 1,在。O 中，P 是弦 AB 的中點，CD 是過點 P 的直徑，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）2. 如圖 2, BE 是半徑為 6 的圓 D 的 14 圓周，C 點是 BE 上的任意一點， ABD 是等邊三角形，則四邊形 ABCD 的周長 P 的取值范圍是（）2、已知 ABA CD同圓的兩段弧，且 ABA=2CDA,則弦 AB 與 2CD 之間的關(guān)系為（ ）A、AB=2CD B ABV2CD C AB 2CD D 不能確定4、 下列語句中正確的是（）A、相等的圓心角所對的弧相等B、平分弦的直徑垂直于弦C、長度相等的兩條弧是等弧D、經(jīng)過圓心的每一條直線都是

4、圓的對稱軸5、 在一扇形統(tǒng)計圖中，有一扇形的圓心角為60，則此扇形占整個圓的（）6、有下列說法：等弧的長度相等；直徑是圓中最長的弦；相等的圓心角對的弧相等； 圓中 90角所對的弦是直徑； 同圓中等弦所 對的圓周角相等其中正確的有（ ）7、如圖 3, AB 是OO 的直徑，AB 二 AC, BC 交OO 于點 D, AC 交OO 于點 E,ZBAC=45，給出下列五個結(jié)論：/EBC=22.5 :BD=DCAE=2EC劣弧 AE 是劣孤 DE 的 2 倍；AE=BC 其中正確結(jié)論的序號 是（）圖 1圖 2圖 38如圖所示，OO 半徑為 2,弦，A 為弧 BD 的中點，E 為弦 AC 的中點， 且在

5、BD 上，則四邊形 ABCD 的面積為9. 如圖，在OO 中，AB 是直徑，CD 是弦，AB 丄 CD.（1） P 是 CADA一點（不與 C、D 重合），求證：/ CPD 玄 COB（2） 點 P在劣弧 CD 上（不與 C、D 重合）時，/ CP D 與/ COB 有什么數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論.3. 圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對圓心角的一半.1._ 如圖1,ZA 是OO 的圓周角，且/ A= 35 ,則/OBC=_.2. 如圖 2,圓心角/ AOB=100,則/ ACB=3:如圖 3, AB 是OO 的直徑，點 C, D, E 都在OO 上，若/

6、 C?ZD?/ E,則/ A?ZB?o.CF?EOD?4,4:如圖 4,OO 的直徑 CD 過弦 EF 的中點 G,則？D?CO AB G B D 圖 3 A 圖 4 C圖 24圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑注：有直徑時，常添加輔助線，構(gòu)造直徑所對的圓周角，由此轉(zhuǎn)化為 直角三角形的問題考點 2：圓周角定理1. 如圖， ABC 中，/ A=60, BC 為定長，以 BC 為直徑的。O 分別交 AB, AC于點 D, E.連接DE,已知 DE=EC下列結(jié)論： BC=2DE BD+CE=2DE其中一定正確的有（）2. 個圓形人工湖如圖所示，弦 AB 是湖上

7、的一座橋，已知橋 AB 長 100m，測得圓周角/ ACB=45，則這個人工湖的直徑 AD 為（）3. 如圖 AB 是。O 的直徑，A所對的圓心角為 60， BEA 所對的圓 心角為20，且/ AFC=Z BFD,/ AGD二/ BGE,則/ FDG 的度數(shù)為（ ）4. 如圖，AB 是。O 的直徑，C, D 兩點在。O 上，若/ C=40,則/ ABD 的度數(shù)為（）1 題圖2 題3 題4 題5:已知：如圖，AD?是OO?的直徑，/ABC二？30?,則/ CAD=_ .C6:已知OO 中，？C?30, AB?2cm,則OO 的半徑為？cm. 7.已知：圖 190如圖等邊厶 ABC 內(nèi)接于OO,點

8、 P 是劣弧 BC 上的一點（端點除外），延長 BP 至 D,使 BD?AP,連結(jié) CD.(1)若 AP 過圓心 0,如圖，請你判斷 PDC 是什么三角形？并說明理由(2)若 AP 不過圓心 0,如圖， PDC 又是什么三角形？為什么？ 圖 圖8. 如圖 AB 是圓 0 的直徑，C 是圓0 上的一點，若 AC=8cm,AB=10cm,OD 丄 BC 于點 D,求 BD 的長9. 如圖，在。0 中，直徑 AB 與弦 CD 相交于點 P,ZCAB=40,ZAPD=65(1) 求/ B 的大小；(2) 已知圓心 0 到 BD 的距離為 3,求 AD 的長.10.10. 如圖, AB、CD 是。0 的

9、兩條弦，它們相交于點 P,連接 AD、BD,已知 AD=BD=4,PC=6,那么 CD 的長是11. 如圖，已知點 C、D 在以 0 為圓心，AB 為直徑的半圓上,且0C 丄 BD 于點 M , CF 丄 AB 于點 F 交 BD 于點 E, BD=8, CM=2.(1)求。0 的半徑；( 2)求證： CE=BE.13.5. 圓內(nèi)接多邊形：一個多邊形的頂點都在同一個圓上,這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓6. 圓內(nèi)接四邊形：圓內(nèi)接四邊形的對角互補如圖所示，A、B、C 三點在圓 0 上，/ AOC=100,則/ ABC 等于()A. 140 B. 110 C. 120 D.

10、 130 7. 確定圓的條件：不在同一直線上的三個點確定一個圓小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖 5 所示，為配 到與原來大小一樣的圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是()A.第塊 B.第塊C.第塊 D.第塊8. 三角形的外心：三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫做三角形 的外接圓，外接圓的圓心就是三角形三邊的垂直平分線的交點，叫做三角 形的外心.這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形。直角三角形的外心在斜邊上1. 如圖，已知直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過正方形網(wǎng)格的格點A、 B、 C。用直尺畫出該圓弧所在圓的圓心 M 的位置；2. 如圖，已知： ABC 是。0 的內(nèi)接三角形，AD 丄

11、BC 于 D 點，且 AC=5,DC=3 AB=42,則O0 的直徑等于3. 如圖，在 RtAABC 中，/ ACB= 90，AC= 5，CB= 12, AD 是厶 ABC的角平分線，過 A、C、D 三點的圓與斜邊 AB 交于點 E，連接 DEo(1)求證：AC= AE;(2)求厶 ACD 外接圓的半徑。思維導(dǎo)圖如下：B綜合練習(xí)一與/ BCE 相等的角有()一選擇題1.如圖，在OO 中，若圓心角/ AOB=100, C 是上一點，則/ ACB 等于 ()A80 B100 C130 D1402 .已知，如圖,AB為。O 的直徑，AB= AC, BC 交。O 于點 D, AC 交OO于點E,ZBA

12、O 45。 給出以下五個結(jié)論： / EBO22.5。 ： BD =DC;AE= 2EC;劣弧 AE 是劣弧 DE 的 2 倍；AE= BG 其中正確的 有 ()個A. 5B. 4C. 3D. 2第 1 題圖第 2 題圖第 3題圖3. 如圖，設(shè)OO 的半徑為 r，弦的長為 a,弦與圓心的距離為 d,弦 的中點到所對劣弧中點222 的距離為 h,下面說法或等式：r?d?h 4r?4d?a已知 r、a、 d、h中任意兩個，可求其它兩個。其中正確結(jié)論的序號是 ()A.僅B.C.D.4 .如圖，在OO 中，弦 AB 的長是半徑 OAC 為 AB 中點，AB、OC 交于點 P,則四邊形 OACB 是()A

13、.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形5. 如圖所示，AB 是OO 的直徑，AD=DE, AE 與 BD 交于點 C,則圖中第 4 題圖第 5 題圖第 6 題圖6. 如圖所示，AB 是。O 的直徑，弦 CD 丄 AB 于點 E,/ CDB= 30 ,OO，則弦 CD 的長為（）.A. 3cmB. 3cmC.D. 9cm 2二、填空題7.如圖，AB 和 DE 是OO 的直徑，弦 AC/ DE,若弦 BE=3,則弦CE=_ .第 7 題第 9 題8 .半徑為 2a 的OO 中，弦 AB 的長為，則弦 AB 所對的圓周角的度數(shù)是 _.9 .如圖，OO 的直徑 AB 與弦 CD 相交于點 E,若AE=

14、5,BE=1,CD 則/ AED= .10. 如圖所示，AB、CD 是OO 的兩條互相垂直的弦，圓心角/ AOC=130，AD、CB 的延長線相交于 P,則/ P=_ .11. 如圖所示，在半徑為 3 的OO 中，點 B 是劣弧 AC 的中點，連接 AB 并延長到 D,使 BD=AB,連接 AC、BC CD,如果 AB= 2,那么 CD=_.A、2 個B、 3 個D、 5 個（第 1012 題圖）題圖） （第（第 11 題圖）12.如圖，MN 是OO 的直徑，MN = 2,點 A 在OO 上，/ AMN = 30，點 B 為 AN 中點， P 直徑MN 上的一個動點，則 PA+ PB 的最小值

15、是13 .已知OO 的半徑 OA=2，弦 AB、AC 分別為一元二次方程 x2-（ 的兩個根，則/ BAC 的度數(shù)為_ .三、解答題12. 如圖， 在OO 中， AB?BC?CD OB, OC 分別交 AC, BD 于E、F,求證 OE?OF13. 如圖所示，以交OO 于 G， ABCD 的頂點 A 為圓心，AB 為半徑作圓，交 AD，BC 于 E，F(xiàn)， ?延長 BA求證： GE?EF.14. 如圖所示，AB 是OO 的直徑，C 為 AE 的中點，CD 丄 AB 于 D,交 AE于 F,連接 AC,求證：AF= CF.15. 如圖所示，OO 的直徑 AB 長為 6,弦 AC 長為 2,ZACB

16、 的平分線 交OO于點 D,求四邊形 ADBC 的面積.綜合練習(xí)二一、選擇題1、如圖 1,0O 的直徑為 10,圓心 O 到弦 AB 的距離 OM 的長為 3, 那么弦 AB的長是（ ）A4B6C7D 82、如圖 2,0O 的半徑為 5,弦 AB 的長為 8, M 是弦 AB 上的一個動 點,則線段 OM 長的最小值為（ ）A2B 3C4D5圖 1圖 2圖 33、過OO 內(nèi)一點 M 的最長弦為 10 cm,最短弦長為 8cm，則 0M 的 長為（ ）A9cmB6cmC 3cmD41cm4、如圖 3,小明同學(xué)設(shè)計了一個測量圓直徑的工具,標(biāo)有刻度的尺子OA、OB 在 0 點釘在一起，并使它們保持垂

17、直，在測直徑時，把0 點靠在圓周上，讀得刻度 0E=8 個單位，0F=6 個單位，則圓的直徑為（）A12 個單位B10 個單位C1 個單位D15個單位5、如圖 4,00 的直徑 AB 垂直弦 CD 于 P,且 P 是半徑 0B 的中點，CD?6cm,則直徑 AB 的長是（）A如圖 4 如圖 5 如 圖66下列命題中，正確的是（）A.平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑B.平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦C.弦的垂線必經(jīng)過這條弦所在圓的圓心D.在一個圓內(nèi)平分一條弧和它所對的弦的直線必經(jīng)過這個圓的圓心7、 如圖 5，某公園的一座石拱橋是圓弧形（劣弧） ，其跨度為 24 米，拱的半徑為 13 米，則

18、拱高為 （）A. 5 米B. 8 米C. 7 米D. 53 米8、 有 4 個命題，直徑相等的兩個圓是等圓；長度相等的兩條弧是等弧；圓中最長的弦是通過圓心的弦；一條弦把圓分為兩條弧，這 兩條弧不可能是等弧。其中真命題是 （）A. B.C. D.9、 在半徑為 5cm 的圓中，弦 AB/ CD, AB=6cm, CD=8cm，貝 U AB 和CD 的距離是（）A. 7cm B. 1cmC. 5cm D. 7cm 或 1cm10、 如圖 6，EF 是OO 直徑，0E=5cm,弦 AB=8cm，EF 兩點到 MN的距離之和等于 （二，填空題I、A、B 是半徑為 2 的。O 上不同兩點，則 AB 的取

19、值范圍是 _.2 、在同一平面內(nèi)， 1 個圓把平面分成 2 個部分， 2 個圓把平面最多分 成 4個部分， 3 個圓把平面最多分成 _個部分3、 如圖，AB 是。O 直徑，弦 CD 與 AB 交于 E,若_ ,則 CE=DE 只需填寫一個 ）；4、 某圓半徑為 4cm, 弦中點到所對劣弧中點的距離為2cm，則此弦長為 _ ；5、直徑 30cm 的OO 中有兩平行弦 AB 和 CD, AB=18cm, CD=24cm,貝寸 AB 與 CD 的距_ ；6、如圖，OO 的直徑為 10，弦 AB=8, P 是弦 AB 上的一個動點，那么 OP 長的取值范；7、如圖，在半徑為 6cm 的OO 中，兩弦

20、AB 丄 CD 于 E,若 CE=3cmDE=7cm,貝卩 AB=_;8、 如圖，C 是OO 直徑 AB 上一點，過 C 作弦 DE,使 CD 二 CO,若40，則所對圓心角度數(shù)為 _ ； 所對圓心角度數(shù)為9、_ 半徑為 1 的圓中，長度等于的弦所對圓心角是 _度；10、圓的一條弦分圓為 4：5 兩部分，則其中優(yōu)弧所對圓心角為 _度.A12cmB 6cmC8cmD 3cmII、 已知 AB 是OO 的直徑，弦 CD 丄 AB, E 為垂足，CD=8, OE=1,則AB=_12、過OO 內(nèi)一點 M 的最長的弦長為 6cm，最短的弦長為 4cm，則OM 的長等于 cm13、在半徑為 10 的圓中有一條長為 16 的弦，那么這條弦的弦心距等 于三解答題1、如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦 AB 的垂直平分線交弧 AB 于點C,交弦 AB 于點 D。已知：AB?24cm,