1、第二節 正項級數的審斂法教學目的:弄清正項級數的定義；熟練掌握正項級數斂散性的常用判別法，靈活運用判別法判斷所給級數的斂散性.重難點: 靈活運用判別法判斷所給級數的斂散性.教學方法:啟發式講授與指導練習相結合.教學過程:一、正項級數及其審斂法1.正項級數：若級數的各項, 則稱級數為正項級數.2.【定理1】(基本定理): 正項級數收斂有界. 且此時說明：因,于是,可見單調遞增. 故 收斂 收斂 有界. 此時顯然有.（注意：單調有界數列收斂）3.【定理2】(比較判別法): 設與均為正項級數, 且 , , 則 (1) 收斂收斂; (2)發散發散.證明: 由條件知, 那么(1) 收斂有界有界收斂;(2

2、) 發散無界無界發散.另證：若收斂，由（1）證明知必收斂，此與題設發散矛盾，所以假設不成立，即發散.4.【推論】(1) 若級數收斂且存在,時恒有: , (為常數),則級數收斂.（2）若級數發散且存在, 時恒有: ,(為常數),則級數發散.例1 討論級數的斂散性.解: 若由于級數發散. 若 由 所以 , 那么, 可見有界級數收斂.綜上知：級數收斂 .（此結論當定理使用）由級數得結論： 設為正項級數, 那么 若, 且, , 則收斂; 若, 則發散.例2 (1)證明級數是發散的.證明: .(2) 證明級數是發散的.證明：因為，且故 級數是發散的.例3（1）討論級數的斂散性.解：，而級數為收斂的級數所

3、以級數 收斂.（2）討論級數的斂散性.解：，而級數是收斂的幾何級數所以級數 收斂.(3)判斷級數 的斂散性.解 令 為正項級數.又級數為收斂的P級數，所以收斂，由比較判別法知故級數 收斂.（4）討論級數的斂散性.提示：收斂正項級數收斂.（5）判別級數的斂散性.且收斂.例4設.（1）求的值.（2）證明當（常數）時，級數收斂.（1）解 所以（2）證明 因為 ，且時，收斂，故原級數收斂.練習：用比較判別法確定下列級數的斂散性:(1)解該級數為,由,且發散,知原級發散.(2)解該級數為,由,且收斂,知原級數收斂.(3)解由于,這是一個公比為的幾何級數,因而是收斂的,由比較判別法可知原級數收斂.(4)（

4、由函數單調性知所以函數單調遞增，時）解因為,所以,而調和級數發散,由比較判別法可知原級數發散.(5)解由于,是一個公比為的收斂幾何級數，所以由比較判別法可知原級數收斂.(6)解由,收斂,知原級數收斂.例5 討論級數的斂散性.解：1）時由且收斂可得原級數收斂.2）時由且發散可得原級數發散.3）時由且發散可得原級數發散.結論：當通項較容易通過不等式的放縮而找到已知斂散性的級數的通項時，可以選擇比較判別法.利用比較判別法需要對調和級數、幾何級數、P級數的斂散性非常熟悉.5【定理3】(比較判別法的極限形式): 設與均為正項級數,若，則(1)當時,若收斂,則也收斂；(2)當時,若發散,則也發散.（3）)

5、當時,若與有相同的斂散性.結論的另一種敘述方法： (1)當時,與有相同的斂散性；(2)當時,若收斂,則也收斂；(3)當時,若發散,則也發散.證明:(1)由,當時，, 或 ,若收斂,則也收斂；(2)因為 ,，故，,若收斂,則也收斂,可見,若發散,則必發散.補充結論證明提示（1） 當時,由得對時由正項級數的比較判別法得若收斂,且，則收斂.若收斂，且，則收斂；故原結論成立.（2）當時,由比較判別法得結論成立.（3）當時,由無窮大的概念知收斂由正項級數的比較判別法得收斂，故結論成立.【推論】(極限法): 設為正項級數,且,(1)當,時,級數收斂;(2)當,時,級數發散.（證明方法：設為正項級數,其中，

6、利用比較判別法去證）注意：利用比較的極限形式時常需用到極限的等價無窮小概念，時例6（1）判別級數的斂散性.解: 級數發散.（2）：發散，可推出原級數發散.（3）判別級數的斂散性.解: ,且 是收斂的級數（）級數收斂. .（4）討論級數的斂散性.解：令，則 且發散正項級數發散.(5)判別級數的斂散性.解：時，且收斂收斂.（6）：，收斂，推出收斂.(7):提示 令 ，發散原級數發散.例7判定級數的斂散性.解 （1）當時，發散.（2）當時，令，收斂（），所以原級數收斂.另證：令 ,收斂（），所以原級數 收斂.（3）當時，令，收斂（），所以原級數收斂.另證：令 ,收斂（），所以 原級數收斂.綜上所述時

7、發散，時收斂.【結論】：當時，級數的通項能與常用的等價無窮小掛鉤，此時考慮用比較判別法的極限形式進行判定.但必須給出通項比值的極限（與無窮大比較）以及已知級數的斂散性.6【定理4】(比值判別法,達朗貝爾判別法): 設為正項級數,若,則 (1)時, 級數收斂；(2) 或時, 級數發散；(3)時, 級數可能收斂也可能發散.證明: (1) 時, 對, 由于收斂, 故收斂. 級數收斂.(2) 時, 對, 可見 級數發散.(2)時, ,或 同樣 級數發散.(3)時, 級數可能收斂也可能發散.例如: 級數發散, 而級數收斂. 注意到這兩個級數均有.例8（1）(88.3) 討論級數的斂散性.解由 知原級數收

8、斂.（2）討論級數的斂散性.解 令，發散.(3)判斷級數 的斂散性.解 令，由比值判別法知故級數 收斂.(4)解 該級數的一般項，且 所以 ,故 原級數收斂.例9判別級數的斂散性.解: (1) 由于, 此時無法判斷. (2) 但 ，故得知級數收斂.（級數判別法.）另解 令，又令，因為，且收斂，故級數收斂.例10 （1）求.解: 令 由于 , 所以 級數收斂, 于是.（2）證明 .證明：設有級數，因為 又因為 ，所以 級數 收斂，于是.例11 證明級數是收斂的,并估計誤差.證明: (1) 由于, 故級數收斂.(2), .例12 證明級數是收斂的,并估計誤差.證明：(1) 令 由于, 故原級數收斂

9、.(2) .【結論】：對于不便用比較與比較的極限形式完成斂散性判別的級數，應考慮比值判別法，它的特點是用自身的相鄰兩項的后一項與前相鄰一項比值極限判定.但注意極限與1比較大小.但必須注意：比值判別法對級數失效.練習：用比值判別法(達朗貝爾法則)研究下列各級數的斂散性:(1)解 該級數的一般項,因為,所以該級數收斂.(2)解 該級數的一般項,因為,所以原級數收斂.(3)解 該級數的一般項,因為,原級數收斂.(4)解 該級數的一般項,因為所以原級數收斂.(5)解 該級數的一般項,因為,所以原級數收斂.(6)解 該級數的一般項,因為原級數發散.（7）比值法判定：收斂，發散，（：）收斂.（8），收斂原

10、級數收斂.（9）：原級數發散.7【定理5】(根式（柯西）判別法): 設為正項級數, 若，則(1)時, 級數收斂；(2)或時,級數發散；(3)時, 級數可能收斂也可能發散.證明: (1) 時, 對, 由于收斂, 故級數收斂.(2) 時, 對, 可見 級數發散.(2)時, ,或 同樣 級數發散.(3) 時, 級數可能收斂也可能發散.例如: 級數發散, 而級數收斂. 注意到這兩個級數均有.()【結論】：對通項的指數為與n次冪相關的級數可以考慮用根植判別法.例13判別下列級數的斂散性（1）解 令，因為，所以 級數 收斂.（2）解 令，因為，所以 級數 收斂.例14 判別級數的斂散性.解: 由于, 所以級數發散.例15設，并且級數與都收斂，證明 級數 收斂.證明 設則即級數與都是正項級數.因為級數與都收斂，所以級數收斂，而由知，所以由正項級數比較判別法知級數也收斂；而，且收斂，故 級數 收斂.小結：1.正項級數多用比較判別法與比值判別法判斷其斂散性. 2利用比較的極限形式判別時注意運用等價無窮小進行轉化. 3利用比較判別法時注意運用已證明