1、立體幾何大題題型一：基礎(chǔ)題型3(2015·課標(biāo)全國)如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)證明：平面AEC平面AFC；(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值(1)證明如圖所示，連接BD，設(shè)BDACG，連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB1.由ABC120°，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在Rt EBG中，可得BE，故DF.在Rt FDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE

2、，DF，可得EF，從而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，可得EG平面AFC.因為EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)解如圖，以G為坐標(biāo)原點，分別以，的方向為x軸，y軸正方向，|為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz，由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F(xiàn)，C(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為.4. 如圖，在四棱錐P­ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，底面ABCD是直角梯形，ADBC，ADC90°，AD2BC2，CD，平面PAD底面ABCD，若M為AD的中點，E是棱PC上的點 (1)求證：平面EBM平

3、面PAD；(2)若MEC90°，求二面角P­BM­E的余弦值解：(1)證明：M是AD的中點，且AD2，MD1，又ADBC，BC1，四邊形MBCD為平行四邊形ADC90°，DCMB，AMB90°，即BMAD.平面PAD平面ABCD，BM平面ABCD，BM平面PAD.平面EBM平面PAD.(2)PAD是正三角形，M為AD中點，PMAD.又平面PAD平面ABCD，PM平面ABCD.如圖，以M為原點，以MA，MB，MP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系M­xyz，則A(1，0，0)，B(0，0)，P(0，0，)，C(1，0)，(1，

4、)，E在PC上，設(shè)(0<<1)，()(1，)·0，.設(shè)平面MBE的法向量為n(x，y，z)，則·n0，·n0，即令x4，n(4，0，)又平面PMB的一個法向量為n1(1，0，0)，cosn，n1.設(shè)平面PMB與平面EMB所成的角為，則cos .5如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，底面為中點（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面所成角的大小；（3）求點到平面的距離【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【解析】試題分析：（1）由底面，又 平面 ；（2）做輔助線可得是直線與平面 所成的角，計算求得所成的角為；（3）作于點平面 線段的長就是點到平面

5、的距離試題解析：（1）由底面底面是邊長為1的正方形，又，平面 （2）設(shè)與交于點，連結(jié)，則是直線與平面 所成的角，直線與平面所成的角為（3）作于點平面 ，線段的長就是點到平面的距離，點到平面的距離為考點：1、線面垂直；2、線面角；3、點到面的距離.【方法點晴】本題考線面垂直、線面角和點到面的距離，涉及數(shù)形結(jié)合思想，并考查空間想象能力和計算能力，具有一定的綜合性，屬于較難題型第一小題由底面，平面；第二小題做輔助線可得是直線與平面所成的角，計算求得所成的角為；第三小題作于點平面線段的長就是點到平面的距離，計算求得點到平面的距離為6如圖所示的幾何體中，四邊形CDEF為正方形，四邊形ABCD為等腰梯形，

6、ABCD，AC，AB2BC2，ACFB. （1）求證：；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）詳見解析；（2）。【解析】試題分析：（1）根據(jù)題中條件AC，AB2，BC1，所以，所以，又因為已知，且，根據(jù)線面垂直判定定理可知，平面BCF，因為平面BCF，所以，又因為,所以可得；本問重點考查線面垂直判定定理。（2）根據(jù)第（1）問，又由正方形，且，所以平面ABCD，則線段CF為三棱錐F-BCD的高，中，AC，AB2，BC1，所以，所以根據(jù)等腰梯形可得：CBDC1，所以BCD的面積為S ，則可以求出三棱錐F-BCD的體積為 ，由圖可知，而，其中d為點C到平面BDF的距離，又因為，所以，于是可以得到，計

7、算就可以求出d的值，即得到點C到平面BDF的距離。本問主要考查點到面的距離，常用等體積法解題。試題解析：（1）證明：在ABC中，因為AC，AB2，BC1，則AB2AC2BC2，所以ACBC， 又因為ACFB，且FBBCB，所以AC平面FBC.所以,又因為，所以 （2）解 因為AC平面FBC，所以ACFC.因為CDFC，且CDACC，所以FC平面ABCD. 則FC為四面體FBCD的高，在等腰梯形ABCD中可得CBDC1，所以FC1，所以BCD的面積為S 所以四面體FBCD的體積為VFBCDS·FC 又因為，所以由，得點到平面的距離為 5.(2015·湖北)九章算術(shù)中，將底面為

8、長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑在如圖所示的陽馬PABCD中，側(cè)棱PD底面ABCD，且PDCD，點E是PC的中點，連接DE、BD、BE.(1)證明：DE平面PBC.試判斷四面體EBCD是否為鱉臑若是，寫出其每個面的直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，請說明理由；(2)記陽馬PABCD的體積為V1，四面體EBCD的體積為V2，求的值(1)證明因為PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD為長方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD.而DE平面PCD，所以BCDE.又因為PDCD，點E是PC的中點，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個鱉臑，其四個面的直角分別是BCD，BCE，DEC，DEB.(2)解由已知得，PD是陽馬PABCD的高，