1、第一章緒論1填空題(1)如下各數分別作為的近似值，各有幾位有效數字？3.14 的有效位數是的有效位數是的有效位數是(2)設近似數x*有2位有效數字，則其相對誤差限等于(3)已知近似數x*的相對誤差限為，則x*的有效位數至少是(4)在浮點數系F(2, 8, -7, 8)中共有個數(5)現代科學的三大組成部分有：科學實驗、理論研究和科學計算(6)誤差的四種主要來源有：模型誤差、觀測誤差、截斷誤差和舍入誤差，而數值計算僅討論截斷誤差和舍入誤差(7)構造數值穩定的算法，應堅持以下幾個原則：要防止大數“吃掉”小數要控制舍入誤差的傳播和積累要避免兩個相近的數相減要避免絕對值很小的數做分母要減少運算次數，避

2、免誤差積累2利用等價變換或舍棄高階無窮小改變下列表達式，使其計算結果比較精確（其中表示充分大，表示x充分接近0）.(1) ，解原式(2)，解原式3設3個近似數a = 3.65，b = 9.81，c = 1.21均有3位有效數字，試計算ac + b，并估計它的絕對誤差限、相對誤差限和有效數字的位數.解ac + b = 14.2265由a，b，c有3位有效數字，知其絕對誤差da，db，dc均不超過，所以即絕對誤差限為，說明ac + b = 14.2265有3位有效數字，ac + b 14.2所以相對誤差限約等于0.21%4填空題(1) 在浮點數系F(10, 5, -10, 10)中計算，可按以下兩

3、種順序進行：依k遞增的順序計算依k遞減的順序計算其中能獲得較準確結果的方法編號為(2)用四舍五入原則寫出下列各數的具有五位有效數字的近似數：0.7000400 0.70004 0.00063217500 0.00063218 3.0000098 3.0000 314.3569 314.36 (3)用計算機計算n次多項式的值，采用秦九韶算法要做 n 次乘法運算，而直接計算需要作次乘法運算5下表中左邊第一列各數都是由準確值經四舍五入所得的近似數，試分別將它們的絕對誤差限、相對誤差限和有效數字的位數寫入相應的位置：近似數絕對誤差限相對誤差限有效數字的位數310000.50.00001652.3316

4、0.000050.00002150.55040.000050.00009140.0012300.00000050.0004146用秦九韶算法計算當x = -3時多項式的值.解，即要求的多項式的值為-207在浮點數系中，已知，分別計算和，并求各結果與精確結果的絕對誤差.解與精確值比較，二者的絕對誤差分別為8設，試求函數的相對誤差限.解因為，所以的相對誤差限為第二章非線性方程組的數值解法2.2 二分法9填空題(1)用二分法求方程f(x) = 0的近似根，若f(x)在a, b上滿足連續、單調且，則方程在a, b上有且僅有一個實根x*(2) 在二分法的誤差分析中，因為，所以要使成立，只需即可(3)使用

5、二分法求非線性方程f (x) = 0在0, 1內的根，要使誤差小于，至少要二分區間次10用二分法解方程在1, 2內的根，要求精確到小數點后第二位，即誤差不超過解，由，得k+17，所以迭代7次即可計算結果如下表：kakbkxkf(xk)的符號0121.5+111.51.25-21.251.51.375+31.251.3751.3125-41.3151.3751.34375-51.343751.3751.359375-61.3593751.3751.367188所以取方程的近似根為2.3 簡單迭代法11為用簡單迭代法解方程在區間1, 2上的根，構造了如下3個迭代函數：(1)；(2)；(3)若已知x

6、0 = 1.5與精確根鄰近，試分別寫出它們的迭代公式，并用局部收斂的近似替代判別方法分析收斂性，再取其中一種收斂的公式求出近似根（要求精確到小數點后2位）解(1)，因為，此迭代格式收斂；(2)，因為，所以此迭代格式發散；(3)，因為，所以此迭代格式發散用迭代格式（1）計算得x1 = 1.444444444，x2 = 1.479289941，x3 = 1.456976000，x4 = 1.471080583，x5 = 1.462090536，x6 = 1.467790576，x7 = 1.464164381，x8 = 1.46646635512填空題(1)對于方程，寫出簡單迭代法的兩個迭代函數及

7、其相應的迭代格式：迭代函數之一，迭代公式迭代函數之二，迭代公式(2)簡單迭代法的誤差分析，有先驗估計式和事后估計式(3)要使簡單迭代法的精度達到要求，實用中的一個簡單易處理的方法，是根據不等式成立與否來判別是否終止迭代(4)對于方程f(x) = 0的一個簡單迭代公式，其收斂的一個充分條件是：當時，(x)滿足，若已知根的初始值x0在根x*鄰近，則可將局部收斂的判別條件用來替代(5)對于方程f (x) = 0的一個簡單迭代公式，若其產生的序列xk收斂很慢，這時可令新的迭代函數為，要想得到收斂速度更快的迭代函數，k的最好取值是使滿足由于方程的解x*未知，通常取，可得加速迭代公式(6) 對迭代格式xk

8、+1 = (xk)，若(xk)滿足，而那么該格式收斂的階數是2.4 牛頓迭代法13用牛頓迭代法求方程在1, 2上的根(1)寫出該方程的牛頓迭代公式.解，牛頓迭代公式為(2)取初值x0 =1.5，證明該方程的牛頓迭代公式收斂.證明f (1) = -5，f (2) = 41，f (1) f (2) 0當時，所以迭代格式收斂(3)迭代求出方程的近似根xk，要求精度：.解將x0 =1.5代入迭代公式得x1 = 1.373333333，x2 = 1.365262015x3 = 1.365230014，x4 = 1.365230013由于x4滿足，故近似根取作x4 = 1.36523001314選擇題如下

9、說法中，不正確的是（ C ） (A)牛頓迭代法也是一種簡單迭代法 (B) 牛頓迭代法也叫牛頓切線法 (C) 當x0充分接近x*時，弦截法比牛頓法收斂快 (D) 弦截法的優點是不需要計算導數值15填空題(1) 對于方程f(x) = 0，已知其根x*介于a，b之間，初值證明該方程的牛頓迭代公式收斂，需驗證成立的條件為(2)求解方程的牛頓迭代公式為(3) 用牛頓法計算的值，其迭代公式為取x0 = 2，得的各近似值：，精確到的近似值為 2.236067978 (4)對于方程其弦截法迭代公式為16用牛頓迭代法求方程在x0 = 1.5附近的根解迭代格式為將x0 =1.5代入迭代公式計算得x1 = 1.37

10、3626373，x2 = 1.368814819，x3 = 1.368808107，x4 = 1.3688081072.5 弦截法17用快速弦截法求方程在區間1, 2內的根，精確至5位有效數字.解取x0 = 1.4，x1 = 1.6，代人迭代公式，代入計算得f (x0) =-2.168，f (x1) = 1.176，x2 =1.52967； f (x2) = 0.0692609，x3 = 1.51069；f (x3) =-0.216464，x4 = 1.52417；f (x4) =-0.0140970，x5 = 1.52511；f (x5) = 0.000117173，x6 = 1.52510

11、；所以第三章線性方程組的數值解法3.2 線性方程組的直接解法1選擇題當n階方陣A滿足條件（ A ）時，線性方程組Ax = b有唯一解.(A)A非奇異(B)R(A) 0(C)R(A) n(D)以上都不對2填空題(1) 如果一種算法在計算中舍入誤差積累迅速增長，無法控制，造成結果失真，則稱這一算法是數值不穩定的，反之是數值穩定的.高斯消去法是數值不穩定的算法(2)解線性方程組的直接法有消去法與列主元消去法，其中列主元消去法有利于控制誤差的增長，這是因為它能有效克服“小”主元帶來的“大數吃小數”現象，從而有效控制誤差的增長(3)過三點(1, 1)、(2, -1)和(3, 1)的拋物線為y = 2x2

12、 - 8x + 7 (4)用列主元高斯消去法，對方程組的增廣矩陣作初等變換，當進行至時，下一步所選主元為3用高斯消去法求解方程組.解記B = (A, b)，B稱為增廣矩陣，用對增廣矩陣的初等行變換表示消元過程如下回代得x3=8.4，x2=2.6，x1=-10.84用列主元消去法求解方程組（計算結果保留到小數點后3位）.解回代得3.3 線性方程組的直接分解法5判斷題(1) 當矩陣A的各階前主子式都不等于零時，可唯一地分解為一個單位下三角陣L和一個上三角陣U的乘積( )(2)若不計舍入誤差，LU分解法是求解線性方程組的精確方法( )(3) LU分解法中的U就是高斯消去法得到的上三角方程組的系數矩陣

13、( )6用矩陣的LU分解法求解線性方程組Ax= b，其中，解對A做LU分解，先計算U的第一行及L的第一列u11 = a11 = 9，u12 = a12 = 18，u13 = a13 = 9，u14 = a14 = -27l21 = a21 / u11 = 2，l31= a31 / u11 = 1，l41= a41 / u11 = -3然后計算U的第二行及L的第二列u22 = a22 - l21 u12 = 9，u23 = a23- l21 u13 = -18，u24 = a24- l21 u14 = 9l32 = (a32 - l31 u12) / u22 = -2，l42 = (a42- l

14、41 u12) / u22 = 1再計算U的第三行及L的第三列u33 = a33- l31 u13- l32 u23 = 81，u34 = a34- l31 u14- l32 u24 = 54l43 = (a43- l41 u13- l42 u23) / u33 = 最后計算u44u44 = a44- l41 u14- l42 u24- l43 u34 = 9因此解方程組Ly= b，得y = (1, 0, 15, 1)T解方程組Ux= y，得7用LU緊湊格式分解法求解線性方程組Ax= b，其中，解對增廣矩陣進行緊湊格式分解，有所以，解方程組Ux= y，得3.4 特殊線性方程組的解法8選擇題(1

15、) 當矩陣A滿足條件（ C ）時，解方程組Ax = b的LU分解法就可用改進的平方根法（或稱改進的喬累斯基分解法）來求解，從而減少計算量.(A)A對稱正定(B)A的所有順序主子式都大于零(C)選項(A)、(B)結合(D)A非奇異(2) 當方程組Ax = b的系數矩陣為三對角矩陣時，由對A的LU分解公式，可得到求解三對角方程組的（ B ）(A)喬累斯基分解法(B)追趕法(C)LDLT分解法(D)以上選項都不對9填空題：用改進的平方根法（或改進的喬累斯基分解法）求解線性方程組對其增廣矩陣進行如下的緊湊格式分解：得到等價的三角形方程組為，回代解得10用追趕法求解方程組解求得q1 = 2，q2 = 3

16、/2，q3 = 4/3，q4 = 5/4，q5 = 6/5；p2 = 1/2，p3 = 2/3，p4 = 3/4，p5 = 4/5解方程組Ly= f，得y = (1, -1/2, 1/3, -1/4, 6/5)T解方程組Ux= y，得x = (1, -1, 1, -1, 1)T3.5 向量與矩陣的范數1填空題(1)設x = (1, -1, 2)T，那么，(2) 設矩陣，那么，(3) 矩陣，則A的條件數(4) 已知A為n階對稱矩陣，且(A) = 3，那么(5) 線性方程組的性態是衡量方程組的解對擾動（誤差）的敏感程度的，若較小的擾動帶來解的較大變化，那么稱方程組是病態的，否則稱為良態的一般如果系

17、數矩陣A的條件數cond(A) 遠遠大于1 時，方程組是病態的.(6)對任一n維向量x =(x1, x2,xn)T，不同的范數，其值不同，但總滿足下面關系式2判斷題(1)對任何非奇異矩方陣A，都有cond(A) 1.( )(2) 對任何非奇異矩方陣A的任一范數，都有(A) |A|.( )(3) 若線性方程組的系數矩陣A的各元素間量級差異很大且無一定規律，或者某些行（列）近似線性相關，則方程組可能為病態的( )(4)方程組的性態是其固有性質，任何方法都不可能改變其病態程度( )3設矩陣，求|A|p ( p = 1, 2, )和(A)解因為A為對稱矩陣，因此，1 = 1，2 = 4，3 = 16，

18、(ATA) = 16，因此由于A為對稱矩陣，所以4證明：對于矩陣A范數，如果，則證明移項得兩邊同時取范數得移項得因為，從而有5填空題(1)已知線性方程組Ax= b為給右端項b一擾動，取無窮大范數，利用公式估計解x的相對誤差，求得，從而給系數矩陣A一擾動，取無窮大范數，利用公式估計解x的相對誤差，求得從而(2)希爾伯特（Hilbert）矩陣（又稱坡度陣）是有名的病態陣，當n = 3時，且隨著階數的增大，條件數迅速增大3.6 線性方程組的迭代解法6給定線性方程組(1) 分別寫出雅可比和高斯-塞德爾迭代格式，并判斷它們的收斂性.解雅可比迭代格式為，所以雅可比迭代格式發散高斯-塞德爾迭代格式為，所以高

19、斯-塞德爾迭代格式收斂 (2) 取初值x (0) = (0, 0, 0)T，用(2)中收斂的迭代格式求解（保留到小數點后4位）解 (2)中賽德爾迭代格式收斂取初值x(0)=(0, 0, 0)T，迭代計算得x(1) = (0.000 0, 3.000 0, -1.000 0)T， x(2) = (-1.000 0, 5.000 0, -1.500 0)T， x(3) = (-1.750 0, 6.250 0, -1.750 0)T， x(4) = (-2.250 0, 7.000 0, -1.875 0)T，（精確解為x = (-3, 8, -2)T）7填空題(1) 將方程組中方程的順序由“-”

20、調整為-能使雅可比和高斯-塞德爾迭代收斂(2) 用高斯-塞德爾迭代法求解線性方程組那么迭代格式收斂（填“收斂”或“不收斂”）(3) 解線性方程組的高斯-賽德爾迭代格式為8判斷題(1) 對線性方程組Ax = b構造的雅可比、高斯-塞德爾和超松弛迭代格式的收斂性僅與方程組的系數矩陣A有關，而與迭代初值x(0)無關( )(2) 高斯-塞德爾迭代格式一定比雅可比迭代格式收斂速度快( )(3) 若方陣A嚴格對角占優，則A非奇異( )(4) 對收斂的迭代格式，在迭代計算的過程中，不怕中途出錯( )9對方程組用超松弛迭代（取 = 1.1）求解，取初值x(0) = (0, 0, 0)T，并精確到小數點后3位.

21、解 = 1.1時迭代格式為初值x(0) = (0, 0, 0)T，迭代計算得x(1) = (0.550 0, 3.135 0, -1.025 7)Tx(2) = (2.219 3, 3.057 4, -1.965 8)Tx(7) = (2.000 0, 3.000 0, -1.000 0)T第四章插值與擬合4.2 拉格朗日插值1填空題(1) 過點(0, 2)、(1, 1)、(2, 2)的不超過2次的多項式為(2) 設xi (i = 0, 1, 2, , n)為n+1個互異的插值節點，li (x)為相應的Lagrange插值基函數，則(3) 設xi = i (i = 0, 1, 2, , n)為

22、n+1個互異的插值節點，li(x)是相應的n次Lagrange插值基函數，則(4) 設li(x)是對n+1個點xi (i = 0, 1, 2, , n)進行Lagrange插值的基函數，則(5)如果記R(x)為過兩點(x0, y0)、(x1, y1)的插值多項式P1(x)的余項，則R(x)的誤差限為(6)多項式和都能插值下表xi1234yi21647這是否違背插值多項式的唯一性？否（填“是”或“否”）2給定數據表x0235f (x)1-3-42用拉格朗日插值方法求出f (x)的不超過3次的插值多項式L3(x)解先構造基函數如下所以拉格朗日插值多項式為3將下面計算過程補充完整給定函數sinx的數

23、值表如下x0.320.340.36sinx0.3145670.3334870.352274用線性插值和拋物線插值計算sin0.3367的值，并利用插值余項給出計算結果的誤差限取x0 = 0.32，y0 = 0.314567；x1 = 0.34，y1 = 0.333487；x2 = 0.36，y2 = 0.352274(1) 線性插值：由于0.320.336 70.34，在區間x0, x1上進行插值，求得，從而由于，因而 (0.32, 0.34 )(2) 拋物線插值：求得 393.20875(x-0.34)(x-0.36) -833.7175(x-0.32)(x-0.36) ， 440.3425

24、(x-0.32)(x-0.34) 從而由于，因而 (0.32, 0.36 )4已知多項式通過下列點：x-2-10123p(x)315111161試構造一多項式q(x)且通過下列各點：x-2-10123q(x)31511111解設r(x) = p(x) - q(x)，則r(x)滿足x-2-10123r(x)0000060由拉格朗日插值方法知于是4.3 差商與牛頓插值5填空題(1)設f (x) = an x n +1(an 0)，則(2)設f (x) = x2+2x，則，(3) 對函數表x-1012f (x)1-2510求得其各階差商如下表xf (x)一階差商二階差商三階差商-1012( 3 )1

25、-2510( 25 )-375( 15 )5-1( 5 )-2( 2 )( 1 )那么過這四個點的牛頓插值多項式為對新增節點x = 3，f (x) = 25，請完成上面的差商計算表；并寫出過這五個節點的牛頓插值多項式6判斷題(1)交換差商f x0, x1, xk中的任意兩個節點，差商的值改變符號( )(2) 若在原有數據上增加一組數據，則使用牛頓插值的插值多項式只增加一項，不必重復計算所有系數( )(3)對同一個插值問題，其牛頓插值多項式與拉格朗日多項式相同，且兩種余項也相同.( )7給定數據表x0235f (x)1-3-42(1)求出f (x)的不超過3次的插值多項式.解計算均差表如下xf(

26、x)一階均差二階均差三階均差四階均差012-3-23-4-11/35234/31/54-130-2/3-13/60所以牛頓插值多項式為(2)若增加一組數據 (4, -1)，求f (x)的不超過4次的插值多項式，并求f (1.5)的近似值解若增加一組數(4, -1)，則在上述均差表增加一行一列（見上表雙下劃線）f (1.5)N4(1.5) = -1.7188618完成下面計算過程已知單調連續函數y = f (x)的如下數值表x00.20.40.60.8f (x)0.19950.39650.58810.77210.9461用反插值插值方法求方程f (x) = 0.4500在(0.00, 1.80)

27、內的根的近似值將y作為自變量，采用牛頓插值，完成下面均差表f(xi)xi一階均差二階均差三階均差四階均差0.199 50.396 50.588 10.772 10.946 100.20.40.60.8( 0.015228 )( 1.043841 )( 1.086957 )( 1.149425 )( 0.073631 )( 0.114792 )( 0.174492 )( 0.071884 )( 0.108624 )( 0.049209 )從而得到4次插值多項式為 1.015228 (y - 0.1995)+ 0.073631 (y - 0.1995)(y - 0.3965)+ 0.071884

28、(y - 0.1995)(y - 0.3965)(y - 0.5881)+ 0.049209 (y - 0.1995)(y - 0.3965)(y -0.5881 )(y - 0.7721)于是方程f (x) = 0.4500的根為4.5 分段低次插值9對函數在區間1, 2上作等距分段線性插值，怎樣選擇步長h，才能使插值誤差小于？解，由得第五章數值積分與數值微分5.2 牛頓-柯特斯求積公式1填空題(1)牛頓-柯特斯公式的系數和(2)在牛頓-柯特斯求積公式中，當系數有負值時，公式的穩定性不能保證，所以實際應用中，當時，牛頓-柯特斯公式不使用(3)計算積分，取4位有效數字，用梯形公式求得的近似值為

29、用辛普森公式求得的近似值為2判斷題(1) 牛頓-柯特斯求積公式的系數和將隨著點數的增加而增大( )(2)牛頓-柯特斯公式計算時，節點取得越多，則精度越高( )(3) 用辛普森求積公式，其誤差為( )(4)用梯形求積公式，其誤差為( )3試用n = 1，2，3的牛頓-柯特斯公式計算積分解當n = 1時，從而有當n = 2時，從而有當n =3時，從而有5.3 復合求積公式4填空題(1)用變步長梯形求積法的計算過程中，要判斷計算結果的精度是否滿足，由得出的近似判別條件是(2) 變步長梯形求積公式中，設n等分時的步長為h，這時的積分值為Tn，步長減半后的積分值為T2n，那么Tn和T2n之間的關系式為5

30、選擇題(1)當在區間a, b上具六階連續導數，充分小時，分別用復合梯型求積公式Tn、復合辛普森求積公式Sn和復合柯特斯求積公式Cn，計算定積分，其精確度從高到低，依次是（ A ）(A) Tn，Sn，Cn(B)Tn，Cn，Sn(C)Sn，Tn，Cn(D)Cn，Sn，Tn(2)用復合梯形公式Tn計算定積分，要使誤差，n應該不小于（ B ）(A)5 (B)10(C) 20(D) 50(3)用復合辛普森公式Sn計算定積分，要使誤差，應該不小于（ B ）(A)1 (B)2(C) 5(D) 10(4)用復合柯特斯公式Cn計算定積分，要使誤差，應該不小于（A）(A)1 (B)2(C) 3(D) 406用n

31、= 4的復合辛普森公式S4積分解=3.141592507用變步長梯形求積法計算積分，要求精確至3位有效數字（提示：先換元化為常義積分后再計算）解x = 0為被積函數的瑕點，作變換，積分化為由復化梯形公式（這里）計算可得：T1=1.5，T2=1.55，T4=1.5656，T8=1.5695至此，有，所以5.4 龍貝格求積方法8填空題(1)辛普森求積公式經過龍貝格加速得到的牛頓-柯特斯公式(2)龍貝格求積方法需要用到的4個公式分別為(3)龍貝格求積方法的三個加速公式分別是根據梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式的導出的.(4)用龍貝格求積法求的近似值，求得k = 1時：k = 2時：，k = 3時：，

32、k = 4時：，；9判斷題(1)對n = 4的牛頓-柯特斯求積公式作龍貝格加速，所得公式仍屬牛頓-柯特斯求積公式序列 ( )(2)龍貝格求積公式是一種要將積分區間等分的求積公式. ( )10用龍貝格算法計算積分，要求誤差不超過（其準確值為）解，由于|R2R1| 0.00001，已精確到小數點后5位，故可取5.6 數值微分11填空題(1) 由函數在一些離散點上的來推算出函數在某些點處的導數近似值，這類問題稱為數值微分.(2)中心差分公式的截斷誤差為(3)二階導數的中心差分公式為其截斷誤差為(4)已知,取步長h = 0.01，由向前差商公式得由向后差商公式得由中心差商公式得12判斷題(1) 當插值

33、多項式收斂于時，不能保證一定收斂于 ( )(2)用差商公式近似計算函數的導數值，步長越小，則誤差越小( )(3)用兩點公式求得的一階導數在x0、x1處的值完全相同，誤差也完全相同. ( )13已知以下數據x0.010.020.030.04f (x)0.01210.01240.01290.0139若取h = 0.01，用中心差分公式計算函數在0.02，0.03處的一階導數及在0.02處的二階導數解由中心差分公式，有第六章常微分方程的數值解法6.2 歐拉法和改進的歐拉法1填空題(1)對初值問題若函數f ( x, y )滿足條件，則解y = y ( x )存在且唯一(2)在區間0, 1上用歐拉方法求解初值問題取步長h = 0.1，其差分格式為(3) 初值問題的梯形公式是階方法，是式的方法（填“顯式”或“隱式”）(4)對于微分方程初值問題的差分方法，如果當h0時，其整體階段誤差ei 0時，則該方法是收斂的，歐拉方法是收斂的方法（填“收斂”或“不收斂”）(5)改進的歐拉方法的整體截斷誤差為O(h2)，局部截斷誤差為2用歐拉公式計算初值問題的解函數y = y (x)在x = 0.1，0.2，0.3處的近似值（保留4位小數）解由顯式歐拉公式有計算可得3完成下面計算過程用改進的歐拉公式求初值問題的數值解（保留6位小數）取h = 0.1，由于改進的歐拉公式為因此該問題的計算格式為計算結果填入下