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文檔簡介

1、矩陣分析復習題1.設是維線性空間的一個維子空間，是的一組基，證明這組向量必可擴充為整個空間的基。即，在中必可找到個向量，使得是的一組基。2證明：如果是線性空間的子空間，那么它們的和也是的子空間.3.設是線性空間的子空間，證明：.4.設，.，.求（1）的基與維數；（2）的基與維數.5.設是線性空間的兩個子空間，證明以下論斷等價：（1）是直和；（2）零向量分解式唯一（即，若則.）；（3）；（4）（）=（）+ （）.6.設線性變換在兩組基與下的矩陣分別為和，從基到基的過渡矩陣為,證明：.7.在線性空間中，取兩組基 （） （）為微分算子。（1）求由（）到（）的過渡矩陣；（2）求線性變換在兩組基下的矩陣

2、。8.設（1）求矩陣的特征值與特征向量；（2）矩陣是否與對角矩陣相似？如與對角矩陣相似，寫出矩陣，使為對角形。9.設線性變換在基下的矩陣為,求線性變換的特征值與特征向量.10.在線性空間中，設線性變換為.求微分變換D的特征多項式，并證明D在任何一組基下的矩陣都不可能是對角矩陣.11.設是一個n階正定矩陣，而，在中定義內積為，(1)試證明在這個定義下，為歐氏空間;(2)求基的度量矩陣.12.在閉區間上的所有實連續函數所構成的線性空間中，對于函數定義內積為證明在這個定義下為歐氏空間。13.設，為的根. （1）求的特征值與特征向量；（2）在什么情況下矩陣與對角矩陣相似？如與對角矩陣相似，寫出矩陣，使為對角形；（3）求的特征矩陣的不變因子，并寫出特征矩陣的Smith標準形。14.求矩陣 的Jordan標準形。15.設函數矩陣，其中，求，.16.設二次型，其中，,，且,求.17.證明。其中，與分別是中向量的范數與范數。18.設是上的一種向量范數，給定矩陣，且矩陣的個列向量線性無關，對任意，規定 ，證明是中的向量范數。19.設是n維線性空間,是的一組基，對任意，規定，證明：是中元素的一種范數.20.證明：在有限維線性空間中，若序列按某種范數收

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