1、第二章第二章平面問題的基本理論平面問題的基本理論本章將系統地平面問題的基本理論基本方程和邊本章將系統地平面問題的基本理論基本方程和邊界條件，及兩種基本解法，是彈性力學中最具典型性和界條件，及兩種基本解法，是彈性力學中最具典型性和代表性的內容，是后續內容學習的基礎。要求掌握的內代表性的內容，是后續內容學習的基礎。要求掌握的內容如下：容如下：1 1、兩類平面問題的定義；、兩類平面問題的定義；2 2、關于一點應力狀態的分析；、關于一點應力狀態的分析； 3 3、平面區域內的平衡微分方程、幾何方程與物理、平面區域內的平衡微分方程、幾何方程與物理方程；方程；4 4、平面邊界上的應力和位移邊界條件的建立，及

2、、平面邊界上的應力和位移邊界條件的建立，及圣維南原理的應用；圣維南原理的應用；5 5、按位移求解方法和按應力求解方法；、按位移求解方法和按應力求解方法；本章學習指南本章學習指南為了牢固地理解和掌握平面問題的基本理論，為了牢固地理解和掌握平面問題的基本理論，要求做到：要求做到：1 1、清楚地了解上述有關問題的提出與分析的、清楚地了解上述有關問題的提出與分析的方法；方法；2 2、自己動手推導公式，以加深理解；、自己動手推導公式，以加深理解；3 3、及時對內容進行總結，掌握其要點；、及時對內容進行總結，掌握其要點；本章學習指南本章學習指南q 平面應力問題與平面應變問題平面應力問題與平面應變問題q 平

3、面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點應力狀態分析平面問題中的一點應力狀態分析q 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應用圣維南原理及應用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應力求解平面問題及相容方程按應力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應力函數常體力情況下的簡化與應力函數主要內容主要內容2.1 2.1 平面應力與平面應變問題平面應力與平面應變問題 任何一個彈性體是空間物體，外力為空間力系。實際的任何一個彈性體是空間物體，外力

4、為空間力系。實際的彈性力學問題都是空間問題。彈性力學問題都是空間問題。空間問題的簡化與近似：當彈性體具有特殊形狀、承受特空間問題的簡化與近似：當彈性體具有特殊形狀、承受特殊的外力與約束時，可進行簡化，使得分析與計算工作量大殊的外力與約束時，可進行簡化，使得分析與計算工作量大大減少，所得結果仍然可以滿足工程精度要求。大減少，所得結果仍然可以滿足工程精度要求。平面問題平面問題哪些問題可簡化為平面問題？哪些問題可簡化為平面問題？1 1、平面應力問題、平面應力問題平面應力問題條件：平面應力問題條件：很薄的等厚度薄板，厚度很薄的等厚度薄板，厚度為為h遠遠小于結構另外兩個方遠遠小于結構另外兩個方向的尺度。

5、其所受體力、面力向的尺度。其所受體力、面力和約束均平行于板面，即只是和約束均平行于板面，即只是Oxy面內的量，并沿厚度方向面內的量，并沿厚度方向不變。薄板的兩個表面不受任不變。薄板的兩個表面不受任何外力和約束的作用。何外力和約束的作用。1 1、平面應力問題、平面應力問題 構件幾何特征：構件幾何特征：很薄的等厚度薄板。很薄的等厚度薄板。厚度為厚度為h遠遠小于結構另外兩個方向的尺度遠遠小于結構另外兩個方向的尺度。薄板的中面為平面。薄板的中面為平面。 表面面力邊界條件：表面面力邊界條件：表面不受外力作用表面不受外力作用外力與約束：外力與約束：其所受體力、面力和約其所受體力、面力和約束均平行于中面束均

6、平行于中面Oxy面內，并沿厚度方面內，并沿厚度方向向Oz不變。而且薄板的兩個表面不受外不變。而且薄板的兩個表面不受外力作用。因此應力沿厚度方向不變。力作用。因此應力沿厚度方向不變。因此只剩下因此只剩下Oxy面內的三個應力分量面內的三個應力分量，且只是坐標，且只是坐標x, y的函的函數，沿厚度方向數，沿厚度方向Oz不變，即不變，即 應力分量分布特點：應力分量分布特點：由于板很薄，外力沿厚度均勻分布，由于板很薄，外力沿厚度均勻分布，同時應力沿厚度還是連續分布的，因此應力分量也沿厚度均勻同時應力沿厚度還是連續分布的，因此應力分量也沿厚度均勻分布，所以板中各點均有：分布，所以板中各點均有：1 1、平面

7、應力問題、平面應力問題應變分量分布特點：應變分量分布特點：應變分量也只是坐標應變分量也只是坐標x, y的函數，沿厚度的函數，沿厚度方向方向Oz不變。且不變。且g gzx= =g gzy=0=0，但但e ez00，這表明薄板變形時，兩底面這表明薄板變形時，兩底面將發生畸變。但是由于平板很薄，這種畸變也是很小的。將發生畸變。但是由于平板很薄，這種畸變也是很小的。1 1、平面應力問題、平面應力問題平面應力問題小結平面應力問題小結：1 1、平面應力問題，就是只有平面應力分量、平面應力問題，就是只有平面應力分量（s sx，s sy和和t txy）存在，且僅為）存在，且僅為x、y的函數的彈性的函數的彈性力

8、學問題。力學問題。2 2、厚度較薄的淺梁和深梁、受上部荷載及、厚度較薄的淺梁和深梁、受上部荷載及自重的墻、平板壩的平板支墩等，都屬于平面應自重的墻、平板壩的平板支墩等，都屬于平面應力問題。力問題。2 2、平面應變問題、平面應變問題平面應變問題條件：平面應變問題條件：彈性體為等截面的很長柱彈性體為等截面的很長柱體，體力、面力和約束條件均體，體力、面力和約束條件均平行于橫截面且不沿長度方向平行于橫截面且不沿長度方向變化，即只有變化，即只有Oxy平面內的體平面內的體力、面力和約束，且沿力、面力和約束，且沿z方向不方向不變化。變化。2 2、平面應變問題、平面應變問題 構件幾何特征：構件幾何特征：具有很

9、長縱向具有很長縱向軸的柱形體，橫截面大小和形狀沿軸的柱形體，橫截面大小和形狀沿軸線長度不變軸線長度不變 位移失量分布特點：位移失量分布特點：只沿只沿x和和y方向移動，沿軸線方向方向移動，沿軸線方向位移為位移為0 0，即，即u=u(x,y)v=v (x,y) w=0外力與約束：外力與約束：體力、面力和約束體力、面力和約束與縱向軸垂直，即平行于橫截面，與縱向軸垂直，即平行于橫截面，并且沿長度不變；柱體的兩端受固并且沿長度不變；柱體的兩端受固定約束；定約束；2 2、平面應變問題、平面應變問題應變分量分布特點：應變分量分布特點：應變分量為坐標應變分量為坐標x, y的函數，沿的函數，沿z方向為方向為0

10、0，即，即e ez= =g gxz= =g gyz=0=0，只剩下只剩下oxy平面內的三個應平面內的三個應變分量。變分量。應力分量分布特點：應力分量分布特點：應力分量也是坐標應力分量也是坐標x, y的函數，的函數，沿沿z方向的切應力為方向的切應力為0 0，即，即t txz= =t tyz=0=0。由于沿由于沿z方向的伸縮方向的伸縮要受到約束，故要受到約束，故s sz00。2 2、平面應變問題、平面應變問題平面應變問題小結平面應變問題小結：1 1、平面應變問題，就是只有平面應變分量、平面應變問題，就是只有平面應變分量（e ex，e ey和和g gxy）存在，且僅為）存在，且僅為x、y的函數的彈性

11、的函數的彈性力學問題。力學問題。2 2、擋土墻、很長的管道和隧洞問題，盡管、擋土墻、很長的管道和隧洞問題，盡管不是無限長，但對于離開兩端較遠處，可按平面不是無限長，但對于離開兩端較遠處，可按平面應變問題來分析計算，結果在工程上是可用的。應變問題來分析計算，結果在工程上是可用的。平面問題的總結平面問題的總結名稱名稱平面應力問題平面應力問題平面應變問題平面應變問題未知量未知量已知量已知量未知量未知量已知量已知量應力應力s sx、s sy、t txys sz= t txz = t tyz = 0s sx、s sy、t txys sz 0 t txz = t tyz =0應變應變e ex、e ey、g

12、 gxye ez 0 g gxz = g gyz = 0e ex、e ey、g gxye ez = g gxz = g gyz = 0位移位移u、vw 0u、vw= 0外力外力體力、面力和約束作用于體力、面力和約束作用于oxy面內，且沿板厚均布面內，且沿板厚均布體力、面力和約束作用于體力、面力和約束作用于oxy面內，且沿面內，且沿z軸不變軸不變形狀形狀等厚度薄板等厚度薄板等截面長柱體等截面長柱體平面問題的總結平面問題的總結平面問題特點：平面問題特點：1 1、基本未知量為、基本未知量為8 8個，均為平面（個，均為平面（oxy面）內的面）內的物理量；物理量；2 2、所有未知量僅是、所有未知量僅是x

13、和和y兩個變量的函數；兩個變量的函數；3 3、相對于空間問題，其基本物理量、基本方程、相對于空間問題，其基本物理量、基本方程均減少，使得它比一般空間問題簡單得多；均減少，使得它比一般空間問題簡單得多； 4 4、主要有兩類：平面應力、平面應變、主要有兩類：平面應力、平面應變例例 題題例例1 1：（本章習題：（本章習題2 21 1）如果某一問題中，如果某一問題中，s szt tzxt tzy=0，只存在平面應，只存在平面應力分量力分量s sx，s sy和和t txy ，且它們不沿，且它們不沿z方向變化，僅為方向變化，僅為x、y的函數，試考慮此問題是否就是平面應力問題？的函數，試考慮此問題是否就是平

14、面應力問題？例例2 2：（本章習題：（本章習題2 23 3）如圖如圖211，試分析說明，在不受任何面力作用，試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，其應力狀態接近于平的空間體表面附近的薄層中，其應力狀態接近于平面應力的情況。面應力的情況。例例 題題例例3、如圖所示的幾種受力體是否是平面問題？若是，則、如圖所示的幾種受力體是否是平面問題？若是，則是平面應力問題，還是平面應變問題？是平面應力問題，還是平面應變問題？平面應力問題平面應力問題薄板彎曲問題薄板彎曲問題平面應變問題平面應變問題空間問題空間問題空間問題空間問題q 平面應力問題與平面應變問題平面應力問題與平面應變問題q 平面問

15、題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點應力狀態分析平面問題中的一點應力狀態分析q 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應用圣維南原理及應用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應力求解平面問題及相容方程按應力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應力函數常體力情況下的簡化與應力函數主要內容主要內容2.2 2.2 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程 平面問題的平衡微分方程是考慮平面問題的靜力學條平面問題的平衡微分方程是考慮平面問題

16、的靜力學條件，根據彈性體內微分單元的靜力平衡條件來推導出應力件，根據彈性體內微分單元的靜力平衡條件來推導出應力分量與體力分量之間的關系。分量與體力分量之間的關系。如圖，在彈性體內任一點如圖，在彈性體內任一點取一微小的正平行六面體，其取一微小的正平行六面體，其x、y方向的尺寸分別為方向的尺寸分別為dx、dy，為計算方便，設它在為計算方便，設它在z方向方向的尺寸為單位長度的尺寸為單位長度1 1。平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程由于六面體是微小的，各面上的應力可認為由于六面體是微小的，各面上的應力可認為是均勻分布，且作用于對應面的中心。是均勻分布，且作用于對應面的中心。同理，六面體所受的

17、體力也可以認為是均勻同理，六面體所受的體力也可以認為是均勻分布，且作用于它的體積的中心。分布，且作用于它的體積的中心。一般而論，應力分量是變量一般而論，應力分量是變量x和和y的函數，作用于左右兩對面或的函數，作用于左右兩對面或上下兩對面的應力分量不完全上下兩對面的應力分量不完全相同，具有微小的差量。相同，具有微小的差量。平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程2 2、由通過中心由通過中心C C點并平行于點并平行于z軸軸的直線為轉軸，列出力矩的平衡的直線為轉軸，列出力矩的平衡條件，并利用小變形假設，可推條件，并利用小變形假設，可推導出導出“切應力互等定理切應力互等定理”，即，即t txy=

18、=t tyx3 3、由由x軸和軸和y軸兩個方向的平面軸兩個方向的平面力系的平衡條件，可推導出力系的平衡條件，可推導出“平平衡微分方程衡微分方程”，即，即0000yxyyxyxxyxfxyfyxFFtsts1 1、利用連續性假設，根據利用連續性假設，根據Taylor級數展開式，略去高級數展開式，略去高價項，可求出各面上的應力價項，可求出各面上的應力分量。分量。平衡微分方程：注意事項平衡微分方程：注意事項 列平衡條件時，應力和體力應分別乘以其作用面積列平衡條件時，應力和體力應分別乘以其作用面積和體積，才能得到合力；和體積，才能得到合力； 應用了兩個基本假設：連續性假設（應用了兩個基本假設：連續性假

19、設（不同面間應力不同面間應力分量采用泰勒級數展開分量采用泰勒級數展開）和小變形假設（）和小變形假設（受力變形前后受力變形前后微分體尺寸不變微分體尺寸不變），這也是其適用的條件。），這也是其適用的條件。 平衡微分方程中各個量的量綱都相同，其中第一式平衡微分方程中各個量的量綱都相同，其中第一式的各項為的各項為x方向的力，第二項為方向的力，第二項為y方向的力；方向的力；平衡微分方程：注意事項平衡微分方程：注意事項 平面應力問題和平面應變問題的平衡微分方程相平面應力問題和平面應變問題的平衡微分方程相同同( (平面應變問題中的正應力平面應變問題中的正應力s sz不影響方程的推導不影響方程的推導) ) 平

20、面問題的平衡微分方程有平面問題的平衡微分方程有2 2個方程，但包含有個方程，但包含有3 3個未知函數，只根據靜力學條件無法定解，即是超靜個未知函數，只根據靜力學條件無法定解，即是超靜定的。要想定解，還必須考慮幾何學和物理學方面的定的。要想定解，還必須考慮幾何學和物理學方面的條件。條件。 平衡微分方程表示了平面區域內任意點的微分單平衡微分方程表示了平面區域內任意點的微分單元體的平衡條件，必然保證任一有限大部分和整個區元體的平衡條件，必然保證任一有限大部分和整個區域是滿足平衡條件的，因而所考慮的靜力學條件是嚴域是滿足平衡條件的，因而所考慮的靜力學條件是嚴格和精確的；格和精確的；例題例題例例2.2.

21、12.2.1：如圖所示單位寬度薄板懸梁，跨度為如圖所示單位寬度薄板懸梁，跨度為l，其其上表面承受三角形分布載荷作用，體力不計。試根據上表面承受三角形分布載荷作用，體力不計。試根據材料力學中的應力表達式，由平衡微分材料力學中的應力表達式，由平衡微分方程導出另兩個應力分量。方程導出另兩個應力分量。yxlhq330 x2s例題例題0)(32230yxyyxyfxyxfyxlhqtst解解：（：（1 1）將將s sx代入平衡微分方程第一式代入平衡微分方程第一式02330 xyxxxfyxyxlhqtss)()(2330 xgyxfxylhqys)(32230 xfyxlhqxyt （2 2）將將t t

22、xy代入平衡微分方程第二式代入平衡微分方程第二式q 平面應力問題與平面應變問題平面應力問題與平面應變問題q 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點應力狀態分析平面問題中的一點應力狀態分析q 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應用圣維南原理及應用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應力求解平面問題及相容方程按應力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應力函數常體力情況下的簡化與應力函數主要內容主要內容2.3 2.3 平面問題中一點

23、應力狀態分析平面問題中一點應力狀態分析應力是與作用面有關的。應力是與作用面有關的。 s sx，s sy和和t txy作為基本未知函作為基本未知函數，只是表示一點的坐標平面上的應力分量（數，只是表示一點的坐標平面上的應力分量（左圖左圖）。而）。而校核強度時需要知道過此點的任意斜面上的應力校核強度時需要知道過此點的任意斜面上的應力p。而斜。而斜面上的全應力又可以按坐標軸分解為（面上的全應力又可以按坐標軸分解為（px, ,py），也可沿），也可沿法向和切向分解為正應力法向和切向分解為正應力s sn和和切應力和和切應力t tn（右圖右圖）。）。2.3 2.3 平面問題中一點應力狀態分析平面問題中一點應

24、力狀態分析1：求經過該點、平行于求經過該點、平行于z軸而斜交于軸而斜交于x軸和軸和y軸的任何斜面軸的任何斜面上的上的應力應力p？ 2：求經過該點、平行于求經過該點、平行于z軸而斜交于軸而斜交于x軸和軸和y軸的任何斜面軸的任何斜面上的上的正應力正應力s sn和和切應力切應力t tn ？ 3：若經過該點的某一斜面上的切應力為若經過該點的某一斜面上的切應力為0，求此斜面上，求此斜面上的的主應力主應力s s和和應力主方向應力主方向a a ？4：求經過該點的求經過該點的正應力正應力s sn和和切應力切應力t tn 的最大和最小值的最大和最小值？ 一點應力狀態分析就是求解上述有關應力分一點應力狀態分析就是

25、求解上述有關應力分量，具體為：已知任一點處坐標面上的應力分量量，具體為：已知任一點處坐標面上的應力分量s sx，s sy和和t txy，求解如下四個問題：求解如下四個問題：過一點任意斜面的全應力過一點任意斜面的全應力問題問題1 1：已知任一點處坐標面上的應力分量：已知任一點處坐標面上的應力分量s sx，s sy和和t txy，求經過該點、平行于求經過該點、平行于z軸而斜交于軸而斜交于x軸和軸和y軸的任何斜面上的軸的任何斜面上的應力應力p？取如圖所示的微分三角板或三取如圖所示的微分三角板或三棱柱棱柱PAB，當平面當平面AB無限接近于無限接近于P點時，該平面上的應力即為所求。點時，該平面上的應力即

26、為所求。根據該微分單元的力系平衡條根據該微分單元的力系平衡條件，在件，在x和和y軸方向上合力為軸方向上合力為0，從，從而有：而有：mlpmlpFFyxyyxyxxyxstts00過一點任意斜面的正應力與切應力過一點任意斜面的正應力與切應力問題問題2 2：求經過該點、平行于：求經過該點、平行于z軸而斜交于軸而斜交于x軸和軸和y軸的任軸的任何斜面上的正應力和切應力？何斜面上的正應力和切應力？平面平面AB上的上的正應力正應力s sn即為上即為上面所求的全應力面所求的全應力p向法線方向向法線方向n的投影：的投影：平面平面AB上的上的切應力切應力t tn即為上即為上面所求的全應力面所求的全應力P向切線方

27、向的向切線方向的投影：投影：yxnmplp syxnlpmp t222nyxnppst或或過一點任意斜面的主應力與主方向過一點任意斜面的主應力與主方向問題問題3 3：若經過該點的某一斜面上的切應力為：若經過該點的某一斜面上的切應力為0 0，求此斜，求此斜面上的主應力面上的主應力s s和應力主方向和應力主方向a a ？設如圖所示的斜面上切應力設如圖所示的斜面上切應力為為0 0，則，則該面上的全應力等于正該面上的全應力等于正應力，也等于主應力應力，也等于主應力，于是有，于是有mmpllpnynxssss又由于有又由于有mlpmlpyxyyxyxxstts過一點任意斜面的主應力與主方向過一點任意斜面

28、的主應力與主方向從而有關于方向余弦從而有關于方向余弦l, ,m的線性方程組：的線性方程組：0)(0)(mlmlyxyxyxssttss有有yxyxyxlmssttss0212IIss221xyyxyxIItssss展開得平面問題的主應力特征方程：展開得平面問題的主應力特征方程：由求根公式有：由求根公式有：2222112 , 1)2(224xyyxyxIIItsssss過一點任意斜面的主應力與主方向過一點任意斜面的主應力與主方向下面求應力主方向。下面求應力主方向。xyxlmtssa1111tan將所求主應力將所求主應力s s2代入第二個方程：代入第二個方程：yxylmssta2222tan0)(

29、0)(mlmlyxyxyxssttss兩個應力主方向是相互垂直的兩個應力主方向是相互垂直的將所求主應力將所求主應力s s1代入第一個方程：代入第一個方程：過一點任意斜面的應力極值過一點任意斜面的應力極值問題問題4 4、已知任一點處兩個主應力、已知任一點處兩個主應力s s1和和s s2，及其應力主，及其應力主方向，可求得經過該點正應力、切應力的最大和最小值。方向，可求得經過該點正應力、切應力的最大和最小值。 為了分析簡便，選取為了分析簡便，選取x軸和軸和y軸分別與兩個應力主方向軸分別與兩個應力主方向一致，則該點的應力分量為一致，則該點的應力分量為 s sx= =s s1， s sy= =s s2

30、 ， t txy= =0 先求正應力的極值。先求正應力的極值。 上式代入正應力公式（上式代入正應力公式（2 24 4），并利用兩個方向余弦），并利用兩個方向余弦平方和為平方和為1，得，得 s sn= =(s s1- -s s2)l2+ s s2 由此可知，兩個主應力就是正應力的最大和最小值。由此可知，兩個主應力就是正應力的最大和最小值。過一點任意斜面的應力極值過一點任意斜面的應力極值 再求切應力的極值。再求切應力的極值。 將將s sx= =s s1，s sy= =s s2 ，t txy= =0代入切應力公式（代入切應力公式（2 25 5），并利），并利用兩個方向余弦的平方和為用兩個方向余弦的平

31、方和為1 1，得，得 由此可知，當由此可知，當 l2=0.5 ，s s1s s2 時，切應力的最大和最小時，切應力的最大和最小值如下，其作用平面的法線方向與值如下，其作用平面的法線方向與x軸和軸和y軸成軸成4545角：角：221212)21(41)()(llmnsssst2)()(21sst極值n一點應力狀態分析一點應力狀態分析_ _總結總結已知任一點處坐標面上的應力分量已知任一點處坐標面上的應力分量s sx，s sy和和t txy，可求解如下四個問題：可求解如下四個問題：1：任何斜面上的應力：任何斜面上的應力p ：mlpmlpyxyyxyxxstts,2：任何斜面上的正應力：任何斜面上的正應

32、力s sn和切應力和切應力t tn ： xyxyyxnxyyxyxnmllmlpmplmmlmplptssttsss)()(22222一點應力狀態分析一點應力狀態分析_ _總結總結4：經過該點的正應力：經過該點的正應力s sn和切應力和切應力t tn 的最大和最小值：的最大和最小值： 3：主應力：主應力s s和應力主方向和應力主方向a a ：yxyxyxxyyxyxsstatssatsssss2211222 , 1tan,tan)2(22)(,2)()(,)(212121sssstsss極值n極值n例題例題例例2.3.12.3.1：在負載結構中，某點：在負載結構中，某點O處的等厚平行四面體各面

33、處的等厚平行四面體各面的受力情況如圖所示（平面應力狀態）。試求（的受力情況如圖所示（平面應力狀態）。試求（1）主應）主應力的大小及方向（力的大小及方向（2）沿與水平面成）沿與水平面成30傾角的微面上的全傾角的微面上的全應力和正應力。應力和正應力。 45xyO30ABC0t0t0t0t000102, 1002312,2)32() 12()21 (, 0,2tttatsttstsarctgxyyxq 平面應力問題與平面應變問題平面應力問題與平面應變問題q 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點應力狀態分析平面問題中的一點應力狀態分析q 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題

34、的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應用圣維南原理及應用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應力求解平面問題及相容方程按應力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應力函數常體力情況下的簡化與應力函數主要內容主要內容2.4 幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移 平面問題的幾何方程是考慮平面問題的幾何學條平面問題的幾何方程是考慮平面問題的幾何學條件，根據彈性體內微分線段及角度的幾何學知識來推件，根據彈性體內微分線段及角度的幾何學知識來推導出導出形變分量與位移分量之間的關系形變分量與位移分量之間的

35、關系。 與推導平衡微分方程一樣，平面問題的幾何方與推導平衡微分方程一樣，平面問題的幾何方程也是要從微分角度導出，這樣結果才是精確的。程也是要從微分角度導出，這樣結果才是精確的。幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移如圖所示，考慮彈性體內任如圖所示，考慮彈性體內任意點意點P(x,y)，沿，沿x、y方向取兩個方向取兩個微小長度的線段微小長度的線段PA和和PB分別為分別為dx、dy。受力變形后受力變形后P、A和和B分別移動到分別移動到P、A和和B 。1、設設P點的位移分量分別為點的位移分量分別為u和和v。利用連續性和小利用連續性和小變形假設，根據變形假設，根據Taylor級數展開式，略去高階項，可級數

36、展開式，略去高階項，可求出求出A和和B的位移分量。的位移分量。幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移2 2、由線應變的定義，可得出線段由線應變的定義，可得出線段PAPA的相對伸縮量如下（的相對伸縮量如下（即即x方向的方向的線應變。由于位移微小，線應變。由于位移微小，y y方向的方向的位移引起的位移引起的PAPA伸縮量是高一階的微伸縮量是高一階的微量，忽略不計量，忽略不計）：）：3 3、同理，線段同理，線段PBPB的相對伸縮量（的相對伸縮量（即即y方向的線應變方向的線應變）如下：）如下：yvdyvdyyvvyexudxudxxuuxe幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移4 4、由切應變的定義，可得

37、出線段由切應變的定義，可得出線段PAPA和和PBPB之間的直角的改變量（之間的直角的改變量（即切即切應變應變）由兩部分組成，一部分由）由兩部分組成，一部分由y方方向的位移向的位移v引起，即引起，即x方向的線段方向的線段PAPA的轉角；另一部分由的轉角；另一部分由x方向的位移方向的位移u引起，即引起，即y方向的線段方向的線段PBPB的轉角，由的轉角，由此此xvdxvdxxvvaatanyudyudyyuutan幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移于是，線段于是，線段PAPA和和PBPB之間的直角的改變量（之間的直角的改變量（即切應變即切應變）如下：如下：yuxvxyag綜合上述三式，就是平面問題

38、中的幾何方程，如下：綜合上述三式，就是平面問題中的幾何方程，如下：yuxvyvxuxyyxgee幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移平面問題的幾何方程平面問題的幾何方程適用于兩類平面問題適用于兩類平面問題意義：意義：平面區域內任一點的微分線段上的形變平面區域內任一點的微分線段上的形變與位移之間的幾何關系，實質上是一種變形的連續與位移之間的幾何關系，實質上是一種變形的連續性條件（性條件（物體在變形前后都是連續的物體在變形前后都是連續的）。）。適用條件：適用條件：與平衡微分方程一樣，滿足連續性與平衡微分方程一樣，滿足連續性和小變形假定和小變形假定幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移 考慮應變分量全

39、為考慮應變分量全為 0 0 的特殊情況，即的特殊情況，即“無形變無形變”時時，由幾何方程，仍存在位移解：，由幾何方程，仍存在位移解：xyuu00其中其中 u0 和和 0 分別為物體沿分別為物體沿x軸和軸和y軸方向的剛體平移，軸方向的剛體平移，而而 為沿物體繞為沿物體繞z軸的剛體轉動。軸的剛體轉動。當位移分量完全確定時，形變分量即完全確定；當形當位移分量完全確定時，形變分量即完全確定；當形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。（變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。（3 3個個方程，方程，2 2未知數）未知數） 為什么？為什么？幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移對于上述形變和位移之間的

40、關系，可作如下討論：對于上述形變和位移之間的關系，可作如下討論： 1 1、如果物體的位移確定，則形變完全確定。、如果物體的位移確定，則形變完全確定。從物理概念從物理概念角度，當物體變形后各點的位置完全確定時，任一微分線段角度，當物體變形后各點的位置完全確定時，任一微分線段上的形變也完全確定。從數學推導也可見，當位移函數確定上的形變也完全確定。從數學推導也可見，當位移函數確定時，其導數也就確定，即形變分量也完全確定。時，其導數也就確定，即形變分量也完全確定。 2 2、當物體的形變確定時，位移不完全確定。、當物體的形變確定時，位移不完全確定。從物理概念從物理概念角度，當保持物體內部形變不變的條件下

41、，物體還可作剛體角度，當保持物體內部形變不變的條件下，物體還可作剛體運動平移和轉動。從數學角度看，由形變求位移是一個積運動平移和轉動。從數學角度看，由形變求位移是一個積分過程，在常微分中會出現一任意常數；在偏微分中會出現分過程，在常微分中會出現一任意常數；在偏微分中會出現一個與積分變量無關的未定任意函數，該未定項就是剛體平一個與積分變量無關的未定任意函數，該未定項就是剛體平移和剛體轉動量。移和剛體轉動量。幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移綜上所述：綜上所述：當形變確定時，與形變有關的位移可以確定，而當形變確定時，與形變有關的位移可以確定，而與形變無關的剛體位移尚未確定，須通過邊界上的約與形變

42、無關的剛體位移尚未確定，須通過邊界上的約束條件來確定。束條件來確定。例題例題例例2.4.12.4.1：當應變為常量時，當應變為常量時，e ex =a, , e ey =b , ,g gxy =c ，試求對應的位移分量。試求對應的位移分量。xcbyyaxuu)(00q 平面應力問題與平面應變問題平面應力問題與平面應變問題q 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點應力狀態分析平面問題中的一點應力狀態分析q 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應用圣維南原理

43、及應用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應力求解平面問題及相容方程按應力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應力函數常體力情況下的簡化與應力函數主要內容主要內容2.5 平面問題的物理方程平面問題的物理方程物理方程：考慮平面問題的物理學條件而得出的應力物理方程：考慮平面問題的物理學條件而得出的應力與應變的關系，又稱本構方程和廣義胡克定律。與應變的關系，又稱本構方程和廣義胡克定律。E 為拉壓彈性模量為拉壓彈性模量- -楊氏模量楊氏模量G 為剪切彈性模量為剪切彈性模量m 為橫向變形系數為橫向變形系數泊松比泊松比)1 (2mEGGGGEEExzxzyzyzxyxyyxzzzx

44、yyzyxxtgtgtgssmsessmsessmse)(1)(1)(1對于對于理想彈性體理想彈性體，有，有平面應力問題的物理方程平面應力問題的物理方程將平面應力問題的條件將平面應力問題的條件s sz= =t tzx= =t tzy=0=0代入代入物理方程，可得物理方程，可得00)1(2)()(1)(1xzyzxyxyyxzxyyyxxEEEEggtmgssmemssemsseGGGEEExzxzyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxtgtgtgssmsessmsessmse)(1)(1)(1平面應變問題的物理方程平面應變問題的物理方程將平面應變問題的條件將平面應變問題的條件 e ez= =

45、g gzx= =g gzy=0=0 和和w=0=0 代入左式，可得代入左式，可得00)1(20)1(1)1(122xzyzxyxyzxyyyxxEEEggtmgesmmsmesmmsme并有并有 s sz= =m(m(s sx+ s sy) ) 和和t tzx= =t tzy=0=0GGGEEExzxzyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxtgtgtgssmsessmsessmse)(1)(1)(1兩類平面問題的物理方程比較兩類平面問題的物理方程比較平面應變問題的物理方程平面應變問題的物理方程xyxyxyyyxxEEEtmgsmmsmesmmsme)1(2)1(1)1(122平面應力問題的物

46、理方程平面應力問題的物理方程xyxyxyyyxxEEEtmgmssemsse)1(2)(1)(1將平面應力問題物理方程中的將平面應力問題物理方程中的 E 和和 m m 作如下替換，可得平面應變問作如下替換，可得平面應變問題的物理方程題的物理方程mmmm112EE平面問題的基本方程平面問題的基本方程從平面問題的三套基本方程可見，對于兩類平面從平面問題的三套基本方程可見，對于兩類平面問題，除了物理方程中的有關系數要進行相應的變問題，除了物理方程中的有關系數要進行相應的變換外，其它的平衡微分方程和幾何方程完全相同。換外，其它的平衡微分方程和幾何方程完全相同。平面問題的基本方程共有平面問題的基本方程共

47、有8 8個：（個：（2 2個平衡微分方個平衡微分方程、程、3 3個幾何方程、個幾何方程、3 3個物理方程）。這個物理方程）。這8 8個基本方程個基本方程包含包含8 8個未知函數（坐標的未知函數）：個未知函數（坐標的未知函數）：3 3個應力分個應力分量、量、3 3個應變分量、個應變分量、2 2個位移分量。要想求解這些未個位移分量。要想求解這些未知函數，還必須考慮彈性體邊界上的條件。知函數，還必須考慮彈性體邊界上的條件。q 平面應力問題與平面應變問題平面應力問題與平面應變問題q 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點應力狀態分析平面問題中的一點應力狀態分析q 平面問題的幾

48、何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應用圣維南原理及應用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應力求解平面問題及相容方程按應力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應力函數常體力情況下的簡化與應力函數主要內容主要內容2.6 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件邊界條件：邊界條件：表示邊界上位移與約束，或應力與面表示邊界上位移與約束，或應力與面力之間的關系式，又分為位移邊界條件、應力邊界力之間的關系式，又分為位移邊界條件、應力邊界條件和混合邊界條件。條件和混合邊界條件。1

49、 1、位移邊界條件：、位移邊界條件：若給定了部分邊界上的約束位移若給定了部分邊界上的約束位移分量，則邊界上每一點的位移函數應滿足如下條件分量，則邊界上每一點的位移函數應滿足如下條件)()(),()(ssuuss其中等式左邊是位移的邊界值，而等式右邊則是邊界其中等式左邊是位移的邊界值，而等式右邊則是邊界上的約束位移分量，是邊界上坐標的已知函數。對于上的約束位移分量，是邊界上坐標的已知函數。對于完全固定的邊界，其約束位移分量均為完全固定的邊界，其約束位移分量均為0 0。平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件2 2、應力邊界條件：、應力邊界條件：若給定了部分邊界上面力分量，若給定了部分邊界上面力分量，

50、則由邊界上任意點的靜力平衡條件，導出邊界上每則由邊界上任意點的靜力平衡條件，導出邊界上每一點的應力與面力的關系式：一點的應力與面力的關系式：)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyxstts其中等式左邊是應力分量的邊界值，而等式右邊則其中等式左邊是應力分量的邊界值，而等式右邊則是邊界上的面力分量，是邊界上坐標的已知函數。是邊界上的面力分量，是邊界上坐標的已知函數。 l 和和 m 為該點處邊界面外法線的方向余弦。為該點處邊界面外法線的方向余弦。平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件對于應力邊界條件，必須很好地理解和掌握，應注對于應力邊界條件，必須很好地理解和掌握，應注意以下幾點：意以下幾

51、點：1、應力邊界條件表示邊界上任一點的應力和面力之間應力邊界條件表示邊界上任一點的應力和面力之間的關系，的關系， 它是函數方程，在邊界上每一點都應滿足；它是函數方程，在邊界上每一點都應滿足；2、公式（公式（2-3）表示的是區域內任一點的斜面上的應）表示的是區域內任一點的斜面上的應力分量與坐標面上的應力分量之間的關系，適用于平力分量與坐標面上的應力分量之間的關系，適用于平面區域內任一點，而邊界條件（面區域內任一點，而邊界條件（2-15）只能應用于邊）只能應用于邊界上。因此，必須將邊界界上。因此，必須將邊界S的方程代入（的方程代入（2-15）的應力）的應力表達式中；表達式中；平面問題的邊界條件平面

52、問題的邊界條件3、注意式（注意式（2-15）中的面力和應力具有不同的）中的面力和應力具有不同的正負號規定，且分別作用于通過邊界點的不同正負號規定，且分別作用于通過邊界點的不同面上。外法線方向余弦則按三角公式確定正負面上。外法線方向余弦則按三角公式確定正負號。號。4、平面問題中應力邊界條件都是兩個，分別表平面問題中應力邊界條件都是兩個，分別表示示x和和y兩個方向的條件，它是邊界上微分體的兩個方向的條件，它是邊界上微分體的平衡條件，也屬于靜力學條件。平衡條件，也屬于靜力學條件。平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件對于邊界面為坐標面的情形，應力邊界條件對于邊界面為坐標面的情形，應力邊界條件(2-15

53、)(2-15)可可進行簡化如下：進行簡化如下：由于面力和應力具有不同的正負號規定，因此，在由于面力和應力具有不同的正負號規定，因此，在正負坐標面上，表達式中的符號是不相同的。在正正負坐標面上，表達式中的符號是不相同的。在正坐標面上，應力分量與面力分量同號；在負坐標面坐標面上，應力分量與面力分量同號；在負坐標面上，應力分量與面力分量異號。上，應力分量與面力分量異號。yaxxyxaxxff)(,)(ts若若x=a為正為正x面，面，ybxxyxbxxff)(,)(ts若若x=b為負為負x面，面，平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件由上可知，應力邊界條件可采用兩種表達形式：由上可知，應力邊界條件可采用

54、兩種表達形式：1、在邊界上取出一個微分體，考慮其平衡條件，在邊界上取出一個微分體，考慮其平衡條件，便可便可得出應力邊界條件（得出應力邊界條件（2-15）或其簡化式；）或其簡化式；2、在同一邊界面上，應力分量應等于對應的面力分量在同一邊界面上，應力分量應等于對應的面力分量（數值相同，方向一致）（數值相同，方向一致）。由于面力的數值和方向是給。由于面力的數值和方向是給定的，因此，在同一邊界面上，應力的數值應等于對應定的，因此，在同一邊界面上，應力的數值應等于對應的面力的數值，而面力的方向就是應力的方向。例如：的面力的數值，而面力的方向就是應力的方向。例如：ysyxsxfpfp)(,)(在斜面上，在

55、斜面上，在正負坐標面上，如同前述簡化式。在正負坐標面上，如同前述簡化式。平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件混合邊界條件：混合邊界條件：一部分邊界具有已知位移，因而具一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件，如式（有位移邊界條件，如式（2-142-14）；另一部分邊界具有）；另一部分邊界具有已知面力，因而具有應力邊界條件，如式（已知面力，因而具有應力邊界條件，如式（2-152-15）；）；另外，在同一部分邊界上還可能出現混合邊界條件，另外，在同一部分邊界上還可能出現混合邊界條件，即兩個邊界條件中，一個是位移邊界條件，而另一個即兩個邊界條件中，一個是位移邊界條件，而另一個是應力邊界條件。是應

56、力邊界條件。例題例題例例2.6.12.6.1：如圖，為左側受靜水壓力、下邊固定的水壩如圖，為左側受靜水壓力、下邊固定的水壩，試寫出其應力邊界條件（固定邊不寫）。，試寫出其應力邊界條件（固定邊不寫）。0sincos0sincosasatatasyxyxyx右側面：右側面：gstgtssinsincoscossincosyyyxyxyx左側面：左側面：例題例題例例2.6.22.6.2：如圖，為上、下邊分別受均布力作用的三角如圖，為上、下邊分別受均布力作用的三角形懸臂梁，試寫出其應力邊界條件（固定邊不寫）。形懸臂梁，試寫出其應力邊界條件（固定邊不寫）。qyxyyy00)(0)(ts上邊界：上邊界：p

57、yxyxyxasatatascossin0cossin下邊界：下邊界：思考題思考題思考題：思考題：如圖所示，薄板條在如圖所示，薄板條在y y方向受均勻拉力作用方向受均勻拉力作用（視為平面應力問題），試證明在板中間突出部分（視為平面應力問題），試證明在板中間突出部分的尖端的尖端A A處無應力存在處無應力存在( (注：注：Ox是角平分線是角平分線) )。q 平面應力問題與平面應變問題平面應力問題與平面應變問題q 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點應力狀態分析平面問題中的一點應力狀態分析q 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平

58、面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應用圣維南原理及應用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應力求解平面問題及相容方程按應力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應力函數常體力情況下的簡化與應力函數主要內容主要內容2.7 圣維南原理及應用圣維南原理及應用彈性力學問題的求解是在給定的邊界條件下求解三套基彈性力學問題的求解是在給定的邊界條件下求解三套基本方程。彈性力學的解必然要求物體表面的外力或者位移本方程。彈性力學的解必然要求物體表面的外力或者位移滿足邊界條件。滿足邊界條件。對于工程實際問題，構件表面面力或者位對于工程實際問題，構件表面

59、面力或者位移是很難完全滿足這個要求。這使得彈性力學解的應用將移是很難完全滿足這個要求。這使得彈性力學解的應用將受到極大的限制。為了擴大彈性力學解的適用范圍，放寬受到極大的限制。為了擴大彈性力學解的適用范圍，放寬這種限制，圣維南提出了局部影響原理。這種限制，圣維南提出了局部影響原理。 圣維南原理主要內容：圣維南原理主要內容：如果把物體如果把物體表面一小部分邊界上表面一小部分邊界上作用的外力力系，變換為分布不同但靜力等效的力系（主作用的外力力系，變換為分布不同但靜力等效的力系（主失量相同，對同一點的主矩也相同），那么只在作用邊界失量相同，對同一點的主矩也相同），那么只在作用邊界近處的應力有顯著的改

60、變，而在距離外力作用點較遠處，近處的應力有顯著的改變，而在距離外力作用點較遠處，其影響可以忽略不計。其影響可以忽略不計。圣維南原理及應用圣維南原理及應用1 1、變換的外力必須與原外力是靜力等效的：、變換的外力必須與原外力是靜力等效的：主失量相主失量相同，對同一點的主矩也相同同，對同一點的主矩也相同2 2、只能在局部邊界上（小邊界）進行靜力等效變換。、只能在局部邊界上（小邊界）進行靜力等效變換。3 3、根據圣維南局部影響原理，假如我們用一靜力等效、根據圣維南局部影響原理，假如我們用一靜力等效力系取代彈性體上作用的原外力，則其影響僅在力的力系取代彈性體上作用的原外力，則其影響僅在力的作用區域附近。