1、數值計算方法2022-3-71第十章第十章 常微分方程初值問題的數值解法常微分方程初值問題的數值解法第一節第一節 求解初值問題數值方法的基本原理求解初值問題數值方法的基本原理第二節第二節 高精度的單步法高精度的單步法 第三節第三節 線性多步法線性多步法第四節第四節 一階微分方程組的解法一階微分方程組的解法第五節第五節 邊值問題的打靶法和差分法邊值問題的打靶法和差分法數值計算方法2022-3-72考慮一階常微分方程的初值問題考慮一階常微分方程的初值問題 /* Initial-Value Problem */: 0)(,),(yaybaxyxfdxdy只要只要 f (x, y) 在在a, b R1

2、 上連續，且關于上連續，且關于 y 滿足滿足 Lipschitz 條條件件，即存在與，即存在與 x, y 無關的常數無關的常數 L 使使對任意定義在對任意定義在 a, b 上的上的 y1(x) 和和 y2(x) 都成立，則上述都成立，則上述IVP存存在唯一解。在唯一解。| ),(),(|2121yyLyxfyxf 第一節第一節 求解初值問題數值方法的基本原理求解初值問題數值方法的基本原理(10-1)(10-1)一、一、初值問題的數值解初值問題的數值解數值計算方法2022-3-73要計算出解函數要計算出解函數 y(x) 在一系列節點在一系列節點 a = x0 x10,使得使得),(hyxhQyy

3、nnnn 111()()pO hp (, )nnQ xyh( , , )( , , )Q x y hQ x y hL yy 對一切對一切 成立成立,則該方法收斂則該方法收斂,且有且有 yy和和)(pnhOe 由該定理可知整體截斷誤差總比局部截斷誤差低一階由該定理可知整體截斷誤差總比局部截斷誤差低一階 對改進的對改進的Euler法法, ),(,(),(),(yxhfyhxfyxfhyxQ 21數值計算方法2022-3-717于是有于是有 1( , , )( , , )( , )( , )2(,( , )(,( , )Q x y hQ x y hf x yf x yf xh yhf x yf xh

4、 yhf x y 設設L為為f關于關于y的的Lipschitz常數常數,則由上式可得則由上式可得( , , )( , , )(1/ 2)Q x y hQ x y hLhyy 限定限定h即可知即可知Q滿足滿足Lipschitz條件條件,故而改進的故而改進的Euler法收斂法收斂.數值計算方法2022-3-718例：例：考察初值問題考察初值問題 在區間在區間0, 0.5上的解。上的解。分別用歐拉顯、隱式格式和改進的歐拉格式計算數值解。分別用歐拉顯、隱式格式和改進的歐拉格式計算數值解。 1)0()(30)(yxyxy0.00.10.20.30.40.5精確解精確解改進歐拉法改進歐拉法 歐拉隱式歐拉隱

5、式歐拉顯式歐拉顯式 節點節點 xixey30 1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000 101 3.2000 101 1.00002.5000 10 1 6.2500 10 21.5625 10 23.9063 10 39.7656 10 41.00002.50006.25001.5626 1013.9063 1019.7656 1011.00004.9787 10 22.4788 10 31.2341 10 46.1442 10 63.0590 10 73. 穩定性穩定性數值計算方法2022-3-719定義定義若某算法在計算過程中任一步產生的誤差在以后的計若某算法

6、在計算過程中任一步產生的誤差在以后的計算中都算中都逐步衰減逐步衰減，則稱該算法是，則稱該算法是絕對穩定的絕對穩定的 /*absolutely stable */。一般分析時為簡單起見，只考慮一般分析時為簡單起見，只考慮試驗方程試驗方程 /* test equation */yy 常數，可以是復數常數，可以是復數當步長取為當步長取為 h 時，將某算法應用于上式，并假設只在初值時，將某算法應用于上式，并假設只在初值產生誤差產生誤差 ，則若此誤差以后逐步衰減，就稱該，則若此誤差以后逐步衰減，就稱該算法相對于算法相對于 絕對穩定絕對穩定， 的全體構成的全體構成絕對穩定區域絕對穩定區域。我們稱我們稱算法

7、算法A 比算法比算法B 穩定穩定，就是指，就是指 A 的絕對穩定區域比的絕對穩定區域比 B 的的大大。000yy h h h數值計算方法2022-3-720例：例：考察顯式歐拉法考察顯式歐拉法110(1)nnnnyyhyhy 000yy 110(1)nnyhy 11110(1)nnnnyyh 由此可見，要保證初始誤差由此可見，要保證初始誤差 0 以后逐步衰減，以后逐步衰減，必須滿足：必須滿足：hh 1|1| h0-1-2ReImg數值計算方法2022-3-721例：例：考察隱式歐拉法考察隱式歐拉法11nnnyyh y 111nnyyh 11011nnh 可見絕對穩定區域為：可見絕對穩定區域為：

8、1|1| h210ReImg注：注：一般來說，隱式歐拉法的絕對穩定性比同階的顯式一般來說，隱式歐拉法的絕對穩定性比同階的顯式法的好。法的好。數值計算方法2022-3-72212()11()()()()()( )2!()(,),()(,)(,)(), ,nppnnnnnnxypTaylory xhhyy xy xhyxyxyxPyxfx yyxfx yfx y fx y 若若用用 階階多多項項式式近近似似函函數數有有：其其中中。但但由由于于公公式式中中各各階階偏偏導導數數計計算算復復雜雜，不不實實用用。第二節第二節 高精度的單步法高精度的單步法 在高精度的單步法中在高精度的單步法中, ,應用最廣

9、泛的是應用最廣泛的是Runge-Runge-Kutta(Kutta(龍格龍格- -庫塔庫塔) )方法方法一、一、Runge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（1）數值計算方法2022-3-723( 0 )( 0 )( 0 )( 1 )( 1 )( 1 )( 2 )(2 )(2 )()(1 ); ;2 , 3 ,jjjjyffffyffxyffyffxyffyffjxy 一一 般般 地地 有有數值計算方法2022-3-724111112121 (,)11()22(,)(, )nnnnnnnnnnE ulerE uleryyhKE ulerKfxyyyhKKE ulerKfxyKfxhyhK

10、如如 果果 將將公公 式式 與與 改改 進進公公 式式 寫寫 成成 下下 列列 形形 式式 ：公公 式式 改改 進進公公 式式Runge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（2）數值計算方法2022-3-72511(,)()(,)(,) nnfxyyxyfxyfxy 以以 上上 兩兩 組組 公公 式式 都都 使使 用用 函函 數數在在 某某 些些 點點 上上 的的值值 的的 線線 性性 組組 合合 來來 計計 算算的的 近近 似似 值值。E E u u l l e e r r 公公 式式 ： 每每 步步 計計 算算 一一 次次的的 值值 ， 為為 一一 階階 方方 法法 。改改 進進 E E

11、 u u l l e e r r 公公 式式 ： 需需 計計 算算 兩兩 次次的的 值值 ， 二二 階階 方方 法法 。數值計算方法2022-3-726Runge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（3）( ,)(,)( ) nnnf x yxyTaylory xxTaylor于于是是可可考考慮慮用用函函數數在在若若干干點點上上的的函函數數值值的的線線性性組組合合來來構構造造近近似似公公式式，構構造造是是要要求求近近似似公公式式在在處處的的展展開開式式與與解解在在處處的的展展開開式式的的前前面面幾幾項項重重合合，從從而而使使近近似似公公式式達達到到所所需需要要的的階階數數。即即避避免免求求偏

12、偏導導，又又提提高高了了方方法法的的精精度度，此此為為R RK K方方法法的的基基本本思思想想。11111(,)(,)(2, 3,)pnniiinniininijjjyyhc KKfxyKfxa h yhb Kip 數值計算方法2022-3-727二、二階龍格庫塔方法二、二階龍格庫塔方法11111RK(,)(,)(2,3,),(,)()pnniiinniininijjjiijinnnyyhc KKfxyKfxa h yhb KipabcxyTaylory xxTaylor 一一般般地地，方方法法設設近近似似公公式式為為其其中中，都都是是參參數數，確確定定它它們們的的原原則則是是使使近近似似公公

13、式式在在處處的的展展開開式式與與在在處處的的展展開開式式的的前前面面項項盡盡可可能能多多地地重重合合。數值計算方法2022-3-72811122122211()2(,)(,)nnnnnnyyh c Kc KKf xyKf xa h yhb K 當p時，近似公式為 當p時，近似公式為 112221122321(,)(,)(,(,)(,) (,)(,)(,) (,)()nnnnnnnnnnnnnnnxnnynnnnxyTayloryyh c f xyc f xa h yhb f xyyh c f xycf xya hfxyhb fxyf xyO h 上上式式在在處處的的展展開開式式為為數值計算方法

14、2022-3-72912232221()(,)(,)(,)(,)()nnnxnnynnnnyccf xyhc a fxybfxyf xyhO h 123123()()()()()()2(,)(,)(,)(,)()2nnnnnnnnnxnnynnnny xxTaylorhy xy xhyxyxO hyfxyhhfxyfxyfxyO h 在在處處 的的展展 開開 式式 為為數值計算方法2022-3-73012222211 1 / 2 1 / 2 ),ccc ac bO 3 3有有 無無 窮窮 多多 組組 解解 ， 每每 一一 組組 解解 得得 一一近近 似似 公公 式式 ， 局局 部部 截截 斷斷

15、 誤誤 差差 均均 為為( (h h這這 些些 方方 法法 統統 稱稱 二二 階階 方方 法法 。122211121211,1,2() / 2(,)(,)nnnnnnccabE u leryyh KKKfxyKfxhyh K 取取此此 為為 改改 進進公公 式式 。近近 似似 公公 式式 為為 122211212110,1,2(,)(2,2)nnnnnnccabyyhKKfxyKfxhyhK 取取此此 為為 常常 用用 的的 二二 階階 公公 式式 ，稱稱 為為 中中 點點 公公 式式 。 數值計算方法2022-3-731三、三階龍格庫塔方法三、三階龍格庫塔方法11231213123 (4)6

16、(,)( ,)22(,2)nnnnnnnnpRKRKhyyKKKKf xyhhKf xyKKf xh yhKhK 類類似似地地，對對，即即三三個個點點，通通過過更更復復雜雜的的計計算算，可可導導出出三三階階公公式式。常常用用的的三三階階公公式式為為：數值計算方法2022-3-732四、四階龍格庫塔方法四、四階龍格庫塔方法1123412132434 (22)6(,)(,)2 2(,)22(,)nnnnnnnnnnpRKRKhyyKKKKKf xyhhKf xyKhhKf xyKKf xh yhK 對對，即即四四個個點點，可可導導出出四四階階公公式式。常常用用的的四四 階階公公式式為為： 數值計算

17、方法2022-3-733 h = 0 .2 ,x= 0 x= 12(01 );(0 )1 .xyyxyy 設設 取取 步步 長長從從直直 到到用用 四四 階階 龍龍 格格 庫庫 塔塔方方 法法 求求 解解 初初 值值 問問 題題例例 ：數值計算方法2022-3-734112341211322433(22);62;2;222;222().nnnnnnnnnnnnnnhyyKKKKxKyyxhhKyKhyKxhhKyKhyKxhKyhKyhK 由由 經經 典典 的的 四四 階階 龍龍 格格 庫庫 塔塔解解公公 式式 得得：數值計算方法2022-3-7352RK RKRK RK）方方法法的的導導出出

18、基基于于T Ta ay yl lo or r展展開開，故故要要求求所所求求問問題題的的解解具具有有較較高高的的光光滑滑度度。當當解解充充分分光光滑滑時時，四四階階方方法法確確實實優優于于改改進進E Eu ul le er r法法。對對一一般般實實際際問問題題，四四階階方方法法一一般般可可達達到到精精度度要要求求。如如果果解解的的光光滑滑性性差差，則則用用四四階階方方法法解解的的效效果果不不如如改改進進E Eu ul le er r法法。兩點說明兩點說明:1RKRK46RK5）當當p p= =1 1, ,2 2, ,3 3, ,4 4時時，公公式式的的最最高高階階數數恰恰好好是是p p, ,當當

19、p p 4 4時時，公公式式的的最最高高階階數數不不是是p p，如如p p= =5 5時時仍仍為為 ，p p= = 時時公公式式的的最最高高階階數數為為 。數值計算方法2022-3-736五、變步長的龍格五、變步長的龍格庫塔方法庫塔方法()1()51115(2)15(2)11(2)11()11,(),2,2()2,2()1.()16hnhnnnnhnhnnhnnhnnhyy xychhxxhychy xycy xyy xy n n以以經經典典四四階階龍龍格格庫庫塔塔公公式式為為例例。從從節節點點x x 出出發發，以以 為為步步長長求求一一近近似似值值將將步步長長折折半半，即即取取為為步步長長從

20、從跨跨兩兩步步到到，求求一一近近似似值值每每跨跨一一步步的的截截斷斷誤誤差差是是因因此此有有由由上上兩兩式式 (2)(2)()11111().15hhhnnnny xyyy 數值計算方法2022-3-737R-K方法的絕對穩定區域/2121233223443 11 ,22111 )22411 )24 ( , ) () K()()()()()nnnnnnnRKhhhhf x yyhhyyyyhKKyyhhKKhyyhhhKK 代代入入公公式式：將將234112341 2)6111 12624(2()()()nnnhyyKKKKyhhh 數值計算方法2022-3-738234111112624()

21、()()nnhhhh 則則234111 112624()()()hhhh 絕絕對對穩穩定定區區域域： 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 數值計算方法2022-3-73911-r1RK,nnnnnnyyyyyy 單單步步法法在在計計算算時時，只只用用到到前前一一步步的的信信息息 。為為提提高高精精度度，需需重重新新計計算算多多個個點點處處的的函函數數值值，如如方方法法，計計算算量量較較大大。如如何何通通過過較較多多地地利利用用前前面面的的已已知知信信息息，如如 ，來來構構造造高高精精度度的的算算法法計計算算，這這就就是是多多步步法法的的基基本本思思想想。第三節第三節 線性多步法線性多步法

22、數值計算方法2022-3-74011110111(,),(,) ,(,) (1,)00 T a y lo nnnrnnnrnrrrniniiniiiiikkkyyyfxyfxyyyhfffxyknnnr 多多 步步 法法 中中 最最 常常 用用 的的 是是 線線 性性 多多 步步 法法 ， 它它 的的 計計 算算 公公 式式 中中 只只出出 現現，及及的的 一一 次次項項 ， 其其 一一 般般 形形 式式 為為其其 中中均均 為為 常常 數數 ，。若若， 顯顯 式式 ；， 隱隱 式式 。構構 造造 線線 性性 多多 步步 公公 式式 常常 用用r展展 開開 和和 數數 值值 積積 分分 方方

23、法法 。數值計算方法2022-3-741一、線性多步公式的導出一、線性多步公式的導出nnTaylorxTaylor) xTaylor,ii n n+ +1 1利利用用展展開開導導出出的的基基本本方方法法是是：將將線線性性多多步步公公式式在在處處進進行行展展開開，然然后后與與y y( (x x在在處處的的展展開開式式相相比比較較，要要求求它它們們前前面面的的項項重重合合，由由此此確確定定參參數數。1011110111( ) ( ) nnnnnnry xyyyhfff 以以為為例例：設設初初值值問問題題的的解解充充分分光光滑滑，待待定定的的兩兩步步公公式式為為數值計算方法2022-3-742( )

24、( )()21()(1,2,),( )( )()()()2!()kknnnppnnnnnnnpnyyxky xxTayloryyy xyyxxxxxxpOxx 記記則則在在處處的的展展開開為為(),()(,)(),iiiiinyy xy xf xyin 假假設設前前 步步計計算算結結果果都都是是準準確確的的，即即則則有有數值計算方法2022-3-743231( 4 )( 5 )45( 6 )21111 ()2 !3 ! ()4 !5 ! (,)()2 ! nnnnnnnnnnnnnnnyyyyxhyy hhhyyhhOhyffxyyxyy hh ( 4 )( 5 )34( 5 )21111(

25、4 )( 5 )34( 5 )()3 !4 ! (,) (,)()2 ! ()3 !4 !nnnnnnnnnnnnnnnyyhhOhffxyyyffxyyxyy hhyyhhOh 數值計算方法2022-3-744211011101113(4)4111111(5)56111()()()2()()6222466()()1202424nnnnnnnyyy hy hy hy hy hO h 將將以以上上各各公公式式代代入入并并整整理理，得得數值計算方法2022-3-7451(5)2561()()() 2!5!p+1 nnnnnnnpy xxTayloryyy xyy hhhO h 為使上式有 階精度，

26、只須使其與在處的為使上式有 階精度，只須使其與在處的展開式展開式的前項重合。的前項重合。數值計算方法2022-3-7460101011111111111111221111622611112 4662 4aaaaaa 5,5,1iiP 個個參參數數 只只須須 個個條條件件。由由推推導導知知，如如果果選選取取參參數數，使使其其滿滿足足前前個個方方程程（p p= =1 1, ,2 2, ,3 3, ,4 4) )，則則近近似似公公式式為為p p階階公公式式。數值計算方法2022-3-74711011111,0,02 ()2nnnnhyyff 0 0如如滿滿足足方方程程組組前前三三個個方方程程，故故公

27、公式式此此為為二二階階公公式式。01110140,1,33 又又如如：解解上上面面方方程程組組得得相相應應的的線線性性二二步步四四階階公公式式（S Si im mp ps so on n公公式式) )為為數值計算方法2022-3-74811115(5)61 (4)31 ()90nnnnnnnhyyfffRh yO h 其其截截斷斷誤誤差差為為由由此此可可知知，線線性性二二步步公公式式至至多多是是四四階階公公式式。123( )nnnrxT a y lo ryxxT a y lo r 一一 般般 地地 ， 線線 性性 多多 步步 公公 式式 中中 有有個個 待待 定定 參參 數數 ， 如如 令令

28、其其右右 端端 在在處處 的的展展 開開 式式 與與在在處處 的的展展 開開 式式的的 前前 p p + + 1 1 項項 系系 數數 對對 應應 相相 等等 ， 可可 得得 方方 程程 組組數值計算方法2022-3-749010111(1)11121()()1(1,2,) 1()(1)()(1)! ()riirrkkiiiiprrpppniiniipikikpphRipiypO h 其解所對應的公式具有 階精度，局部截斷誤差為其解所對應的公式具有 階精度，局部截斷誤差為顯然，線性多步公式至多可達到2r+2階精度。顯然，線性多步公式至多可達到2r+2階精度。數值計算方法2022-3-750二、

29、常用的線性多步公式二、常用的線性多步公式1231010100123 r=30,1()()1(1, 2, 3 4)5559379= 1,242(Ada424ms)4 2riirrkkiiiiikik 取取， 并并 令令由由 方方 程程 組組，可可 解解 得得，（ 一一 ） 阿阿 達達 姆姆 斯斯公公 式式數值計算方法2022-3-75111231(5559379)24=0Adamsnnnnnnhyyffff 相相應應的的線線性性多多步步公公式式為為因因，此此式式稱稱為為顯顯式式公公式式，是是四四階階公公式式. .53354( 5 )61115( 5 )6 1()5()()5 !2 5 1()7

30、2 0niiniinhRiiyOhhyOh 局局部部截截斷斷誤誤差差為為數值計算方法2022-3-75212330101211125( 5 )610,91951 =1,24242424(9195)24A dam s19()720nnnnnnnnhyyffffRhyO h 如如 果果 令令由由 方方 程程 組組 可可 解解 得得，相相 應應 的的 線線 性性 多多 步步 公公 式式 為為稱稱 其其 為為 四四 階階隱隱 式式 公公 式式 ， 其其 局局 部部 截截 斷斷 誤誤 差差 為為數值計算方法2022-3-753利用數值積分方法求線性多步公式利用數值積分方法求線性多步公式1111+11 (

31、)()(,() (),()()(),1nnnnxnnxxxnnnrnnnry xy xfx y xdxFx dxxxxxxxFxxFxr r r基基 本本 思思 想想 是是 首首 先先 將將 初初 值值 問問 題題 化化 成成 等等 價價 的的積積 分分 形形 式式用用 過過 節節 點點或或的的的的 r r次次 插插 值值 多多 項項 式式代代 替替求求 積積 分分即即 得得階階 的的 線線 性性 多多 步步 公公 式式 。數值計算方法2022-3-754123330123303,( ) ( )( )()()()()()( )(0,1,2,3)()()nnnnin iinnnnin in in

32、jjj irxxxxF xL xl x F xxxxxxxxxl xixxxx 例如時，過節點的三次例如時，過節點的三次插值多項式為插值多項式為其中其中數值計算方法2022-3-7551111131301233231313233()()( )( ) ()()()()()6()()()()2()()()()2()()nnnnnnnnnnxxnnin ixxixnnnnxxnnnnxxnnnnxnny xy xL x dxl x dx F xxxxxxxF xdxhxxxxxxF xdxhxxxxxxF xdxhxxxF x 1123123)()655()59()37()9()24nnxnnxnn

33、nnxxxdxhhF xF xF xF x 數值計算方法2022-3-7561111233,(),(),(,)()(,() (,1,2,3),(5559379)24,nnnnkkkkkknnnnnnnnyyy xy xfxyFxfxy xkn nnnhyyffffAdam sxxAdam s 對對 上上 式式 用用代代 替替用用代代 替替則則 得得這這 就就 是是 四四 階階顯顯 式式 公公 式式 。 由由 于于 積積 分分 區區 間間 在在 插插 值值區區 間間外外 面面 ， 又又 稱稱 為為 四四 階階外外 插插 公公 式式 。11(4)(5)33100 ()()()()!4 4!nnnn

34、xxxxnnjnjxxjjFyRxxdxxxdx 由由插插值值余余項項公公式式可可得得其其局局部部截截斷斷誤誤差差為為數值計算方法2022-3-757131(5)35(5)10,),( )251()( )4!720nnnnxnnjxjxxyRxxdxh y 由由積積分分中中值值定定理理，存存在在（使使得得112231,() ()()( )nnnniniixxxxFxLxlxFx 同同 樣樣 ， 如如 果果 過過 節節 點點的的三三 次次 插插 值值 多多項項 式式 為為數值計算方法2022-3-7581123111125(5)121()()()()( )(1,0,1,2)()()( ) (91

35、95)2419( )720nnnnin in injjj innnnnnnnnnxxxxxxxxlxixxxxF xAdamshyyffffRh yxx 其其中中代代替替求求積積分分，即即得得四四階階隱隱式式公公式式其其局局部部截截斷斷誤誤差差為為 由由于于積積分分區區間間在在插插21,nnxxAdamsAdams 值值區區間間內內，故故隱隱式式公公式式又又稱稱為為內內插插公公式式數值計算方法2022-3-7591213012313125(5)61 0,8481,0,333 4 (22)314 ()4 ()5 nnnnnnnyyhfffMMilineRh yO hMiliineinle 0 0

36、 取取r r= =3 3，并并令令由由方方程程組組可可解解出出相相應應的的線線性性多多步步式式稱稱為為公公式式，其其局局部部截截斷斷誤誤差差為為（二二）米米爾爾尼尼公公式式公公式式是是四四階階四四步步顯顯式式公公式式。數值計算方法2022-3-7601212115(5)61 0,min13 (9)(2)881 (m()in40nnnnnnnnHamgyyyh ffHamRhO hgfy （三三）哈哈明明 取取r r= =2 2，并并令令可可得得到到公公式式其其局局部部截截斷斷誤誤差差為為H Ha am mm mi in ng g公公式式是是四四階階三三公公式式步步隱隱式式公公式式。數值計算方法

37、2022-3-76111 , ),) nny n n+ +1 1n n+ +1 1n n+ +1 1一一般般地地，同同階階的的隱隱式式法法比比顯顯式式法法精精確確，而而且且數數值值穩穩定定性性也也好好。但但在在隱隱式式公公式式中中，通通常常很很難難解解出出y y需需要要用用迭迭代代法法求求解解，這這樣樣又又增增加加了了計計算算量量。在在實實際際計計算算中中，很很少少單單獨獨用用顯顯式式公公式式或或隱隱式式公公式式，而而是是將將它它們們聯聯合合使使用用：先先用用顯顯式式公公式式求求出出y y( (x x的的預預測測值值，記記作作y y再再用用隱隱式式公公式式對對預預測測值值進進行行校校隱隱式式法

38、法與與顯顯式式法法正正，求求出出y y( (x x的的近近似似值值的的比比較較。數值計算方法2022-3-762三、預測三、預測校正系統校正系統 用顯式公式計算預測值，然后用隱式公式進行校正，用顯式公式計算預測值，然后用隱式公式進行校正，得到近似值得到近似值yn+1這樣一組計算公式稱為預測這樣一組計算公式稱為預測校正系統。校正系統。 一般采用同階的隱式公式與顯式公式。常用的預一般采用同階的隱式公式與顯式公式。常用的預測測校正系統有兩種：校正系統有兩種：112311112 (5559379) 249 (,)195 24nnnnnnnnnnnnnhyyffffhyyf xyfAdaffms 預預測

39、測校校正正校校正正公公式式預預測測數值計算方法2022-3-763131211211 4(22) 313(9)(,)2) limin88 nnnnnnnnnnnnyyhfffyyyh f xMineHamyffg 預預測測校校正正公公式式 (1)RK 3 說說明明：以以上上兩兩種種預預測測校校正正公公式式均均為為四四階階公公式式，其其起起步步值值通通常常用用四四階階公公式式計計算算。( (2 2) )有有時時為為提提高高精精度度，校校正正公公式式可可迭迭代代進進行行多多次次，但但迭迭代代次次數數一一般般不不超超過過 次次。數值計算方法2022-3-764用局部截斷誤差進一步修正預測校正公式用局

40、部截斷誤差進一步修正預測校正公式5( 5 )6115( 5 )6115( 5 )6115( 5 )1111111251 ()()72019()()720270()720720()270251()()270() nnnnnnnnnnnnnnnnnA dam syxyhyOhyxyhyOhyyhyOhhyyyyxyyyyx 由由公公 式式 的的 局局 部部 截截 斷斷 誤誤 差差 公公 式式兩兩 式式 相相 減減11119()270nnnyyy 數值計算方法2022-3-765112311111121111 (5559379) 24251()2709 (,) 195 2419()270 nnnnn

41、nnnnnnnnnnnnnnnnhpyffffmpcphcyf xmfffyAdcmpa sc 多多環環節節的的預預測測由由上上面面就就得得到到預預測測改改進進校校校校正正公公式式正正改改進進數值計算方法2022-3-766131211121111111 4(22) 3112()12113(9) (,)2 ln 88 9()1in21mnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnpyhfffmpcMieHampcyyh f xmffycpgc 完完全全類類似似，可可以以導導出出預預測測改改進進校校多多環環節節的的預預測測校校正正公公式式正正改改進進數值計算方法2022-3-767001111112

42、11 1 , ,( , ), (2),1(3) (,) (,)22nnnnnnbaa b f x yN yhxa nNff xyKhKhfKhf xyK 算算法法（ ）輸輸入入置置計計算算231141131123400(,) (,)221(22)6(4)(,)(5)3,1, 3 1,0,0, 6nnnnnnnnnKhhf xyKhf xh yKyyKKKKxanhxynnnnnpc 輸輸出出若若置置返返回回 ；否否則則，置置轉轉 。數值計算方法2022-3-76833330321003132111330(6)(,) 4112(22) ()312113(9) ( ,)2889() , )121(

43、7)1,(0,1,2),jjjjjjff xyxxhpyfffmpcpcyyh f x mffyccpx ynNnn xxyyffjxxyypp 計計算算輸輸出出( (若若，置置0,6cc轉轉 ；否否則則停停機機。數值計算方法2022-3-7691200 (,)(1, 2,)()(1, 2,)iiNiiyfx yyyiNyxyiN 一一 階階 方方 程程 組組 的的 初初 值值 問問 題題120000120012 y f y(,) ;yf (, y);y(,) ;y()y ;f(,) ;TNTNTNyyyxyyyxfff 若若 對對 和和 采采 用用 向向 量量 的的 記記 號號第四節第四節 一階微分方程組的解法一階微分方程組的解法一、一階微分方程組一、一階微分方程組數值計算方法2022-3-77000n+1n12341n2n13n24n3yf( ,y);y()y ; yy(k2k2kk )6 kf(,y ); kf(,yk );22kf(,yk ); kf(,yk