1、1概率論與數理統計習題課（二）概率論與數理統計習題課（二）基本內容與重要結論：基本內容與重要結論：1. 隨機變量及其分布函數、分布函數的性質。隨機變量及其分布函數、分布函數的性質。)(F)(F)(PabbXa )0(F)(F)(P cccX 2. 離散型隨機變量及其分布律，離散型隨機變量及其分布律，幾種常見的離散型隨機變量及其分布律。幾種常見的離散型隨機變量及其分布律。3. 連續型隨機變量及其概率密度，連續型隨機變量及其概率密度，幾種常見的連續型隨機變量及其概率密度。幾種常見的連續型隨機變量及其概率密度。概率密度的性質，概率密度的性質，2一般要學會做三類習題：一般要學會做三類習題：利用某些已知

2、條件求出隨機變量的分布律或利用某些已知條件求出隨機變量的分布律或 密度函數；密度函數；利用分布律或分布函數，求出某些事件的概率；利用分布律或分布函數，求出某些事件的概率；利用分布律或密度函數，求出分布函數。利用分布律或密度函數，求出分布函數。4. 二維隨機變量及其聯合分布函數；二維隨機變量及其聯合分布函數；二維離散型隨機變量及其聯合分布律；二維離散型隨機變量及其聯合分布律；二維連續型隨機變量及其聯合概率密度。二維連續型隨機變量及其聯合概率密度。5. 二維隨機變量的邊緣分布和條件分布。二維隨機變量的邊緣分布和條件分布。6. 隨機變量的相互獨立性。隨機變量的相互獨立性。7. 隨機變量函數的分布。隨

3、機變量函數的分布。3 例例1. 設隨機變量設隨機變量 X 服從參數為服從參數為(2, p)的二項分的二項分布，隨機變量布，隨機變量Y 服從參數為服從參數為(3, p)的二項分布。若的二項分布。若 951P X，則，則 ?1 YP解：解：), 2(pBX2)1()0(pXP )1(1 XP.94951 .31321 pp從而從而),31, 3( BY)0(1)1( YPYP.2719)311(13 4 例例2. 假定某街道有假定某街道有n個設有紅綠燈的路口，各個設有紅綠燈的路口，各路口各種顏色的燈相互獨立，紅綠燈顯示的時間路口各種顏色的燈相互獨立，紅綠燈顯示的時間比為比為1:2。今有一汽車沿該街

4、道行駛，若以。今有一汽車沿該街道行駛，若以 X表表示該汽車首次遇到紅燈之前已通過的路口數，試示該汽車首次遇到紅燈之前已通過的路口數，試求求 X 的分布律。的分布律。 分析分析: 根據題意根據題意 X 所有可能的取值為所有可能的取值為0, 1, 2, , n, 而在每個路口遇到綠燈的概率為而在每個路口遇到綠燈的概率為2/3, 并且在不并且在不同路口出現紅燈或綠燈是相互獨立的同路口出現紅燈或綠燈是相互獨立的, 因此它與因此它與幾何分布的隨機變量相似。只是當幾何分布的隨機變量相似。只是當 X= n 時時, 表表示該汽車在每個路口所遇到的都是綠燈。示該汽車在每個路口所遇到的都是綠燈。解解: kX 表示

5、汽車在前表示汽車在前k個路口均遇到個路口均遇到綠燈，而在第綠燈，而在第k+1個路口遇到紅燈，所以個路口遇到紅燈，所以事件事件3132)( kkXP0,1,2,1.kn而而.32)(nnXP 5評注：評注：本題求解的一種常見錯誤是：本題求解的一種常見錯誤是：,)32()(kkXP ., 2 , 1nk 而而1321 23213232)32()(111 nnnknkkkXP可見可見, 為驗證分布律是否正確為驗證分布律是否正確, 判斷判斷1 kkp是說明結果有誤的一種簡便方法。是說明結果有誤的一種簡便方法。6例例3.設隨機變量設隨機變量X的絕對值不大于的絕對值不大于1, P(X=- -1)=1/8,

6、P(X=1)=1/4,在事件在事件 11 X出現的條件下出現的條件下, X在在(- -1,1)內任何子區間上取值的條件概率與該子區內任何子區間上取值的條件概率與該子區間的長度成正比。試求間的長度成正比。試求 X 的分布函數，的分布函數，X 取負值取負值的概率。的概率。分析：分析：本題給的隨機變量本題給的隨機變量 X 在在- -1和和1兩點具有正兩點具有正概率概率, 從該角度看它是離散型的從該角度看它是離散型的; 而在區間而在區間(- -1, 1)內又服從均勻分布內又服從均勻分布, 又像是連續的。所以它既非又像是連續的。所以它既非離散也非連續。離散也非連續。解解: 根據假設根據假設21)1(1)

7、1()111(xxXxXP )11,1()1( XxXPxXP7再根據乘法法則再根據乘法法則, ,即得即得)1(xXP )111()11( XxXPXP21)41811(x 16)1(5x 于是于是 . 1, 11, 11,16)1(581, 0)(xxxxxF.16581)0()0( FXPq8例例4 設隨機變量設隨機變量X與與Y 同分布同分布, X 的概率密度為的概率密度為 ., 0, 20,83)(2其其他他xxxf又已知事件又已知事件 aYBaXA 與與相互獨立相互獨立, 且且,43)( BAP求常數求常數.a解解 依題設依題設, 有有否則，否則，, 20 a; 1)(,0 BAPa時

8、時當當, 0)(,2 BAPa時時當當都不符合題設。都不符合題設。,20時時因而，當因而，當 a)(1)(aXPAP .811d831320axxa 9同理同理,.81)(3aBP 又事件又事件A 與與B 獨立獨立, 從而從而)(1)(BAPBAP )()(1BPAP .436416 a所以所以,.2,16326 aa評注評注: 最后一步也可直接用加法公式最后一步也可直接用加法公式. 10 例例5 實驗器皿中產生甲、乙兩種細菌的機會實驗器皿中產生甲、乙兩種細菌的機會是相是相等的等的, 且產生的細菌數且產生的細菌數 X 服從參數為服從參數為 的泊的泊松分布松分布. 試求試求: 產生了甲類細菌但沒

9、有乙類細菌產生了甲類細菌但沒有乙類細菌的概率的概率.解解: 設事件設事件 Ak= 產生了產生了k 個細菌個細菌B =產生了細菌但沒有乙類細菌產生了細菌但沒有乙類細菌。故故由于由于, )( PX, 2 , 1 , 0,e!)()( kkkXPAPkk ,)21()(,1kkABPk 對對 )()()(kkkABPAPBAP,)21(e!kkk 11 11)()(kkkkBAPBAPBP).1e (e)21(e!21 kkkk評注評注：泊松分布下重溫全概率公式：泊松分布下重溫全概率公式. 全概率公式也適于無限劃分全概率公式也適于無限劃分. 12 例例6 在保險公司里有在保險公司里有2500名同一年

10、齡和同社名同一年齡和同社會階層的人參加了人壽保險會階層的人參加了人壽保險, 據生命表這類人據生命表這類人在在1 年中每個人死亡的概率為年中每個人死亡的概率為0.002, 每個參保每個參保人在人在1月月1日需交日需交1200元保險費元保險費, 而在死亡時家而在死亡時家屬可從保險公司領取屬可從保險公司領取20萬元賠償金萬元賠償金. 求求: 保險公司虧本的概率保險公司虧本的概率; 保險公司獲利不少于保險公司獲利不少于100萬元的概率萬元的概率.解解 以年為單位考慮以年為單位考慮,保險公司年初總收入為保險公司年初總收入為2500 1200=300萬元萬元.),002. 0 ,2500(1BXX 則則，

11、年年中中死死亡亡的的人人數數為為設設.15,30020 XX即即要要使使公公司司虧虧本本，必必須須kkkkCXP 25002500162500998. 0002. 0)15(故故13.000069. 0!511505 kkke萬萬元元）保保險險公公司司獲獲利利不不少少于于 100(P)10()10020300( XPXPkkkkC 25001002500998. 0002. 0.986305. 0!51005 kkke 點評點評: 保險業是概率論的生長點和重要應用領保險業是概率論的生長點和重要應用領域之一域之一. 本例為簡化起見本例為簡化起見, 不計利息與管理費不計利息與管理費.14 例例7

12、設隨機變量設隨機變量X 在區間在區間2，5上服從均勻上服從均勻分布，現對分布，現對X 進行進行 3 次獨立觀測，試求至少有次獨立觀測，試求至少有兩次觀測值大于兩次觀測值大于3的概率。的概率。 解解 設隨機變量設隨機變量Y 是是3次獨立觀測中觀測值大次獨立觀測中觀測值大于于3的次數的次數, 則則.3), 3(的的概概率率大大于于是是其其中中XppBY由題意知由題意知 X 的概率密度為的概率密度為 ., 0, 52,31)(其其他他xxf .32d31353 xXPp 2720)31()32()31()32(20333223 CCYP于于是是本題的知識點是均本題的知識點是均勻分布與二項分布勻分布與

13、二項分布的結合。的結合。15例例8 某種電子元件在電源電壓不超過某種電子元件在電源電壓不超過200伏伏,200伏伏至至240伏伏,及超過及超過240伏伏3種情況下種情況下,損壞率依次為損壞率依次為0.1,0.001及及0.2, 設電源電壓設電源電壓求求),25,220(2NX 此種元件的損壞率此種元件的損壞率; 此種元件損壞時此種元件損壞時,電源電源電壓在電壓在200240伏的概率伏的概率.解解 設設 ，伏伏電電源源電電壓壓不不超超過過 2001 A ，伏伏電電源源電電壓壓在在2402002 A ，伏伏電電源源電電壓壓超超過過 2403 A .電子元件損壞電子元件損壞 B 8 . 025200

14、200)(1XPXPAP;212. 0)8 . 0( 240200)(2 XPAP;576. 01)8 . 0(2 16.212. 0)()(1)(213 APAPAP. 2 . 0)(,001. 0)(, 1 . 0)(321 ABPABPABP依題意，依題意，)()()(31 iiiABPAPBP.064. 02 . 0212. 0001. 0576. 01 . 0212. 0 )(2BAP)()()()()(222BPABPAPBPBAP .009. 0064. 0001. 0576. 0 注：正態分布下重溫全概率公式及貝葉斯注：正態分布下重溫全概率公式及貝葉斯公式公式. 此例是研究生入

15、學試題。此例是研究生入學試題。17例例9 設顧客到銀行窗口等待服務的時間設顧客到銀行窗口等待服務的時間):(分分單位單位X服從指數分布服從指數分布,其密度函數為其密度函數為 ., 0, 0,e51)(5其他其他xxfx某顧客在窗口等待服務某顧客在窗口等待服務,如超過如超過10分鐘分鐘,他就離開他就離開.他一個月要到銀行他一個月要到銀行5次次,以以Y表示一個月內他未等表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數到服務而離開窗口的次數,求求Y的分布律的分布律.解解 Y的取值為的取值為0, 1, 2, 3, 4, 5. 且且而而), 5(pBY.ede51)10(2510 xXPpx故故Y 的分布律為的

16、分布律為. 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0,)1()(5225 keeCkYPkkk指數分布與指數分布與二項分布二項分布 結合結合18 練習練習 某儀器裝了某儀器裝了3支獨立工作的同型號電子支獨立工作的同型號電子元件元件,其壽命其壽命(單位單位:小時小時)都服從同一指數分布都服從同一指數分布,密度函數密度函數 . 0, 0, 0,e6001)(600 xxxfx試求試求:在儀器使用的最初在儀器使用的最初 200 小時內小時內, 至少有一至少有一支電子元件損壞的概率支電子元件損壞的概率. 答案答案: 1- -e- -1. 在指數分布下重溫獨立事件之在指數分布下重溫獨立事件之和的概率的

17、求法和的概率的求法. 注注:此題也是歷史上研究生入學試題此題也是歷史上研究生入學試題.19例例10 設隨機變量設隨機變量(X,Y)的聯合分布律為的聯合分布律為XY- -1012414161a求：求： a 值；值； (X,Y)的聯合分布函數的聯合分布函數F(x, y) ; (X,Y)關于關于X,Y的邊緣分布函數的邊緣分布函數.20例例11 設隨機變量設隨機變量X的概率密度函數為的概率密度函數為321,1,8( )30,xf xx 其他其他F(x)是是X的分布函數的分布函數,求求Y=F(X)的分布函數的分布函數. 例例12 在長為在長為a 的線段的中點的兩邊隨機地選的線段的中點的兩邊隨機地選取兩點，求兩點間的距離小于取兩點，求兩點間的距離小于a /3 的概率。的概率。21 例例13 設設X 和和Y 是相互獨立的隨機變量是相互獨立的隨機變量, X 在在0,1上服從均勻分布上服從均勻分布, Y 的概率密度為的概率密度為 . 0, 0, 0,e21)(2-yyyfyY 求求X 與與Y 的聯合概率密度的聯合概率密度; 設有設有a 的