1、案例案例6 6 估計水塔的水流量估計水塔的水流量問題問題一、問題分析一、問題分析建模目的：給出水從水塔流出的流量，并估計一天的總用水量 思思路路由數值決定在所給數據點處的水流量找出一個水從水塔流出水流量光滑擬合逼近處理水泵工作時的充水量及一天該鎮總用水量 ，同時亦重建了水泵工作時所缺的數據二、假設與記號二、假設與記號1.影響水從水塔流出的流率的唯一因素是公眾對傳統的 要求。因為附表只給出了某一天（實際是近26小時）水塔的水位數據，并沒有對這些數據的產生有影響的因素作出具體說明，我們只能假定所給數據反映了有代表性的一天，而不包括任何特殊情況，如自然災害、水災、水塔溢水、水塔漏水等對水的特殊要求

2、假假設設2.水塔中水的水位不影響水流量的大小。據物理學的定律，水塔最大水流量是與水位的高度的平方根成正比的。針對表所給的數據，最大高度是35.50英尺，最小高度是27.00英尺，所以兩個高度的最大水流量之比是，接近于1，所以我們假定水位不影響水流量，類似的，我們假定氣候條件，溫度變化大也不直接影響水流量 3.水泵工作起止時間由水塔的水位決定，我們總是假定水位27.00英尺時，水泵開始工作，直到水位升至大約35.50英尺時停止工作。每次充水時間約為兩小時，水泵工作性能、效率總是一定的，不因使用次數多少而變化。水泵工作時不需要維修，也不中途停止工作。當然，水泵充水的水流量遠大于水塔的水流量，以保證

3、人們對水的需求 4.表中水位數據取得的時間準確在1秒內 5.水塔的水流量與水泵狀態獨立，并不因為水泵工作而增加或減少水流量的大小 6.水塔的水流量曲線可以用一條光光滑的曲線來逼近。這時，在每一個數據點，水流量的兩階導數是連續的，因為水的消耗是基于社區公眾一天的活動。如洗澡、做飯、洗衣服等，每一個使用者的要求與整個社區的要求相比是微不足道的，而整個社會的需求是不可能同時增加或減少的，由于水的消耗的自然性，可以設想水流量曲線是一條連續光滑的曲線 記記號號 t: 時間，單位小時 h:水塔中水流高度，是時間的函數，單位為英尺 V:水塔中水的體積，單位加侖f: 估計的水塔 水流量，單位加侖/小時 p:

4、水泵工作時充水的水流量 ，單位加侖/小時三、水流量與時間的關系三、水流量與時間的關系1. 把附表數據化為時間與水體積關系把附表數據化為時間與水體積關系時 間（小時）水 體 積（加侖）時 間（小時）水體積（加侖）時 間（小時）水 體 積（加侖）00.92111.84312.94973.87144.97815.90007.00647.92868.96786061255937165830265715715625995520995440815339635253725148729.98110.925610.954212.032812.954413.875814.982215.903916.826117.

5、9317水泵工作水泵工作67771565767063953462235260459858932557500855878119.037519.959420.839222.015022.958123.880024.986925.9083542554528236514872水泵工作水泵工作6633976485066376252. 水泵工作的起止時間水泵工作的起止時間第一次充水前的最后一個測量數據是32284秒（8.9678 小時）時水位26.97英尺，可見水泵在此不久開始充水。 39332秒（10.9256小時）水泵工作仍在工作。 39435秒（10.9542 小時）時水位35.50英尺。從而水泵在

6、這兩時刻之間停止工作。第第一一次次充充水水水泵工作的時間為32284秒（8.9678 小時）；水泵結束時間為39435秒（10.9542小時）；充水時間約為1.9864小時第第二二次次充充水水水泵工作的時間為75021秒（20.8392 小時），水位26.97英尺水泵結束時間為82649秒（22.9581小時）,補充水位35.50英尺充水時間約為2.1189小時3. 由由Viti關系產生水流量關系產生水流量 fiti的關系的關系注：亦可以由Viti關系擬合 V(t)，再求微商得到 f(t) 或為了減少誤差采用數值差分公式)(1288)(12112iiiiiiiittVVVVtff 關于水流量

7、fiiiiiiittVVtff 11)(11)( iiiiiittVVtff與)(243)(121iiiiiiittVVVtff 與)(243)(121 iiiiiiittVVVtff與時 間（小時）水 流 量（加侖/小時）時 間（小時）水 流 量（加侖/小時）時 間（小時）水 流 量（加侖/小時）00.92111.84312.94973.87144.97815.90007.00647.92868.967814405111801006311012879799928124101608488110189.98110.925610.954212.032812.954413.875814.982215

8、.903916.826117.9317水泵工作水泵工作194692019618941159031805515646137411496219.037519.959420.839222.015022.958123.880024.986925.9083166531449614648水泵工作1522515264137089633水流量值（表3）四、用三次樣條擬合四、用三次樣條擬合 fi （ f(t)擬合曲線擬合曲線 S(t)） S(t)為通過表3數據點的三次樣條函數，具有端點 t0 =0 和t24 =25.9083,)()()()(1332210 iiiiiiiiiitttttattattaatS具有

9、：在每一個節點ti 處，Si-1(t) 與Si (t) 的函數值、一階導數和二階導數相等 )( 6216)2)(1132111110iiiiiiiiiiiiiiiiiittMMaMaMMttttffafa 擬合水流量曲線五、對五、對水泵水泵 充水的兩段時間水流量處理充水的兩段時間水流量處理第一次充水，水塔的水體積之差162843514872677151 V加侖充水時間約為t1= 1.9864小時第一次充水水泵平均水流量19542.109678.811)(tdttftVp =81979+15597=97576（加侖/小時）第二次充水，水塔的水體積之差（加加侖侖）1628432 V充水時間約為t2

10、= 2.1189小時第二次充水水泵平均水流量29581.228392.2021)(tdttftVp =76853+15057= 91910（加侖/小時）兩次充水水泵平均水流量)(2121ppp = 94743（加侖/小時）五、一天總用水量五、一天總用水量一天總用水量 240)(dttf=333189 （加侖）檢驗檢驗（加加侖侖）335116)(9211.249211.0 dttf（加加侖侖）336782)(8431.258431.1 dttf（加加侖侖）335329)(251 dttf（加加侖侖）336480)(5.255.1 dttf相差只約1%0，24區間內檢驗區間內檢驗第一次充水前總用水

11、量V1= 606125-514872=91253(加侖）第一次充水后，第二次充水前總用水量V2= 677715-514872=162843(加侖）第一次充水期間用水量（加加侖侖）30981)(9542.109678. 8 dttf第二次充水期間用水量（加加侖侖）31905)(9581.228392.20 dttf22.9581,23.88期間用水量V3= 677715-663397=14318(加侖）23.88,24期間用水量（加侖）1829)(2488.23dttf一天總用水量V1 + V2 + V3+30981+31905+1829=333129 (加侖） 240)(dttf與相差只有 0.02%)(tf計算充水期間以外的用水量檢驗計算充水期間以外的用水量檢驗（加侖）89242)(9678. 80dttf與V1相差只有 2.3%（加侖）165143)(8392.209542.10dttf與V2相差只有 1.4%說明擬合曲線是相當精確的六、誤差分析六、誤差分析一天一天總用總用水量水量24,8800.238800.239581.228392.2