1、幾何變換在試題中的運用哈爾濱市第 69 中學校方法：平移、旋轉、對稱一、平移1、已知矩形 ABCD,AD=9，AB=6.若 G、H、M、N 分別在 AB、CD、AD、BC上，線段 MN 與 GH 交于點 K.若GKM=45°，MN= 3 5 ,求 GH=.MADGHBCN方法：平移 MN 過 A 點，過 P 作 PQAP 的等腰直角三角形 APQMADGQHBCPN2、已知 RtABC,B=90°,BA=BC=6,AB 與 CE 相交于 F,BD+BE=5， CFD=45°，求 CD=.AE45°FCBD1KK45°方法如下：DC5-x45ME

2、45G56-(5-x)=1+x5-xABFx6-x方法：(1+ x)2 +(6 - x)2 = 25x1 = 2或x2 = 3BF = 2或3曾海濤方法：C45°1+xEG45°5-xA6-xxFBx45°K構造斜 AAF2 = FG×CF CG×CF = CE×CKAF2 + CE×CK = FG×CF+ CG×CF= CF(FG+ CG)= CF×CF= CF2 = BF2 + CB22(6 -+ (1+ x) × (6 + x) = x2 + 6x2 - 5x + 6 = 0 x

3、1 = 2, x2 = 3峰方法：CA7-xxFBE'F=5E'6-x5 - (6 -6 - (5 - 6 + x = x - 1) = 6 - x +1 = 7 - xx2 +(7 - x)2 = 25王幾何方法：C6-x62EG2x45°xAx+15-xxFBACFAKE2x = 6 + xx +16 2x2 - 5x + 6 = 0x1 = 2,x2 = 3解決完問題后，按照編題的思路再想：如果把 AC 一側的等腰直角三角形擦去，把 AN平移下來，就可得到此題了。345G45°°7-xEx-13、已知ABC.AB=AC=BD=DE,CD=CE

4、.求D=度.AEDBC方法如下：FA60°260°E60°2DBC可以對第 3 題進行改編：4、已知 RtABC 中，ACB=90°，BD=AC,AE=BC,DE=AB.求B=度.AEDBC4AF60°x°E60°45°60°x°45°DB方法如下：C在講題時，培養學生的探究思維。如圖：ABC 中，AB=AC，D、E 分別在 AB、AC 上，且 BD=AE,BC=DE求證：ADE+CED=60°AEDBC例 2：題目線索：要證明圖形中的兩條線段夾角為特殊角，或有特殊數量關系如

5、圖：正方形 ABCD，G 在 CB 延長線上，以 BG 為于點 P，正方形 BEFG，連接 DF、AG 交求證：APD=45°，DF= 2 AGADFBCG5PE例 3:如圖：等邊ABC 中，D、E 分別為 AB、AC 邊上的點，F 在 BC 邊上，且 AFDE,AD=CE求證：AF=3 DEAEDBFC類型 2：通過平移三角形，將相等的角平移到便于應用的位置例 4：題目線索：有平行四邊形，有一對相等的角難以應用如圖：平行四邊形 ABCD 內部有一點 E，若DAE=DCE求證：EBC=EDCADEBC6例 5：題目線索：有兩條相等的線段共線，且所對角相等如圖：ABC 中，D、E 為

6、BC 上兩點，BAD=CAE，BD=CE求證：AB=ACABDEC例 6：題目線索：有兩條 2 倍關系的線段共線，且所對角相等如圖：ABC 中，ADBC，E 為 BC 上一點，且BAE=CAD，BE=2CD求證：B=DAEABCED類型 3：探究三條線段數量關系時，有其中兩條線段互相平行，可考慮利用平移和差例 7：矩形 ABCD 中，AD=2AB，E 為射線 CB 上一點，過 E 作 AE 的垂線，分別與直線AB、CD 交于 F、G 兩點請探究線段 CG、BF、BE 間的數量關系，并證明ADADGCEBFECG7BF例 8：如圖，矩形 ABCD 中，AD=2AB，M 為 AD 中點，E 為 B

7、C 上一點，且 CE=2BE，F 為 AD 上一點，作 BK直線 EF 于 K，MH直線 EF 于 H，請探究線段 MH、BK、HK 間的數量關系，并證明AFMDBECAMFDBECK8HHK二、旋轉原理圖型：AEDCB從不同角度看：一方面，可以看做有公共頂點的兩個相似等腰三角形ABC 與ADE 繞著同一頂點A 旋轉；另一方面，可以看做兩個全等三角形ABD 與ACE 繞著同一頂點旋轉。AAE一方面，E另一方面，DDCCBB基本結論：AEDCB91.全等三角形的第三邊相等（BD=CE）；2、第三邊 BD 與 CE 的夾于等腰三角形的頂角（旋轉角）。只有從不同角度去認識一個圖形，我們對圖形的認知才

8、深刻。把這個基本原理應用到復雜圖形中，既深刻又靈活。用旋轉變換構造輔助線1.當題目中有半角問題時BBE'CCAADEDE在等腰直角ABC 中，ABC=90°，點 D 為 AC 上一點，點 E 為 AB 中點，點 G 為AC 中點，作 DFED，ED=DF，連接 EF，探究線段 AE、ED、FG 之間的數量關系，并證明你的結B 論BEEAFFACACDGDGBE HFACDG102.當三條線段交于圖形點時.BBDDACACE在 RtABC 中，ACB=90°，ABC=60°，點 D 為ABCCD，CDB=120°，CD=2，BD=3，求線段 AD

9、的長點，連接 AD、BD、CCDDBBAAICDBAI113.當題目中出現等角時：AABBECCDD在 RtABC 中，ACB=90°,sinBAC= 4 ，點 D 為ABC 外部一點，連接 AD、BD、5CD，使ADB=90°探究線段 AD、BD、CD 之間的數量關系，并證明你的結論CCDGBBAACCDHBABADI124.當題目中出現等腰三角形時：BBD'DDACAC在等邊ABC 中，點 D 為ABC點，連接 AD、BD，ADB=120°,在射線 AD上取一點 E, 連接 CE，使CED=30°， 探究線段 BD、AE、CE 之間的數量關系

10、，并證明你的結論AAD'D'AE DDFDCBCBCB5、當題目中出現角平分線時：EBBAAFEEDDCC13在正方形 ABCD 中，點 E 在 BC 延長線上，連接 AE，交 CD 于 G，點 F、H 在 BD上，連接 AF、GF、AH，FGAH，FAH=45°，探究線段 AE、BE、HO 之間的數量關系，并證明你的結論LADDAMGGEEBBCC練習題1. 已知：在四邊形 ABCD 中，AD=CD，連接 BD，ABD=30°，BCD=2CBD求證：ADB=CBD+60°；CDLADABMGENBC14FOHFOHFOH2.已知如圖，在直角ABC

11、 中，C=90°,D 為AB 上一點，ADBD, BDC=2BCD,若CD=3,AB=8,求 AD 的長.ABC3.已知如圖，在ABC 中，DE 垂直平分 BC，C=2ABC,DAC=2DAB.求證：AD=ACAEBCD4.如圖，等腰直角ABC 中，AB=AC，點 D 在 BC 上，點 E 在 AB 上，EDB=ADC，點 F 在 AE 的垂直平分線上.（1）求證：EDA=EFA.（2）當DEF =2BAD 時，探究 BD 與 CF 的數量關系，并證明.AEBCFD15D例如：已知：RtABC 和 RtADE,連接 BE，M 是 BE 的中點，求證：CM=DM,CMD=2AEDDBMCAE方法如下：翻折ABC 和AED，ABE、AEB、，此圖為ABB，與AEE繞 A 點的旋轉E'DBMCAEB'H已知 RtABC，BAC=90&