1、成都七中（林蔭校區(qū)）高2015級(jí)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)專題五 命題人：江海兵 審題人：廖學(xué)軍知識(shí)點(diǎn)歸納 一.向量的基本概念與基本運(yùn)算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量 平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量2、向量加法：設(shè)，則+=（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；，但這時(shí)必須“首尾相連”3、向量的減法： 相反向量：與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差。作圖法：可以表示

2、為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)）4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（）； （）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向是任意的5、兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=6、平面向量基本定理：如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底二.平面向量的坐標(biāo)表示 分別為與軸，軸正方向相同的單位向量1平面向量的坐標(biāo)表示：平面內(nèi)的任一向量可表示成，記作=(x,y)。 2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：（1） 若，則（2） 若，則（

3、3）若=(x,y)，則=(x, y) （4）若，則（4）若，則 ，若，則三平面向量的數(shù)量積1兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則·=·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定2向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對(duì)值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：5乘法公式成立： ； 6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：交換律成立：對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知兩個(gè)向量，則·=

4、8向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量與，作=, =,則AOB= （）叫做向量與的夾角cos=當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作10兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：·O平面向量數(shù)量積的性質(zhì)11、向量的三角不等關(guān)系 注意取等條件（共線）1、 教材例題選講1、 點(diǎn)在線段上，且則 2、 已知任意兩個(gè)不共線的向量，作，判斷三點(diǎn)是否共線。3、 判斷是否共線4、 向量成什么位置關(guān)系時(shí)，5、 已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，試求頂點(diǎn)的坐標(biāo) 6、 設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是（1）

5、當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).7、 已知點(diǎn)及，求點(diǎn)的坐標(biāo).8、 已知，且不共線，為 時(shí)，與互相垂直？9、設(shè)，求之間的夾角 10、 已知，求之間的夾角 11、 求之間的夾角 12、 ，求的坐標(biāo) 13、 已知求與垂直的單位向量的坐標(biāo) 14、 如果是兩個(gè)單位向量，那么下列四個(gè)結(jié)論中正確的是 （ ）15、 對(duì)于任意向量，下列命題中正確的是 （ ） 16、 在四邊形中，若，則（ ）18、 設(shè)是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是 （ ）19、教材復(fù)習(xí)參考題A組2，5，8，9，10，11，12，13，B組1，2，3，4，5，6，7，8平面幾何與向量，函數(shù)與向量專題題型一：函數(shù)（三角函數(shù)）向量綜合題題型二：同起點(diǎn)終點(diǎn)共線三向量關(guān)系例2：設(shè)是平面中的四個(gè)點(diǎn)，證明：若，則三點(diǎn)共線，反之亦然.變式練習(xí)1：設(shè)一直線上三點(diǎn)滿足是空間內(nèi)的一點(diǎn)，則可用表示為（ ）題型三：利用共線向量性質(zhì)求線段比例例3.如圖所示，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且與相交于點(diǎn)，