1、 結構動力學大作業 （威爾遜-法） 姓名： 學號： 班級： 專業： 威爾遜-法原理及應用【摘要】在求解單自由度體系振動方程時我們用了常加速度法及線加速度法等數值分析方法。在多自由度體系中，也有類似求解方法，即中心差分法及威爾遜-法。實際上后兩種方法也能求解單自由度體系振動方程。對于數值方法，有三個重要要求：收斂性、穩定性及精度。本文推導了威爾遜-法的公式，并利用MATLAB編程來研究單自由度體系的動力特性。【關鍵詞】威爾遜-法 沖擊荷載 阻尼比【正文】威爾遜-法可以很方便的求解任意荷載作用下單自由度體系振動問題。實際上，當時，威爾遜-法是無條件收斂的。一、威爾遜-法的原理 威爾遜-法是線性加速

2、度法的一種拓展（當時，兩者相同），其基本思路和實現方法是求出在時間段時刻的運動，其中，然后通過內插得到時刻的運動（見圖 1.1）。圖 1.11、公式推導推導由時刻的狀態求時刻的狀態的遞推公式：對積分2、MATLAB源程序：clc;clear;K=input('請輸入結構剛度k(N/m)');M=input('請輸入質量(kg)');C=input('請輸入阻尼(N*s/m)');t=sym('t');%產生符號對象tPt=input('請輸入荷載);Tp=input('請輸入荷載加載時長(s)');Tu=i

3、nput('請輸入需要計算的時間長度(s) ');dt=input('請輸入積分步長(s)');Sita=input('請輸入');uds=0:dt:Tu;%確定各積分步時刻pds=0:dt:Tp;Lu=length(uds);Lp=length(pds);if isa(Pt,'sym')%荷載為函數 P=subs(Pt,t,uds); %將荷載在各時間步離散 if Lu>Lp P(Lp+1:Lu)=0; endelseif isnumeric(Pt)%荷載為散點 if Lu<=Lp P=Pt(1:Lu); else

4、P(1:Lp)=Pt; P(Lp+1:Lu)=0; endendy=zeros(1,Lu);%給位移矩陣分配空間y1=zeros(1,Lu);%給速度矩陣分配空間y2=zeros(1,Lu);%給加速度矩陣分配空間pp=zeros(1,Lu-1);%給廣義力矩陣分配空間yy=zeros(1,Lu-1);%給y(t+theta*t)矩陣分配FF=zeros(1,Lu);%給內力矩陣分配空間y(1)=input('請輸入初位移(m)');y1(1)=input('請輸入初速度(m/s)');%-初始計算-y2(1)=(P(1)-C*y1(1)-K*y(1)/M;%初

5、始加速度FF(1)=P(1)-M*y2(1);l=6/(Sita*dt)2;q=3/(Sita*dt);r=6/(Sita*dt);s=Sita*dt/2; for z=1:Lu-1kk=K+l*M+q*C;pp(z)=P(z)+Sita*(P(z+1)-P(z)+(l*y(z)+r*y1(z)+2*y2(z)*M+(q*y(z)+2*y1(z)+s*y2(z)*C;yy(z)=pp(z)/kk;y2(z+1)=l/Sita*(yy(z)-y(z)-l*dt*y1(z)+(1-3/Sita)*y2(z);y1(z+1)=y1(z)+dt/2*(y2(z+1)+y2(zp);y(z+1)=y(z

6、)+y1(z)*dt+dt*dt/6*(y2(z+1)+2*y2(z);FF(z+1)=P(z+1)-M*y2(z+1);endplot(uds,y,'r'),xlabel('時間 t'),ylabel('位移 y'),title('位移圖形')二、利用威爾遜-法求沖擊荷載下的結構反應1、矩形脈沖研究不同時長脈沖作用下，體系振動位移。取單自由度剛度為1N/m，質量為1/(4*pi2)kg，頻率為2*pi，周期為1s，阻尼c=0，荷載為1N，積分步長為0.1，=1.42，初位移為0，初速度為0時的質點位移時間圖如下：圖2.1 圖2.

7、2 圖2.3 圖2.4 圖2.5 由圖形可看出：當時，最大位移發生在荷載離開前； 當時，最大位移發生在荷載離開后； 當時，最大位移發生在荷載離開時。特別的，當時，后沒有位移。2、其他脈沖圖2.6 負斜率直線圖2.7 正斜率直線圖2.8 二次拋物線圖2.9 5次拋物線三、利用威爾遜-法求不同阻尼下結構自振反應本體系度剛度為1N/m，質量為1/(4*pi2)kg，頻率為2*pi。故其臨界阻尼pi。分別取結構阻尼c為：0.05/pi，0.1/pi，1/pi，1.5/pi，進行計算。計算結果見下圖：圖3.1 圖3.2 圖3.3 圖3.4 由圖形對比可知，當時，阻尼越大，結構運動衰減越快，此時結構處于小阻尼狀態；當體系不能振動，此時的c為臨界阻尼；當時，為超阻尼系統，不發生自由振動。四、利用威爾遜-法求實例已知：如下圖，W=438.18kN;k=40181.1kN/m求：體系位移反應