1、資料內容僅供您學習參考，如有不當之處，請聯系改正或者刪除第7講正弦定理、余弦定理應用舉例【2013年高考會這樣考】考查利用正弦定理、余弦定理解決實際問題中的角度、方向、距離及測量問題.【復習指導】1 .本講聯系生活實例，體會建模過程，掌握運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本方法.2 .加強解三角形及解三角形的實際應用，培養數學建模能力.ajKAOJIZIZHUDAOXUE01”舍意自主導學必考必記；童學相長基礎梳理1 .用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等.2 .實際問題中的常用角（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中

2、，視線在水平線上左的角叫仰角，在水平線下方的角2 / 11叫俯角(如圖(1).(2)(2)方位角指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如8點的方位角為a(如圖(2).(3)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30。，北偏西45。，西偏東60。等.(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數.勿當<臨一個步驟解三角形應用題的一般步驟：(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關系.資料內容僅供您學習參考，如有不當之處，請聯系改正或者刪除(2)根據題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型.(3)根據題意選擇正弦定理或余弦定理求解.(4)將三角形問

3、題還原為實際問題，注意實際問題中的有關單位問題、近似計算的要求等.兩種情形解三角形應用題常有以下兩種情形實際問題經抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2)實際問題經抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解.雙基自測1.(人教A版教材習題改編)如圖，設A,8兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50m,ZACB=45°,ZCAB=105。后，就可以計算出A

4、,8兩點的距離為().解析由正弦定理得二，又I二30。.".AB-50(m).答案A2.從4處望8處的仰角為a,從8處望A處的俯角為及則a,4的關系為().A.a>0B.a=BC.a+/?=90°D.a+夕=180。解析根據仰角與俯角的定義易知夕二夕。答案B3 .若點A在點C的北偏東30。，點8在點C的南偏東60。，且AC=8C,則點A在點8的（）.A.北偏東15°B.北偏西15°C.北偏東10°D.北偏西10°解析如圖.4 .一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上,繼續航行半小時后，看見一燈塔在

5、船的南偏西60。，另一燈塔在船的南偏西75°,則這艘船的速度是每小時（）.A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里解析如圖所示，依題意有N84C=60。,/94。=75°,所以NC4。=aCDA=15°,從而8=01=10（海里），/c8在口948（7中，得48二5（海里），于是這艘船的速度是二10（海里/時）.答案C5.海上有A,B,。三個小島，測得A,8兩島相距10海里，ZBAC=60°,ZA8C=75。,則8,C間的距離是海里.解析由正弦定理知二.解得8c=5（海里）.答案5KAOXIANGTANJIUDAOXI 02 » 考向探究導

6、析研析考向案例突破考向一測量距離問題【例1】A如圖所示,產%為了測量河對岸A,8兩點間的距離，在這岸定一基線C。，現已測出CO=a和NACD=60。，ZBCD=3OZBDC=105°,ZDC=60°,試求AB的長.審題視點在MCD中，求出8C,在中，求出ABO解在AC。中，已知CD=a,ZACD=60°,/AOC=60。,所以4C=a：NBC。=3O°,ZBDC=105%ZCBD=45°在BCD中，由正弦定理可得8C=a在aABC中，已經求得4c和8C,乂因為NAC8=30。，所以利用余弦定理可以求得A,8兩點之間的距離為A8=a。方法總結況1

7、）利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解三角形的模型.（2）利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數學模型的解.【訓練1】如圖，A,8C,。都在同一個與水平面垂直的平面內，B、。為兩島上的兩座燈塔的塔頂，測量船于水面4處測得B點和D點的仰角分別為75。,30。，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°,AC=O.Ikmo試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求8,。的距離.解在4C。中,ND4C=30。，ZADC=600-ZDAC=3009所以CO=AC=0。1km,乂/8。=180。-60。-60。=60。,故。8是4。1。底邊/10的中垂線

8、,所以8。=BAq乂:ZABC=150在A8C中，=,所以A8=(km),同理,BD=(km).故仄。的距離為km.考向二測量高度問題【例2】a如圖，山腳下有一小塔A以在塔底8測得山頂C的仰角為60。,在山頂。測得塔頂A的俯角為45。，已知塔高A8=20m,求山高審題視點過點C作CEIIDB，延長BA交CE于點E,在5EC中建立關系.解如圖，設C0=xm,則4E=x-20m,tan60°=,BD=x(m).在AEC中，x20=x,解得x=10(3+)m.故山高CD為10(3+)m°方法總結(1)測量高度時，要準確理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(畫出)示意圖、

9、明確在哪個三角形內應用正、余弦定理.【訓練2】如圖所示，測量河對岸的塔高A8時，可以選與塔底8在同一水平面內的兩個測點C與。，現測得CD=s,并在點C測得塔頂A的仰角為6,求塔高AB.A解在BCO中，ZCBD=n-a-/3,由正弦定理得=,所以BC=在RtA48C中，AB=BCtanZACB=.考向三正、余弦定理在平面幾何中的綜合應用【例3】a如圖所示，在梯形48C。中，AD/BC,AB=5,AC=9,ZBCA=30°,ZADB=45°,求8。的長.445BnbN皿審題視點由于48=5，乙408=45。,因止匕要求8。，可在乂8。中，由正弦定理求解.關鍵是確定N8AO的正弦

10、值.在&48C中48=5,4。二9,AACB二30。，因此可用正弦定理求出sin乙ABC,再依據乙鉆C與互補確定sinZBAD即可.解在ABC中，AB=5,AC=9,ZBCA=30°.由正弦定理，得=,sinZABC=.*：AD/BC,：.ZBAD=SO°-ZABC,于是sinZBAD=sinZABC=.同理，在AB。中，AB=5,sinZBAD=,NAO8=45。，由正弦定理：=,解得8。=.故8。的長為.方法總結要利用正、余弦定理解決問題，需將多邊形分割成若干個三角形，在分割時.要注意有利于應用正、余弦定理.【訓練3】如圖，在ABC中，已知/8=45。，。是BC

11、邊上的一點，AO=10,AC=14,DC=6,求48的長.AC=14,DC=6,由余弦定理得cos/4£>C=一，AZADC=nO°,AZADB=60°o在ABO中4。=10,N8=45o,NAO8=60。，由正弦定理得=,；A8=5.M 1入 A，" -03» 考題專項突破KAOTIZXUANXIANGTUPO冷艙展示：名師解讀規范解答9如何運用解三角形知識解決實際問【問題研究】（1）解三角形實際應用問題的一般步驟是：審題建模（準確地畫出圖形）一求解一檢驗作答.,（2）三角形應用題常見的類型：，實際問題經抽象概括后、已知量與未知量全部集

12、中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之:，實際問題經抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個三角形、這時需按順序逐步在兩個三角形中求出問題的解實際問題經抽象概括后，涉及的三角形只有一個，但由題目已知條件解此三角形需連續使用正弦定理或余弦定理。，【解決方案】航海、測量問題利用的就是目標在不同時刻的位置數據、這些數據反映在坐標系中就構成了一些三角形，根據這些三角形就可以確定目標在一定的時間內的運動距離，因此解題的關鍵就是通過這些三角形中的已知數據把測量目標歸入到一個可解三角形中。【示例】a（本題滿分12分）如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行.當甲船位于4處時，

13、乙船位于甲船的北偏西105。方向的囪處，此時兩船相距20海里，當中船航行20分鐘到達4處時，乙船航行到中船的北偏西120。方向的電處，此時兩船相距10海里.問:乙船每小時航行多少海里？2甲思維突幼（1）分清已知條件和未知條件（待求）.（2）將問題集中到一個三角形中.（3）利用正、余弦定理求解.解答示范如圖，連接由已知42%=10,A1A230X10,AA2=乂ZAiA2B2=180°-120°=60°,是等邊三角形，二Aj52=AA2=10,由已知8=20,ZBAB2=105°-60°=45°,（8分）在中，由余弦定理得BB=ABAB2Ai8i4&,cos45°=202+（10）2-2X20X10X=200,8182=10。因此，乙船的速度為x60=30（海里/時）.（12分）覆瓦物利用解三角形知識解決實際問題要注意根據條件畫出示意圖,結合示意圖構造三角形.然后轉化為解三角形的問題進行求解.【試一試】如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的8處有一艘漁船遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30。、相距20海里的C處的乙船，現乙船朝北偏東0的方向即沿直線CB前往B處救