1、比喻進行說明。對于分析目的，有從概要分析到詳細分析等好幾個階段。對應于這些分析目的，即使同一個結構，其模型化處理也有不同的地方。把“不同的目的”用“視點的變化”來表現就會感到很容易弄明白。在分析結構整體變化時的情況把視點放置于遠方時的場合在分析結構局部變化時的情況把視點拉近時的場合為此，我們以鐵塔，電車，火箭，和活塞為例，集中在以說明。分析方面具體地加1.鐵塔2.電車3.火箭4.活塞請依次單擊。1.1 鐵塔（組合框架結構的例子）鐵塔是細長的零部件(梁)組合而成的結構我們把這稱為框架結構。類似的結構還有支撐鐵橋和輸電線的鐵塔，大型吊（起重機）的吊桿等等。此外高樓的外觀雖是用馬賽克瓷磚以及水泥覆蓋

2、而組成的外墻，給人以渾厚結實的感覺，然而其內部則是用鋼鐵做成的框架結構。這有點象我們所見到的的骨架或魚類等的骨架結構一樣。還有，在春天嫩葉茂盛的樹木一到秋天則樹葉全落，只見樹干和的身影，真成了孤單輕影的樣子了。到了冬天，因為沒有了樹葉從而它們遭遇不到嚴酷的寒風和積雪，對樹木而言真是減輕了不小的負擔了。各種框架結構讓我們來考慮一風襲來時，鐵塔受到強風的幾乎要歪倒的狀態。這種情況下，鐵塔受到了因橫向的大風而引起的巨大的水平方向的載荷的作用。 觀察位置和模型化現在讓我們以這個受到型。侵襲的鐵塔作為例子，按照分析的目的來考慮各種分析模這于把 CAE 用于分析模型而言，重要的是用結構單元來表現鐵塔的結構

3、模型和用來表現橫向風力的載荷的類型。對于鐵塔的結構模型化過程，以我們所考慮的方法作為例子，結合對它的分析目的，用改變觀察鐵塔的位置來很好地加以說明。即，如果遠遠地從遠方眺望鐵塔，則看不見鐵塔的細微部分，但是由于是分析它的整體變形過程，就可以用大范圍的整體的模型化過程。另一方面，如果靠近鐵塔觀察的話，就能確認它的細節，由于是分析它的局部的變形過程，因此可以進行詳細的模型化過程。使用 CAE 進行分析，即使對于粗略分析也好，對于精細分析也好，都能自由地進行。重要的是要做好符合它分析目的所用的模型的模型過程。從遠處眺望鐵塔我們來考慮一下想大概知道鐵塔的整體強度的情況。這種場合，如果從遠處眺望鐵塔就能

4、粗略地把整個鐵塔作為一個塔柱而把握住。即由于把鐵塔看作了一根部件，我們當然可以把整個鐵塔轉換成一根梁的材料力學模型，即置換模型。本來，應該取作異形剖面的梁模型的，這里我們大膽地取為具有均勻剖面的梁模型來分析。還有，吹向鐵塔的狂風，可以轉換成作用在水平方向的分布載荷。由此，作為鐵塔的整體強度而作的模型，當然可以置換成材料力學中有相同作用的具有分布載荷的懸臂梁模型（一端固定一端的梁模型）。將鐵塔作為 1 根梁的模型這個模型，即使不特別利用 CAE，而用材料力學公式也能求出結構形成的變形和內力的分布。在對這個鐵塔問題轉換成等價的梁模型時，準備和實際結構等價的剖面特性，即剖面面積和剖面慣性矩等的梁模型

5、和推算等效風載荷是很重要的。推算等效風載荷時，要根據現場情況有必要借助材料力學的或設計規范手冊的公式，計算式確定，是很費工夫的一件事。不過，因為此處所示的問題可以轉換成簡單問題，使用公式就能立即求出變形和等，可以說是相當方便的。在實際設計中，也有這種情況，由 CAE 有限元法分析所得的結果反過來對原來結構所作的材料力學模型計算它的等效剖面慣性矩和剖面面積。在設計的初期，用材料力學所作的簡單模型，很簡易選定結構的構造形式和結構，并且作為能夠靈活應付設計上的各種各樣變更的一種，確實是非常方便的。 稍微靠近點眺望鐵塔這回讓我們稍微走近點，來眺望鐵塔看看。能看到鐵塔是由許多細長的構件組合而成的框架結構

6、。這樣的結構一經確認，我們也就想要知道隨著框架的整體變形那些一根一根的構件它們的位移和的情況。這種場合下，利用 CAE 形成的有限元模型并進行分析真是非常便利。即，把各個構件換成供有限元模型所用的梁單元，這樣把所有單元集合起來就形成了鐵塔的整體模型。此時和上面所說的把整個鐵塔大膽的用一根材料力學模型來作模型化時一樣，在把各個構件轉換單元時，有必要先算出各個構件有關的近似的剖面特性。但是，象這樣的框架結構，因為大多數場合是由好幾種種類的的構件組合起來而形成整個結構的，所以只要算這幾種類型就足夠了。而吹向鐵塔的大風，只要把它們轉換成作用在梁單元結合點（把這稱為節點）上的集中載荷。 再走近一點眺望鐵

7、塔如果再走近一點來眺望鐵塔，則我們就會看清楚鐵塔是由細長的板條狀的構件的呢。甚至連接合處的接頭狀態也能清晰地看見。那么讓我們把目光集中在接頭附近吧。對于接頭構件那樣的形狀，在局部起了變化，即使只有一點點力起作用，由于集中的原因也會產生很大的。在把接頭周圍的強度作為分析目的時，要將鐵塔的接頭構件以及與接頭連接的構件切出來，并且把這些構件用小塊的板狀有限單元模型（把它稱為板單元）來處理，再把它們集合起來形成一個結構模型。對鐵塔用板單元來模擬這種場合荷的模型化處理是不能把風作為直接載荷來施加的，而是要用“從遙遠處眺望鐵塔”中使用的分析模型而得到的結果。也即，要和現在作為分析對象而切出的范圍一樣（接頭

8、和它周圍的部件）把“從遙遠處眺望鐵塔”使用的分析模型也切出來，并把這些切口處產生的和位移作為載荷施加上去。這種模型化過程，就和使用放大鏡來放大物體時的要領一樣，放大希望進行詳細分析的區域，所以把這種模型化的過程稱為“局部放大”。這種分析，因為能夠求出部件接頭等處的局部和應變，所以要比前面的“從遙遠處眺望鐵塔”中用梁單元而求出的有更高的精度。再更近一點眺望鐵塔讓我們再走近到用手幾乎可以觸摸的地方。我們可以看清鐵塔的細長的構件是用電焊焊接裝配起來的。焊接部分形成了復雜的形狀，這部分因為會產生度校合。集中，所以在設計時特別要進行強象焊接部分的強度以 3 維集中區域的強度作為分析目的時，我們使用在“再

9、稍微靠近點眺望鐵塔” 中所説的局部放大的辦法來進行模型化處理。切出合適的區域，對它們采用細小的立體形狀的有限單元（把它稱為塊體單元），并組合起來形成結構的模型。載荷也同樣使用“再稍微靠近點眺望鐵塔” 所得的結果。這種分析，因為能夠求出細長構件的3 維流和變形，所以能求得比用梁單元和板單元形成的結構模型更加詳細的結果。在考慮模型化時，首先要考慮的是分析究竟要做到什么地步？另外，必須作出滿足這種要求的模型。把鐵塔用 3 維實體單元來作模型化1.2 電車（板架結構的例子）電車是用薄板制成的箱形狀的結構，這樣的結構一般稱為板架結構。類似的結構還有船舶。 電車（板架結構） 考慮一下電車（板架結構）的模型

10、化早上上班時的擁擠的確夠嗆。其中，特別是乘在客滿的電車里簡直太累了。然而對電車而言，其實這種狀況一樣是夠嗆的。因為，既要保證滿員乘客的安全又必須快速運送。但是，要重視安全而使結構堅固就要使車廂的重量變重，為了確保速度則必須要具有更大的動力，從費用和效率方面來講也未必有效。這種場合使用 CAE 進行研究非常有效。也就是，用合適的費用（重量）設計出安全性高的結構作為設計目標，靈活應用 CAE當然是應該可以的。這里，讓我們來考慮作為基本分析所用的有關的模型化過程。從遠處眺望電車來考慮它的模型化只是相當粗略的，然而可以得到設計上想要知道的數據。例如，根據乘客的重量和車廂重量，車廂到底下垂到什么程度？支

11、撐全體重量的車輪附近受到多大的作用力？等等。靠近一點來眺望電車的話，細節處也能看見，細節部分的模型化也可以進行了。這種模型化考慮的方法，跟鐵塔的模型化考慮的方法是一樣的。載滿乘客的電車行駛在軌道上 遙遠處眺望電車想要粗略地知道電車的強度時可以從遠處眺望電車。對于窗戶和門之類的結構可以不必在意。我們看到電車是一根桿，也可以看到它的前輪和后輪正支撐著這根桿的模樣。這正和材料力學中所見到的一個樣，是一個兩支持的梁模型。兩支持的梁模型它的載荷是車廂和乘客重量的總和乘客中有婦女和小學生，或者作為例外也可能乘有出去巡回表演的相撲力士，然而因為是從遠處眺望，一個一個沒法，只能知道是客滿了的電車了。從而把客滿

12、時的重量作為分布載荷進行模型化處理。車廂重量分布載荷車廂重量乗客重量分布載荷將電車作為一根梁而模型化電車（板架結構）的情況和鐵塔（框架結構）的景況一樣，也必須給出材料力學梁模型中與電車結構等效的剖面特性，這個計算也是相當費工夫的，但是能從材料力學公式中立即求出和變形。 從近處眺望電車稍微靠近點來眺望電車。我們可以看清電車象個箱子的形狀。另外，窗戶和門也可以看得清清楚楚的。這里處理模型時，窗戶和門基本上對強度不起作用而模型化的對象，把它排除在外，這樣做開口部分的模型。根據這樣的處理，可以使強度具有余度，使設計者能立足于安全的立場來進行設計。一般來說，具有開口的結構，它的角上要產生集中。象電車這種

13、情況，在設計的時候也應該充分注意這種集中的現象。這時如果使用板單元將結構進行模型化的話就能掌握集中的現象。開口的角落部分，因為是點很重要。急劇變化的地方，這些地方要用相當小的板單元來模擬，這一 將電車用板單元形成的模型 其次，讓我們來考慮載荷的模型化。對于板單元，根據給出的板重量密度，它具有算出單元重量的功能。使用了這個功能的話，就能夠自動地確定電車外板部分相應的重量載荷。還有，坐位等等的附屬設備，定義成它們所安裝范圍內的集中載荷或板單元的分布載荷就行了。而乘客的重量考慮到種種型式，把它們處理成分布載荷中的一種均勻面載荷。作為板單元的功能，可以把載荷定義成載荷。那么，最后只剩下支撐電車部分的模

14、型化過程了。這也就是支撐箱型的車輛本身和動力設備以及空調設備等大型的重量的結構。如果把它們想作運送集裝箱的貨物列車就容易明白了。這是不是也要同樣使用板單元來作模型呢？根據情況簡單地用等效梁單元來作模型也是有的。載荷也一樣，以集中載荷或分布載荷來定義。重要的是，全部重量都由前后車輪支撐著。這里因為車輪的強度沒有作為校合對象故不對車輪部分進行模型化處理，而只作為支持條件來處理。分析時必須注意的是支持部分的總的反力要與設定的車廂和乘客的總重量相等。用這個分析模型可以求出考慮了開口后的電車的，變形和應變，可以得到比“從遙遠處眺望電車”所用的模型具有更高精度的態。 再更近一點來觀察電車再近一點來觀察電車

15、看看。這一回我們來考慮先前作為支持條件而作模型化的車輪的有關情況。車輪因為支撐著電車的全部重量，可以說對于確保乘客安全及高速運送是個重要的高強度的零部件。在校核車輪的強度時，把車輪用實體單元組合起來進行模型化處理。用實體單元來作模型化的車輪 另外，把電車和乘客的重量作為載荷起作用就行了。如果必要時，也要把電車啟動時或緊急停車時的動態因素考慮為載荷起作用。1.3 火箭（殼結構例子）火箭啊容器或室內球場的屋頂等等都做成薄殼的園筒形或球形結構。這樣的結構稱為殼結構。火箭（殼結構）類似的結構還有飛機和石油儲油罐等等。 火箭的模型化吹向發射以后的火箭，火箭就邊方向邊向著目的地飛去。我們稱這為姿態。姿態中

16、的火箭，受到很大的彎曲載荷的作用。這里，為了分析受到作用的火箭的強度，來討論一下 CAE 分析所用的模型的轉換過程。已經讀到這里的讀者想來也已明白了。象以前所做的一樣，結合分析目的，試試變換眺望火箭的位置。從遙遠處來眺望火箭，則是在看到整個火箭而進行簡略的模型化處理時的情況。在近處來眺望火箭，則是在進行局部的詳細的模型化處理時的情況。 從遙遠處來眺望火箭以搞清火箭的似近強度為目的，就從遠處來眺望火箭。如此，可以把火箭轉化成一支鉛筆那樣。從鉛筆那樣，容易想像到作為近似的模型把整個火箭轉換單元的一個集合體。把火箭處理單元模型的集合體梁單元的剖面特性，從適當位置處的火箭的橫剖面結構中計算出來。吹向火

17、箭的可以轉換成作用在梁單元節點上的水平的載荷，而慣性力可以轉化成對應于它所在的作用在節點上的載荷。 作用于火箭的水平載荷 將火箭模型化處理這之后，就可以從結構力學的教科書中找到梁的公式計算出來就行了這種情況下的公式在的教科書中或許沒有登出。火箭是懸浮在空中的。如果有關沒有支承情況上的梁沒有寫在書上的話，這一次就放一放吧。 在近處眺望火箭在近處眺望火箭，可以認清火箭的殼體是園筒形狀的，在近處眺望火箭，并且因為加強而用了板條狀和環狀樣的骨架（稱為加強筋 lib）。（但，遺憾的是這種加強材因為放在殼體的內側，從外面無法看到）。在園筒形的外殼和加強它們的加強構件相結合的部位容易產生位。集中，是進行強度

18、校核時的重點部為此來考慮一下比用鉛筆那樣太粗糙地模型化處理再稍微詳細一點來進行模型化處理。這種情況下，結構的模型化這樣來做，將外殼部分用殼單元，那么板條和骨架等的加強構件用梁單元怎樣？吹向火箭的，轉化成作用在殼單元和梁單元結合部的節點上的水平的集中載荷就可以了。作用在節點上的水平載荷 將火箭處理成殼單元和梁單元模型 再近一點眺望火箭再近一點眺望火箭，則從火箭本身到助推發結構的細節處都可以看得到。例如，殼體部分和助推發的連接部分因為是容易發生集中的部位，需要充分進行校核。象殼體與助推發方法就很方便。那樣的連接部分，為了評價局部區域的 3 維狀態用局部放大的切出想要評價的部位及它附近的部位，把這些

19、結構作為細密的立體單元的集合體來進行模型化處理。載荷就用“在近處眺望火箭”分析所得的。這個分析模型，可以求出火箭構件的 3 維和應變及位移。但是和“在近處眺望火箭”構的分析。用的殼單元和梁單元來作模型化的分析模型相比可以作更細的局部結 將火箭模型化為實體單元1.4 活塞（實體形狀的例子）在此以前闡述了即使同一個結構在做模型化法。應于不同的分析目的有幾個模型化的方特別要注意的對于大型結構冒冒失失地把整個結構模型的單元都劃得很密很細，很有可能整體計算就不能進行下去。那么，分析零部件的時候怎么做呢？這里讓我們來考慮一下發的活塞。在看得見的范圍內離得遠一點，和離得近一點所見到的外觀沒有太大的變化。這種

20、一般的塊狀 3 維結構，用實體單元將整個結構，做成接近本來形狀的有限元模型。這個模型因為很小，即使全部用實體單元來做對于計算機分析規模來說也完全容納得下。 活塞的形狀 活塞的形狀和單元劃分圖另外，對于這樣的構造是不是就不能用梁單元來做模型？！至此得到各種各樣觀點和做法訓練的各位讀者，觀察和思考一下的話，應該可以看出也能把它組梁的模型。就象這樣。怎么樣？對于使用板單元來做模型的情況請大家考慮一下，試試看。象這樣來作模型化，并不能說只有這些，也沒有一種固定的方法。詳細的模型化要做的話也可以做，盡管可以把單元分得很細也能分析，但模型因而變得很大，很化工夫。相反，如果作成簡略的模型，細小的部位就搞不清

21、楚，然而模型制作所要的時間以及計算的時間就會變少。那么簡單和復雜做到什么程度才好呢？只有從現在起不斷地積累經驗會逐漸地體會到。模型化而言，不能說只有這些，也沒有確定的方法。所謂“具體問題具體分析”，做到必要的最低限度的模型化就行。這就是做的有限元模型的要領之一。2.彈簧模型和有限元法這里，用學習力學時最先出現的梁模型，來說明有限元法基本的考慮方法和經常使用的術語的意思。 彈簧的行為和彈簧模型彈簧，一有作用力就伸長和縮短起來。對應于力的大小顯示了一定的變形過程。最能發揮彈簧這個特性的，是在以計量和吸收變形等為目的的體重計和彈簧床等等的日用品中頻頻得到利用。一方面，出現在力學中的彈簧模型，是伸長關

22、系理想化表現的最基本的力學模型之一。這個模型中，約定力的彈簧伸長的同一個方向。以下所述的彈簧，考慮為所假定的這種彈簧模型。就象大家知道的那樣，在彈簧上掛上重物，則彈簧的長度比沒有重物狀態下要變得長。這個變長的量被稱為伸長，只要重物（的重量）不變，伸長也不變。彈簧然后，再加上一個同樣重的重物試試看。伸長就增加到 2 倍了。同樣地掛上 3 個重物的話，伸長就增加到 3 倍。這一次，我們來換一下彈簧試試看。對于稍稍硬一點的彈簧，掛上和先前一樣的重物試試。所謂硬的彈簧，也就是不容易伸長的彈簧。換句話說，（對于硬彈簧）為得到一樣的伸長要有大一點的重物，也即要有大一點的力。其實，對于伸長和力的關系有一個規

23、律決定的。這個關系用公式表示就成如下形式。此處，F 作為重物的重量也意味著力，在有限元分析中稱為載荷。k，意味著彈簧的強度，稱為彈簧系數，在有限元分析中稱為。u 意味著彈簧的伸長，在有限元分析中被稱為位移。這個公式稱為虎克定律，力學界里非常著名。F = u其實，虎克定律已成為有限元分析的重要理論。有限元分析重物的重量載荷F彈簧系數位移u彈簧的伸長虎克定律F = ku彈簧模型的行為，被稱為虎克定律，用彈簧系伸長的關系。數的數學公式可以表示彈簧的自由度在這里讓我們來考慮自由度問題。所謂自由度用語言進行嚴密的定義，如果能夠的話我們想盡量避免，而想用形象化的辦法作為來說明。另外我們也試著從所謂“自由”

24、開始來說明。對于自由一定是作為對象所屬的事物（事情）而言。而且，總是伴隨著對象的場合，意志和行動的，多數情況是把活生生的生物作為對象的。譬如，對提倡尊重基本象，就是人。這樣的背景，所說到的人類之間大家平等，自由，這樣的對到了春天的話，公園或庭園內，還有菜花或紫云英花的花圃里自由自在地來回飛翔的蝴蝶和蜜蜂之類。它們或許并不由它們的意志而是由它們的本能所趨，但不管怎樣總是自由地，華麗地飛翔著。某保護團體，他們則主張不限于人類，還要從狗，貓等等的寵物到大海中悠閑游泳著的鯨作為對象給予保護和自由。總之不管怎樣，作為對象的人或動物，在發生行動和行為時沒有從其他地方來的限制，依他或它所想的那樣任意行動，我

25、們把這作為自由這一術語的意思來進行定義吧。那么和所說的自由這一術語相對立，就有所謂約束，限制這樣相反的說法，相互間具有密切的關系。也許是稍微老一點的說發，以前大家是初中生或高中生的時候是不是這樣的經驗，即服裝啦長發啦以及等等都由校規作了各種各樣的限制？自由這種東西雖然沒有大小和長度的概念，然而由限制的個數和其易難性，可以測量它自由的程度。是不是自由，表現了哪一個是不是自由的情況和程度，而作為表示其尺度的說法，我們將引入所謂自由度這一術語。舉例來說，有一妻管A 氏回家要用打照呼，只能使用所掌握的每月規定的零用。錢，除工作以外，在外留宿完全不另有一位，是單身漢 B 氏，象加班加到深更半夜也好，一下

26、和同事出入街也好，做什么都行。但是的身體狀況和當時錢包中的鈔票限制了他。還有一位，得住妻子的 C 氏，有時交際應酬很晚回家，即使這樣十次中只有一次往家里打，有時應酬完了時手提著回家，總之這樣已經成了習慣，由于也難得這樣晚，到也得到方面的信賴。不過，對于三位的自由，多少有幾個約束限制著。想象中，自由度最大的一個是 B 氏，相反 A 氏的自由度最小，想想看，大家是怎么考慮的？象這樣，說到自由度，作為對象的人或動物，盡管可自由地任意地活動，但讓我們也來考慮一下基于幾個約束的基礎上自由行動的程度。彈簧這一問題，給它加上載荷，想知道它此時的伸長，在這種情況下對彈簧的卷曲狀態或間隔的變化，并不太感。如果著

27、眼于只在彈簧的頂端作為掛重物的部位，則就能知道彈簧的伸長。也就是，將彈簧頂端部分的點用可以的。來代表（用來模型化）， 研究這個點的運動情況應該是好了，在這里對這一點，象 A 先生和 B 先生或象蝴蝶那樣，給它隨便來回活動的自由的權利。點，因為獲得了自由的權利，所以前后，左右以及上下哪個方向都能夠運動，但不能說這種說法代表了此處所討論的彈簧問題。之所以是這樣，是因為在這個問題中由于彈簧端部的重錘僅僅引起上下方向的移動。從而彈簧模型中用來代表時，這個點必須這樣做，即約束掉這個點的前后方向，左右方向的運動，而上下方向必須能夠自由地移動。對于 CAE 而言，使用這樣的說法，即把這樣的點稱為“具有上下方

28、向自由度的點”。一般的說，力學模型中的彈簧模型，這樣來定義的，它是具有和力的方向一樣的伸長方向，以及具有一個自由度的模型。另外，使用坐標系的話，就能具體地表示點和模型的自由度。在 3 維坐標系里定義點的話，沒有約束限制的情況下，具有 3 個軸中每個軸的移動和饒該軸轉動的共計 6 個的自由度。另外，可以這樣來說明用來代表彈簧模型的點，因為受到限制，使用坐標系時則“該模型具有 x方向的自由度，yz 方向的自由度受到約束”。前面所說，載荷作用于彈簧的端部（下端部）位置，僅以一點來代表，現在準備再用一點 ，來考慮 2 個點的彈簧問題。此時點，被放置在上部，在固定彈簧的一端上（上端）。這個點因為被固定住

29、，對于任何的運動都必須約束掉。也就是，表現為度。用 2 個點來建模，它們之間的距離表示成包含伸長在內的度。把彈簧問題以點來模型化，有關這個點所具有的自由度已經作了說明。而有限元法中被稱為單元的節點的數個點，具有完全相同概念的自由度，和點起著同樣的作用。用有限元法來求對應于節點的各個自由度的位移和轉角，同時算出和應變。彈簧的自由度僅一個，它的載荷作用的方向。對于在 3移動和里的 1 個點，定義了表示 3 個軸方向的軸旋轉的共計 6 個成分的自由度。有限元法求出各個節點的自由度的成分，計算出變形和。 約束決定問題！約束這一話已經出現了好幾次，現在再稍微具體地作一下說明仍以彈簧為例，象所說明的那樣，

30、彈簧的上端被固定在天花板上，掛上重錘彈簧則伸長，這正符合彈簧的本來的作用。對于彈簧，載荷所作用著的下端已經說過了是重要的，而固定在天花板上的另一端上（上端）也很重要。上端如不作固定，彈簧由于重錘就會落下來。本來，彈簧因伸長而起作用，然而如果說端部的約束決定彈簧的這個功能也不過分。上端約束沒有的話.，因看到蘋果從樹枝上掉落下來的情景，就作出了偉大的發現這一幕則很有名，但如果即使看到蘋果從樹枝上掉落下來的情景也提不起任何，會怎么樣呢？以下的例子是材料力學中經常所使用的。同一構件具有相同的載荷，然而端部的約束條件不同的話，則在載荷點的位移量也總是不同的。當然，因為變形不同，構件內部的力的分布，即的分

31、布在各個例子中也各不相同。單手拿著紙片雙手拿著紙片有限元法，是把實際形狀的模型用有限個有限單元的集合體來建立模型，這種模型是把形成各個單元的節點連續地連接起來。也就是，有限元模型，可以這樣來考慮，把形狀模型用很多個節點（和至今說到的點是同樣性質）進行置換。因而，在使用有限元法的時候，同彈簧的例子或材料力學的例子一樣，重要的是要符合求解的問題對節點的自由度進行正確的約束。約束，根據對它處理方法的不同而會產生不同的現象，有必要引起充分的注意。在有限元法中，約束對于模型化的定義具有重要意義，也就是被稱為約束條件或邊界條件的處理，在進行模型化處理的過程中，具有重要的位置。 約束，就是消滅自由度！？不限

32、于彈簧問題，對于構件或的形狀因載荷而變形，要校核它的這種問題，對于建模用到的點或節點的自由度一定要進行約束。大家要記住，為使用 CAE，用任何法來作有限元模型，即使留意設定了載荷和材料的數據，而沒有進行約束處理的話，是不能解決問題的。鍵入 START 命令，不到幾秒鐘的時間，系統就出現出錯信息而返回，結果什么也沒得到空手而歸。由于載荷的作用，部件要變形，它的某一部位應該被固定住。如果是彈簧，則是在天花板上被固定住的彈簧這一端，如果是材料力學所用的梁模型，那的端部。使用有限元法，對于求解構件的變形，等的彈性問題中，對應于有限元模型，與被固定住的部位相當的節點或者幾個節點的組必須進行約束處理。假如

33、沒有約束的話，象彈簧要落下來一樣，既沒有伸長也沒有收縮整個模型將會朝力的方向移動或轉動，完全不對頭了。（在運動力學中，這種現象被稱為剛體運動或剛體問題。作為剛體而移動作為彈性體而變形將各種各樣現象轉換成模型于自由度和自由度的約束處理，根據它的不同設置而產生的現象也不同，所以是非常重要的。有時候，也把拘留說粗魯的人說成消滅自由度！，不是可以形象化得到理解了嗎？！對于彈性等的問題使用有限元法的時候，必須對結構模型一部分的自由度進行約束，以確定產生剛體變形那樣的約束條件。多個彈簧和彈簧模型的這里，我們把彈簧的數量變為 2 個來考慮一下這樣的問題。2 個彈簧由于對這兩個彈簧施加的是一個力，象前一個問題

34、一樣使用虎克定律則成如下所表示的那樣。對于 2，3 個彈簧的話則用計算器即可解決問題，然而當數量增加到 100 個，200 個，或對于串聯和并聯組合起來的時候，再用計算器來求解簡直是不可能的。彈簧模型 用虎克定律以公式來表示非常方便。但是，彈簧模型為多個彈簧時就變得稍微復雜一些。在這樣的場合下寧可使用有限元法就能很容易地解決。有限元法，在單元模型建立的同時，以位移作為未知數，用同虎克定律相同的形式作出代數方程式。 彈簧和模型化的具體步驟到此為止，我們已經對彈簧的行為用彈簧模型作了種種說明。同時，也稍稍接觸了和有限元法有關的內容（術語或概念）。這一節，我們來試試看，考慮一下如果使用有限元法來求解

35、彈簧時它的建模過程，即進行有限元法求解時的具體步驟。將操作過程粗略地劃分，則可有如下圖那樣的各個項目。這些項目，在系統中使用了被稱為前后處理部分的處理功能。由于有各種各樣的系統，因此一般而言這種處理過程是沒有一定的次序的，當然也就不必刻意追求這種組織形式。但是，有了這種順序總是好的。如此說來，對于用戶，倒是成了一件麻煩的事了。那么，這里按照以下所示步驟來進行模型化處理，即進行分析數據的制成。為制作幾何形狀，坐標系是必需的。與 CAD 一樣的概念，也有總體坐標（或基礎坐標），把模型設置在一個坐標系中。這里取彈簧被固定住的上端為原點，伸長x 軸，畫面的右側為 y 軸，而指向畫面的讀者z 軸。（對這

36、個問題用 1 維坐標系就足夠了，而一般的問題則考慮用均可適用的 3維坐標系。） 彈簧 形成供有限元法所用的幾何模型。在彈簧的例子中以幾何模型來表示的或許有一點點不容易搞得懂。一般而言，有限元法所用的幾何模型，有一個竅門，以不破壞整體形狀來作成。具體來說，代表性長度為數米程度的忽略而作成幾何模型。或結構作為對象時，數厘米的園弧面，很小的園孔等等可以如果是用實體造形作成的幾何形狀時，則要取出其詳細的特征形狀。一個一個的單元必須借助于節點連續地將它們連接起來。以幾何模型為原型，生成作為有限元法基礎的單元及節點。這樣將幾何模型借助于節點把單元連續地連接起來，形成為單元的集合體，作為這樣的分析模型(有限

37、元模型)就可使用了。把這種具體的操作稱為單元劃分或者網格劃分，是前處理部分的一個重要功能之一。為了弄清彈簧的變形過程，將其有限元模型變為如下那樣。 單元劃分模型將彈簧的形狀這樣來作模型化處理：以 2 個節點（節點 A、節點 B）和由這 2 個節點連接而形成直線狀的連線（line）而成的單元。為了搞清彈簧的伸長，如果知道了下端（B）的移動數量就足夠了。所以這里有一個單元的模型就行了。沒有必要對彈簧的粗細和彎曲形狀原封不動地進行模型化處理。但是，被模型化了的單元要能表示彈簧總體的長度。相對于有限元模型的各個單元，設置單元類型和單元特性以及材料特性。有限元模型已由 2 個節點和一個單元形成。而且，所

38、適用的單元類型選用能夠表現彈簧特性的彈簧單元。這通常可使用程序系統，從它所備有的單元類型菜單中進行挑選就行了。單元的特性僅有形狀是不夠的，這就得收料。例如，板單元以表面形狀是能夠識別它的形狀，但它的厚薄程度卻不能識別。這樣，板厚的資料沒有的話，則在進行有限元分析時，實際上一定要計算它的體積的，然而就。同樣的，象梁單元這樣的 1 維單元一定要有剖面形狀的資料（剖面面積、剖面慣性矩等等）。（這些因為在后面也要具體學到，這里不必太留意）。材料特性就是設置成為模型對象的和結構的材料特性。在使用 CAD 或 CAM 系統時，材料特性并不需要。但是，對于 CAE 因為要求或結構的變形和對它的強度進行校核為

39、目的，所以一定要設置所用的材料特性數據。根據所使用的單元，所設置的材料特性的內容也不同，一般而言，有彈性模量，泊松比，質量密度，線膨脹系數等。對于分析，則必須有彈性模量，泊松比。由溫度變化來進行分析的，還必須有線膨脹系數。質量密度，以重量作為載荷（自重）起作用時或者在特征值分析等等須要有的。本例簧單元的材料特性以彈簧系數 10kg/mm 進行設置。在這里使用的是彈簧單元的情況，不必設置彈性模量和泊松比，只要把彈簧系數設置為單元的。到此，這個單元已經不是簡單的一條線了，而是被設置為彈簧了。對模型設置符合所求問題的約束條件（也有稱為邊界條件的）。約束條件要加在模型的節點上。在總體坐標系中被定義的

40、2 個節點，6 個自由度首先要一個一個進行設置。換句話說，實際中的彈簧，因為上端被固定住了，模型中的節點 A 的 6 個自由度必須全部約束住。另外，彈簧的下端點應該只有上下方向（總體坐標系中 x 軸方向）可以移動，所以模型中節點B 除上下方向的自由度以外，要約束掉左右及旋轉等計 5 個的自由度。對模型設置符合所求問題的載荷條件。被掛在彈簧上的重物在模型中設置為具有大小和方向的矢量。在本例情況中，載荷它的大小為 10kgf 作為作用在 x 軸正方向的集中載荷而設置在節點 B 上。以上這些，完成了有限元的模型處理。 圓棒和彈簧模型彈簧的行為，用力學中的彈簧模型，這時，使用虎克定律就能知道它的彈簧的

41、行為。這一次，彈簧換成軟質鋼材的圓棒，同樣的來考慮一下有關圓棒的伸長問題。彈簧系數：K剖面面積：A長：L重量：F重量：F圓棒和重錘彈簧和重錘圓棒的形狀取為剖面面積 A 和長 L，重錘與彈簧問題一樣取為 F。對于這個問題是求其伸長（所用的材料性質假定要比伸長相比，已經是用肉眼都無法確認的非常小的量。為柔軟的木材）與彈簧問題的通常，要確認這樣微小的量是用檢測儀器將這種伸長轉變為電信號。另外，對這個問題采用彈簧模型所用的虎克定律的話，則和彈簧問題一樣可以推算出它的伸長。即，因為即使象圓棒也可以象彈簧一樣把它轉換成彈簧模型，而且并不要象準備檢測儀之類的花很多工夫，只要用虎克定律就能知道它的伸長。對此，

42、我們用材料力學中的重要公式和應變關系式，則成如下面具體所顯示那樣。象圓棒那樣同一材料性質的構件，在彈性范圍內把彈性模量（E）材料固有特性而作為，則（）和應變（）存在比例關系，即：此外，、應變為：這里，分別以 A 表示構件的剖面面積，L 表示為構件的長，F 為載荷，則 U 表示伸長。由以式也可表示為： = /A = /L = E即，圓棒問題也可以轉換為彈簧模型的。對彈簧模型只要有表示彈簧強度的彈簧系數 K（）就可推算出彈簧的伸長，而對圓棒，就必須有它的形狀（長度和剖面面積）和材料的彈性模量。即使對圓棒也可用和彈簧模型同樣的考慮方法，推算出它的伸長。作為考慮的基本方法即是用和應變關系所表示的虎克定

43、律。為了求出圓棒的，一定要有它的形狀和彈性模量。 變截面圓棒和彈簧模型現在來考慮一下具有連續變化的形狀的圓棒。變截面圓棒圓棒的剖面面積，因為沿著長度方向起著變化，所以不能把它轉換成 1 個彈簧模型。但是，如果我們假定不同強弱的彈簧連續地聯結起來的話則可以把它用多個彈簧模型來處理和解決問題。 變截面圓棒 對這個問題用前面“多個彈簧和彈簧模型的形成成”所說明的考慮方法，就可以推算出圓棒的伸長。即使對剖面面積變化的構件，也可以把它取為彈簧模型的集合體來處理并解決問題。 變截面圓棒和有限元模型學到這里我們能夠取出彈簧和圓棒靈活地運用可推算它們伸長的彈簧模型了。并且已經把彈簧模型轉換成單一的有限元模型。

44、用同樣的方法，也能夠把圓棒置換限元模型。聰明的讀者或許也已經留意到這一點，事實上（用于結構分析的）有限元法的本質就是彈簧模型！就是這樣。此處，考慮變截面圓棒的問題作為例子對它作有限元的模型化處理。變截面圓棒我們仍然按照彈簧的模型化處理時的過程來對它進行處理。同彈簧問題一樣，取總體坐標系，把圓棒所固定住的上端定為原點，它伸長的方向定為 x 軸、畫面的右側為 y 軸，則指向所見畫面的讀者方向取為 z 軸這樣的 3 維坐標來考慮。因為圓棒的剖面面積在長度方向并不一樣而是有變化的，象彈簧那樣用 1 個單元對它的形狀進行模型化處理則稍微太粗糙了點。現在這樣來做，把圓棒劃分成 5 個區間，每一個區間考慮為

45、具有相同剖面面積的圓棒。對各個區間內取平均剖面面積（A1A5）。這樣如果能畫出它的模型化處理的圖像的話，則轉換成幾何模型也就很容易了。P1P6 是節點號、E1E5 為單元編號。將園棒的上端點定義為 P1，掛載荷的下端點定義為 P6，而節點 P2P5 在它們之間進行定義。像這樣做成等間距并沒有特別的意義，如果說這是習慣等間距處理。便容易的方法倒不如說大家都單元的類型用傳遞軸向力的桿單元。因為是等間距分割的單元，所以長度全部一樣，并且必須對各個單元定義不同的剖面面積。對 E1E5 的單元分別設置它的剖面面積為 A1A5。用有限元法所設置的特性，一個單元可以并只能定義唯一一種數值。也即，對于 1 個

46、單元不應該設置多個剖面面積數據，單元本身與單元特性有好，與材料特性有好，都是所謂“唯一”的。 單元模型的劃分即使被劃分了的園棒的剖面，也并不是相同的，然而作為單元為了設置它的剖面面積，就把它用平均剖面面積來設置。還有，作為材料特性的彈性模量 E，則對所有的單元進行設置，在彈簧單元的情況為單元特性直接用彈簧系數 K（）進行設置，而對于桿單元，則根據單元形狀（長度，在單元生成時決定，剖面面積以前面所說的作為單元特性的剖面面積進行設置）和彈性模量由程序計算出。與彈簧問題一樣，將上部端點、即節點 P1 的所有自由度（x 軸，y 軸，z 軸方向的位移和旋轉自由度）約束掉。其它節點（P2P6），將構件的伸

47、長方向即 x 軸度全部約束掉。的自由度自由，剩下的 5 個自由載荷設在下部端點的節點 P6 上，大小為 F，作為在 x 軸的+方向的集中載荷起作用。以上那樣，就可以形成分析變截面園棒的伸長而用的有限元模型。在這個過程中，如果使單元的數量增加的話，就能做到剖面的變化狀況更加詳細的模型，這一點也請注意。有限元法如果使單元數增加的話（同時節點數也增加），是能夠生成更詳細的接近實際形狀的模型，然而另一方面也有要化費制作的工夫，對于運算處理和圖形處理需要的時間這樣的缺點。無論怎樣，單元數和結果的精度是不成比例的，因此也有這種說法，無謂地使單元的數量增加也并不是一件良策。適當的單元劃分方法和單元數，需要某

48、種程度的經驗和一點必要的感覺。單元模型的劃分3有限元法分析的實例在前一章里對有限元法和與單純彈簧模型有密切關系的問題進行了說明，也對經常用到的術語進行了說明。現在，讓我們再用稍微具體一點的例子來考慮一下有限元法分析的種種模型化過程以及與它有關的分析步驟 從身邊的例子開始這里所顯示的畫面，是一幅非常純粹的結構圖畫，有一構件 B（角鋼之類）的一端被連接在非常堅固的結構 A 上，而它的另一端則有一載荷作用著。由于這幅圖已經作了非常純粹化的處理，其實象這樣的結構在日常生活中經常可以看到。譬如，象椅子的護手部分和指示電線的鐵塔的可說是同樣的結構。，洗東西的平臺，另外還有桿也 分析目的要明確！在使用有限元

49、法的時候，重要的是要做出對應分析目的的模型化過程。這個過程是與產品的功能、性能的評價以及設計本身的考慮方法（設計思想）有很深的關系。即使說到設計，也是有各種各樣的目的。在進行有限元分析時，象這樣的目的，在事前就弄明確是重要的一件事。即：所有這些應該說是用戶的體會那么，前面說了那么些話，這一章就回到所提到的問題上去吧。 結構 A，根據約束條件來作模型化！這個例子，結構 A 因為是非常的堅硬，而如果注意到載荷是直接作用在構件 B 上就行了。但是構件的端部因為被連接在“堅硬的”結構物 A 上，將這種效果或影響以何種形式取到模型中去是很有必要的。僅僅將構件作為模型處理的對象是不夠的。而要根據受到這個結

50、構 A 的影響，所連接的構件端的約束條件來進行模型化處理。這樣作為幾何形狀，結構 A 不作模型化處理，而代之以約束條件作為結構 A 而起作用。（但約束條件稱為“邊界條件”，這種情況是不是更能理解吧！）這里的約束條件即為構件端部的位移，旋轉有關的自由度全部約束掉（這種約束條件，稱為完全約束）。對于此例我們這樣來做，將分析的對象集中在構件 B 上，它的一端全約束而另一端作為自由的角鋼的強度來進行校核。說到這里，其實我們可以明白，這個例子與材料力學中經常出現的懸臂梁的問題非常相似。我們設置幾種目的，在下面敘述與這些目的相對應的有限元模型處理的步驟。3.1 梁單元和有限元模型首先我們來討論一下有構件整

51、體彎曲變形的問題。“求變形”這種說法也就是同時要求出由載荷引起的在構件內部所產生的力（ 分布。）的 目的之 1：想知道構件的彎曲變形按分析的步驟來討論這個問題以分析目的和模型化中所作的說明，用“從遠處來眺望問題”的方式考慮的話，此處就是從搞清細長構件的整體彎曲（位移）這個目的開始，在有限元法中使用的幾何模型，是用一根“線”來建成的模型。分析的目的，就是要搞清構件的整體彎曲變形（位移）。符合這個目的的幾何模型就是用通過構件的中和軸的一條線而形成的幾何形狀。 由幾何模型生成單元節點對線狀的幾何模型用幾個單元和單元的節點來形限元）模型。此時，在有限元法中因為是在節點的位置上能夠得到模型的位移，所以在

52、想要得到位移的位置上，一定要設置節點。在這種線狀模型的情況下，節點數如果不足的話，結果所見到的是與實際現象有出入的變形，因此在模型形成的時候，必須注意單元的劃分和節點的數量（節點數和變形形狀）。這里因為是把搞清構件的整體變形為目的，對于僅用 1 個或 2 個節點這樣的程度是不夠的。將線條十等分，用 11 個節點來求整體的變形。各個單元，除了端點外借助于節點連續地連接起來。節點之間沒有單元的話或有重節點的情況等等，作為有限元模型都是不合適的。具體的制作步驟可以用系統的網格劃分功能，自動地形成單元和節點。此時，劃分的形狀和劃分的數量，要根據情況輸入到網格劃分法中去。網格模型，是由幾個單元以及這些單元的節點所形成的。單元和其相連的單元在相連處相互共有節點并連續地連接起來，表現結構的形狀。有限元法中，以節點來表現它的位移。并且，為了搞清整體的變形，考慮配置適當的節點數量對于模型化是很有必要的。 單元類型和單元特性構件的形狀以一條線來作模型化處理，劃分成幾段并生成了節點和單元。對于所生成的單元“必須設置它的單元類型和單元特性”。這里將單元類型設置單元。另外，在后面要說的，材料特性也必須設置。使用有限元法的軟件（也稱求解