1、第四章第四章 一階動態電路一階動態電路下 頁4.1 電容元件電容元件4.2 電感元件電感元件4.6 一階線性動態電路的疊加定理一階線性動態電路的疊加定理4.4 開關電路的初始條件和直流穩態開關電路的初始條件和直流穩態4.5 一階電路的求解（三要素法）一階電路的求解（三要素法）4.3 動態電路方程的建立動態電路方程的建立重點重點初始條件的確定初始條件的確定三要素法三要素法4.1 電容元件電容元件 (Capacitor)電容器電容器_q+q 在外電源作用下，兩極板在外電源作用下，兩極板上分別帶上等量異號電荷上分別帶上等量異號電荷，撤去電源，板上電荷仍，撤去電源，板上電荷仍可長久地集聚下去，是一可長

2、久地集聚下去，是一種儲存電能的部件。種儲存電能的部件。1. 定義定義電容元件電容元件儲存電能的元件。其特儲存電能的元件。其特性可用性可用uq 平面上的平面上的一條曲線來描述一條曲線來描述0 ),(qufqu庫伏庫伏特性特性下 頁上 頁 任何時刻，電容元件極板上的電荷任何時刻，電容元件極板上的電荷q與電壓與電壓 u 成正比，成正比，q u 特性是過原點的直線。特性是過原點的直線。電路符號電路符號2. 線性電容元件線性電容元件 tan uqCorCuqC 稱為電容器的電容稱為電容器的電容, 單位：單位：F (法法) (Farad，法拉，法拉), 常用常用 F、p F、n F等表示。等表示。quO

3、單位單位下 頁上 頁Cudtdqi 線性電容的電壓、電流關系線性電容的電壓、電流關系電容元件電容元件VCR的微分形式的微分形式表明表明: (1) i 的大小取決于的大小取決于 u 的變化率的變化率, 與與 u 的大小無關，的大小無關， 電容電容是動態元件；是動態元件；(2) 當當 u 為常數為常數(直流直流)時，時，i =0。電容相當于開路，電容。電容相當于開路，電容 有隔斷直流作用；有隔斷直流作用；(3) 實際電路中通過電容的電流實際電路中通過電容的電流 i 為有限值，則電容電壓為有限值，則電容電壓u 必定是時間的連續函數。必定是時間的連續函數。下 頁上 頁Cu+q-qu、i 取關聯取關聯參

4、考方向參考方向dtduC i電容元件有記憶電流的作用，故稱電容為記憶元件電容元件有記憶電流的作用，故稱電容為記憶元件（1）當）當 u，i 為非關聯方向時，上述微分和積分表為非關聯方向時，上述微分和積分表達式前要冠以負號達式前要冠以負號 ;電容元件電容元件VCR的積分形式的積分形式表明表明:注注下 頁上 頁 tidCtu 1)( 01tidC ttidCtu01)(0 （2）上式中）上式中 u(t0) 稱為電容電壓的初始值，它反映稱為電容電壓的初始值，它反映電容初始時刻的儲能狀況，也稱為初始狀態。電容初始時刻的儲能狀況，也稱為初始狀態。 ttidC01 3. 電容的功率和儲能電容的功率和儲能dt

5、duCuuip 功率功率u、 i 取關取關聯參考方向聯參考方向下 頁上 頁tttCCuddduCuiduW )(212 電容的儲能電容的儲能)(21)(2122 CutCu0)(2120)( tCuu若若（1）電容的儲能只與當時的電壓值有關，電容）電容的儲能只與當時的電壓值有關，電容 電壓不能躍變，反映了儲能不能躍變；電壓不能躍變，反映了儲能不能躍變；表表明明（2）電容儲存的能量一定大于或等于零。）電容儲存的能量一定大于或等于零。下 頁上 頁從從 t1 時刻到時刻到 t2時刻電容儲能的變化量：時刻電容儲能的變化量：)(21)(21)(21)(2112221222tqCtqCtCutCuWC 電

6、容能在一段時間內吸收外部供給的能量，轉化為電容能在一段時間內吸收外部供給的能量，轉化為電場能量儲存起來，在另一段時間內又把能量釋放回電電場能量儲存起來，在另一段時間內又把能量釋放回電路，因此電容元件是無源元件、是儲能元件，它本身不路，因此電容元件是無源元件、是儲能元件，它本身不消耗能量。消耗能量。)()()()(1212tWtWtutuCC ，故，故充電時，有充電時，有)()()()(1212tWtWtutuCC ，故，故放電時，有放電時，有例例)(tusC0.5Fi求電流求電流i、功率、功率P (t)和儲能和儲能W (t)21t /s20u/V電源波形電源波形解解uS (t)的函數表示式為的

7、函數表示式為: ststtsttttus20214210200 )( stststtdtduCtis2021110100 )(解得電流解得電流21t /s1i /A-1下 頁上 頁 ststtsttttitutp2 021 4210 20 0)()()(21t /s20p/W-2 ststtsttttCutWC2 021 )2(10 0 0)(21)(22221t /s10WC /J吸收功率吸收功率釋放功率釋放功率下 頁上 頁 stststtti2 021 110 10 0)(若已知電流求電容電壓，有若已知電流求電容電壓，有 1 0 st 當當 tCtdutu124)1(5 . 01)1()(

8、 st21 當當t 2 當當 tCdutu2005 . 01)2()( 002201101)(ttdCdCtutC下 頁上 頁21t /s1i /A-1nuuuu 21下 頁上 頁電容的串聯電容的串聯-1uu-2unu1C2CnCi-ueqCi ttidCtuu01)(0 ttnnttttidCtuidCtuidCtu0001)(1)(1)(0202101 ttnnidCCCtututu0)111()()()(2100201 tteqidCtu01)(0 neqCCCC111121 niiii 21下 頁上 頁電容的并聯電容的并聯-ueqCidtduCi dtduCdtduCdtduCn 21

9、dtduCCCn)(21 neqCCCC 211iu-2ini1C2CnCidtduCeq 4.2 電感元件電感元件 (Inductor)u (t)電感器電感器把金屬導線繞在一把金屬導線繞在一骨架上構成一實際骨架上構成一實際電感器，當電流通電感器，當電流通過線圈時，將產生過線圈時，將產生磁通，是一種儲存磁通，是一種儲存磁場能量的部件。磁場能量的部件。 (t)N (t)1.定義定義電感元件電感元件儲存磁能的元件。其特儲存磁能的元件。其特性可用性可用 i 平面上的一平面上的一條曲線來描述。條曲線來描述。0 ),(if i 韋安韋安特性特性下 頁上 頁i (t) (t) (t) 任何時刻，通過電感元

10、件的電流任何時刻，通過電感元件的電流i與其磁鏈與其磁鏈 成正比。成正比。 i 特性是過原點的直線。特性是過原點的直線。電路符號電路符號2. 線性電感元件線性電感元件 tan )()( iLortLitL 稱為電感器的自感系數稱為電感器的自感系數, L的單位：的單位：H (亨亨) ( Henry，亨利，亨利)，常用，常用 H，mH表示。表示。 iO 單位單位+u (t)iL下 頁上 頁tdtdiLtddtu )( )( 線性電感的電壓、電流關系線性電感的電壓、電流關系u、i 取關取關聯參考方向聯參考方向表明表明(1) 電感電壓電感電壓u 的大小取決于的大小取決于i 的變化率的變化率, 與與i 的

11、大小無的大小無關，電感是動態元件；關，電感是動態元件；(2) 當當i為常數為常數(直流直流)時，時，u =0。電感相當于短路；。電感相當于短路；(3) 實際電路中電感的電壓實際電路中電感的電壓 u為有限值，則電感電流為有限值，則電感電流 i 不不能躍變，必定是時間的連續函數。能躍變，必定是時間的連續函數。根據電磁感應定根據電磁感應定律 與 楞 次 定 律律 與 楞 次 定 律+u (t)iL電感元件電感元件VCR的微分關系的微分關系下 頁上 頁 電感元件有記憶電壓的作用，故稱電感為記憶元件。電感元件有記憶電壓的作用，故稱電感為記憶元件。（1）當）當 u，i 為非關聯方向時，上述微分和積分表為非

12、關聯方向時，上述微分和積分表達式前要冠以負號達式前要冠以負號 ;表明表明注注下 頁上 頁電感元件電感元件VCR的積分形式的積分形式 tudLti 1)( tttudLudL0011 ttudLti01)(0 （2）上式中）上式中 i(t0) 稱為電感電流的初始值，它反映電稱為電感電流的初始值，它反映電感初始時刻的儲能狀況，也稱為初始狀態。感初始時刻的儲能狀況，也稱為初始狀態。 3. 電感的功率和儲能電感的功率和儲能idtdiLuip 功率功率u、 i 取關取關聯參考方向聯參考方向下 頁上 頁tttLLiiddiLdpW )(21d2 電感的儲能電感的儲能)(21)(2122 LitLi0)(2

13、120)( tLii若若（1）電感的儲能只與當時的電流值有關，電感）電感的儲能只與當時的電流值有關，電感 電流不能躍變，反映了儲能不能躍變；電流不能躍變，反映了儲能不能躍變；表明表明（2）電感儲存的能量一定大于或等于零。）電感儲存的能量一定大于或等于零。從從t0到到 t 電感儲能的變化量：電感儲能的變化量：)(21)(21)(21)(21022022tLtLtLitLiWL 下 頁上 頁 電感能在一段時間內吸收外部供給的能量轉化為磁場能電感能在一段時間內吸收外部供給的能量轉化為磁場能量儲存起來，在另一段時間內又把能量釋放回電路，因此電量儲存起來，在另一段時間內又把能量釋放回電路，因此電感元件是

14、無源元件、是儲能元件，它本身不消耗能量。感元件是無源元件、是儲能元件，它本身不消耗能量。，元件吸收能量，元件吸收能量增加時，增加時，當電流當電流0)()( tWtiL，元件釋放能量，元件釋放能量減少時，減少時，當電流當電流0)()( tWtiL電容元件與電感元件的比較電容元件與電感元件的比較電容電容 C電感電感 L變量變量電流電流 i磁鏈磁鏈 關系式關系式電壓電壓 u電荷電荷 q (1) 元件方程的形式是相似的；元件方程的形式是相似的；(2) 若把若把 u i ，q ，C L 互換互換,可由電容元件可由電容元件的方程得到電感元件的方程；的方程得到電感元件的方程；(3) C 和和 L稱為對偶元件

15、稱為對偶元件, 、q 等稱為對偶元素。等稱為對偶元素。222121 LLiWtiLuLiL dd結論結論222121ddqCCuWtuCiCuqC 下 頁上 頁下 頁上 頁電感的串聯電感的串聯dtdiLu dtdiLdtdiLdtdiLn 21dtdiLLLn)(21 neqLLLL 21dtdiLeq -1uu-2unu1L2LnLi-eqLuinuuuu 21niiii 21電感的并聯電感的并聯 ttudLtii01)(0 -eqLui1iu-i2ini ttnnttttudLtiudLtiudLti0001)(1)(1)(0202101 ttnnudLLLtititi0)111()()(

16、)(2100201 ttequdLti01)(0 neqLLLL111121 下 頁上 頁)(CCtuutdduRCS )(CtuuRiS 應用應用KVL和電容的和電容的VCR得：得：dtduCiC 2. 動態電路的方程動態電路的方程+uCuS(t)RCi (t 0)+下 頁上 頁)(tuuRiSL )(tutddiLRiS 應用應用KVL和電感的和電感的VCR得：得：tddiLuL +uLuS (t)RLi ( t 0 )+含有動態元件電容和電感的電路稱動態電路。含有動態元件電容和電感的電路稱動態電路。1. 動態電路動態電路4.3 動態電路方程的建立動態電路方程的建立例例1電路如圖所示，以電

17、路如圖所示，以iL為變量列出電路的微分方程。為變量列出電路的微分方程。解解用網孔法可得方程用網孔法可得方程(2) 0dd(1) )(L2L12SL2121iRtiLiRuiRiRR將（將（2）式變換得到）式變換得到LL21dditiRLi再代入（再代入（1）式，整理得到）式，整理得到SL1L221dd)(uiRtiRLRR例例2電路如圖所示，以電路如圖所示，以iL為變量列出電路的微分方程。為變量列出電路的微分方程。解解列列KCL方程，并寫出方程，并寫出各元件的伏安關系：各元件的伏安關系：)()()()(SCLRtititititiLtudd)(LC2L2CLRdddd)( dd)()(tiLC

18、tuCtitiGLtGutiCC化簡后可得到微分方程：化簡后可得到微分方程：)()(SL22titidtdiGLdtidLCLL二階電路！二階電路！含有開關的動態電路。含有開關的動態電路。特點特點1. 開關電路開關電路當開關電路的狀態發生改變時（換路）需要經歷當開關電路的狀態發生改變時（換路）需要經歷一個變化過程才能達到新的穩定狀態。這個變化一個變化過程才能達到新的穩定狀態。這個變化過程稱為電路的過渡過程。過程稱為電路的過渡過程。例例0ti2/ RUiS )(21RRUiS 過渡期為零過渡期為零電阻電路電阻電路+-usR1R2（t =0）i下 頁上 頁4.4 開關電路的初始條件和直流穩態開關電

19、路的初始條件和直流穩態K未動作前未動作前，電路處于穩定狀態，電路處于穩定狀態K 接通電源后很長時間接通電源后很長時間，電容充電，電容充電完畢，電路達到新的穩定狀態完畢，電路達到新的穩定狀態+uCUSRCi ( t )前一個穩定狀態前一個穩定狀態過渡狀態過渡狀態新的穩定狀態新的穩定狀態t1USuCt0?iRUS有一過渡期有一過渡期電容電路電容電路K+uCUSRCi ( t = 0 )下 頁上 頁0, 0 CuiSCUui , 0K 未動作前未動作前，電路處于穩定狀態，電路處于穩定狀態K 動作動作后很長時間后很長時間，電容放電完，電容放電完畢，電路達到新的穩定狀態畢，電路達到新的穩定狀態第三個穩定

20、狀態第三個穩定狀態K+uCUsRCi (t = t2)前一個前一個穩定狀態穩定狀態過渡過渡狀態狀態新的穩新的穩定狀態定狀態t1USuCt0iRUSt2又有一過渡期又有一過渡期下 頁上 頁0, 0 CuiSCUui , 0過渡過程產生的原因過渡過程產生的原因 電路內部含有儲能元件電路內部含有儲能元件 L 、C，電路在換路時能量發，電路在換路時能量發生變化，而能量的儲存和釋放都需要一定的時間來完成。生變化，而能量的儲存和釋放都需要一定的時間來完成。tWp 電路結構、狀態發生變化電路結構、狀態發生變化換路換路支路接入或斷開支路接入或斷開電路參數變化電路參數變化 p0 t下 頁上 頁（2）求解微分方程

21、）求解微分方程動態電路的分析方法動態電路的分析方法（1）根據）根據KVL、KCL和和VCR建立微分方程建立微分方程下 頁上 頁穩態分析和動態分析的區別穩態分析和動態分析的區別穩態分析穩態分析動態分析動態分析換路發生很長時間后狀態換路發生很長時間后狀態微分方程的特解微分方程的特解恒定或周期性激勵恒定或周期性激勵換路發生后的整個過程換路發生后的整個過程微分方程的一般解微分方程的一般解任意激勵任意激勵 (1) t = 0與與t = 0的概念的概念認為換路在認為換路在 t = 0 時刻進行時刻進行0 換路前一瞬間換路前一瞬間 0 換路后一瞬間換路后一瞬間2. 初始值的求解初始值的求解)(lim)0(0

22、0tfftt )(lim)0(00tfftt 初始條件為初始條件為 t = 0時時u ，i 及其各階導數的值及其各階導數的值0tf(t)0()0( ff)0()0( ff下 頁上 頁00 d)(1)0()(0 tCCiCutut = 0+時刻時刻 d)(1)0()0(00 iCuuCC當當 i( ) 為有限值時為有限值時換路瞬間，若電容電流保持為有限值，換路瞬間，若電容電流保持為有限值， 則電則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。容電壓（電荷）換路前后保持不變。 (2) 電容的初始條件電容的初始條件0結結論論下 頁上 頁iuCC+)0()0( CCuu duLiiLL)(1)0()0(00 當當

23、u ( ) 為有限值時為有限值時 (3) 電感的初始條件電感的初始條件t = 0+時刻時刻0 duLititLL)(1)0()(0 換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，電感換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。電流（磁鏈）換路前后保持不變。結結論論下 頁上 頁+uLLi)0()0( LLii（4）換路定律）換路定律（1）電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。）電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。注意注意換路瞬間，若電容電流（或換路瞬間，若電容電流（或電感電壓）電感電壓）保持為保持為有限值，則電容電壓（或有限值，則電容電壓（或電感電流電感電流）換

24、路前后）換路前后保持不變。保持不變。（2）換路定律反映了能量不能躍變。）換路定律反映了能量不能躍變。下 頁上 頁)0()0( LLii)0()0( CCuu（5）電路初始值的確定）電路初始值的確定(2) 由換路定律由換路定律 mA2 . 010810)0( Ci(1) 由由0電路求電路求 uC(0)或或iL(0)(3) 由由0等效電路求等效電路求 iC(0)例例1求求 iC(0+)電電容容開開路路下 頁上 頁+10ViiC+uCk10k40k+10VuC(0)10k40k+電容用電電容用電壓源替代壓源替代0)0( Ci)0( CiVuC8)0( VuuCC8)0()0( +10ViC (0+)

25、8V10k0等效電路等效電路+)0( i0)0( 0)0( LLuu iL(0)= iL(0) =2AVuL842)0( 例例 2t = 0時閉合開關時閉合開關k , 求求 uL(0)0+電路電路先求先求AiL24110)0( 由換路定律由換路定律:電感用電電感用電流源替代流源替代)0( Li解解電電感感短短路路iL+uLL10VK1 4 下 頁上 頁10V1 4 )0( Li10V1 4 2A)0( Lu求初始值的步驟求初始值的步驟:1. 由換路前電路（一般為穩定狀態）求由換路前電路（一般為穩定狀態）求uC(0)和和iL(0)；2. 由換路定律得由換路定律得 uC(0) 和和 iL(0)。3

26、. 畫畫0等效電路。等效電路。4. 由由0電路求所需各變量的電路求所需各變量的0值。值。b. 電容（電感）用電壓源（電流源）替代。電容（電感）用電壓源（電流源）替代。a. 換路后的電路換路后的電路（取（取0時刻值，方向與原假定的電容時刻值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同）。電壓、電感電流方向相同）。下 頁上 頁VuuCC24122)0()0( AiiLL124/48)0()0( 例例3求求K 閉合瞬間各支路電流和電感電壓閉合瞬間各支路電流和電感電壓解解由由0電路得：電路得：由由0電路得：電路得：AiC83/ )2448()0( Ai20812)0( VuL2412248)0( iL2

27、 +48V3 2 +uC2 iL+uLLK+48V3 2 C+uCiC下 頁上 頁12A24V+48V3 2 iiC+uL+0電路電路例例4求求K閉合瞬間流過它的電流值。閉合瞬間流過它的電流值。解解（1）確定）確定0值值AiiLL1200200)0()0( VuuCC100)0()0( （2）給出）給出0等效電路等效電路Aik21100100100200)0( 1A+200V100 +100V100 100 ki+uLiCVuL1001001)0( AuiCC1100/ )0()0( iL+200VLK100 +uC100 100 C下 頁上 頁3. 穩態值的求解穩態值的求解主要指換路后主要指

28、換路后t =時電路中的電壓和電流值時電路中的電壓和電流值。特點特點動態電路換路后動態電路換路后t =時，由于激勵源是直流源，電時，由于激勵源是直流源，電路經過過渡過程后電壓和電流值均為常數，此時電路經過過渡過程后電壓和電流值均為常數，此時電容元件相當于斷路，電感元件相當于短路容元件相當于斷路，電感元件相當于短路。例例1t =0時，時，S閉合，求閉合，求t =時的時的i1、iL、uL。解解t =時，電路處于直流穩時，電路處于直流穩態，電感短路，可得：態，電感短路，可得：Ai26666312)(1AiiL1)(21)(1VuL0)(例例2t =0時，時，S閉合，求閉合，求t =時的時的i、uC。解

29、解t =時，電路處于直流穩態，電容斷路，可得：時，電路處于直流穩態，電容斷路，可得：對左邊回路列對左邊回路列KVL方程：方程：Aiiii5 . 1)(0)(2)(|)(6ViiiuC5 . 4)(3)(2)(1)(所以所以電路中含有受控源，當控制量變換時，受控量也要做相應變換。電路中含有受控源，當控制量變換時，受控量也要做相應變換。注意注意4.5 一階電路的求解一階電路的求解三要素法三要素法 本節專門討論由本節專門討論由直流電源驅動的只含一個動態元件的一直流電源驅動的只含一個動態元件的一階電路全響應的一般表達式，階電路全響應的一般表達式，并在此基礎上推導出三要素法。并在此基礎上推導出三要素法。

30、圖圖4-20 (a)RC一階電路一階電路 (b)RL一階電路一階電路一、三要素法一、三要素法 僅含一個電感或電容的線性一階電路，將連接動態元僅含一個電感或電容的線性一階電路，將連接動態元件的線性電阻單口網絡用戴維寧和諾頓等效電路代替后，件的線性電阻單口網絡用戴維寧和諾頓等效電路代替后，可以得到圖可以得到圖4-20(a)和和(b)所示的等效電路。所示的等效電路。下 頁上 頁電路微分方程和初始條件為：電路微分方程和初始條件為：1. RC電路電路iK(t=0)UOC+uRC+uCRddCCOCuRCuUtuC (0) = U02. RL電路電路iLISCR0L電路微分方程和初始條件為：電路微分方程和

31、初始條件為：iL (0) = I00ddLLSCiG LiIt下 頁上 頁3. 一般形式一般形式一階電路的數學模型的一般形式：一階電路的數學模型的一般形式：)0( )0()(d)(dftAtfttfCR0或或LG0其解答由兩部分組成：其解答由兩部分組成：)()()(phtftftf通通解解特解特解thKetf)(Atfp)(AKtftftft phe)()()(得到得到由起始值由起始值f (0+)確定確定K，由穩態值，由穩態值f()確定確定AAfAKf)()0(得到得到)()0()(ffKfARC電路和電路和RL電路響應的一般表達式電路響應的一般表達式)0()(e)()0()( tffftft

32、CR0或或LG0下 頁上 頁 這就是這就是直流激勵的直流激勵的RC一階電路和一階電路和RL中的任一響應的表達中的任一響應的表達式式 (可以用疊加定理證明可以用疊加定理證明) 。其波形曲線如圖。其波形曲線如圖4-21所示。由此可所示。由此可見，直流激勵下一階電路中見，直流激勵下一階電路中任一響應總是從初始值任一響應總是從初始值f (0+)開始，開始，按照指數規律增長或衰減到穩態值按照指數規律增長或衰減到穩態值f ( )，響應變化的快慢取決響應變化的快慢取決于電路的時間常數于電路的時間常數 。 圖圖4-21 直流激勵下一階電路全響應的波形曲線直流激勵下一階電路全響應的波形曲線 下 頁上 頁 由此可

33、見，直流激勵下一階電路的全響應取決于由此可見，直流激勵下一階電路的全響應取決于f (0+)、 f ( )和和 這三個要素。只要分別計算出這三個要素，就能這三個要素。只要分別計算出這三個要素，就能夠確定全響應，也就是說，根據式夠確定全響應，也就是說，根據式(4-25）可以寫出響應的）可以寫出響應的表達式以及畫出圖表達式以及畫出圖4-21那樣的全響應曲線，而不必建立和那樣的全響應曲線，而不必建立和求解微分方程。求解微分方程。這種計算直流激勵下一階電路響應的方法這種計算直流激勵下一階電路響應的方法稱為三要素法。稱為三要素法。圖圖4-22下 頁上 頁稱稱 為一階電路的時間常數為一階電路的時間常數 秒秒

34、伏伏安安秒秒歐歐伏伏庫庫歐歐法法歐歐 RC 時間常數時間常數 的大小反映了電路過渡過程時間的長短的大小反映了電路過渡過程時間的長短 = R C下 頁上 頁 秒秒歐歐安安秒秒伏伏歐歐安安韋韋歐歐亨亨 RL = L/R 用用三要素法三要素法計算含一個電容或一個電感的直流激勵一階電路響計算含一個電容或一個電感的直流激勵一階電路響應的一般步驟是應的一般步驟是: 1. 初始值初始值f (0+)的計算的計算 (1) 根據根據t0t0的電路，將電容用開路代替或電感用短路代替，得的電路，將電容用開路代替或電感用短路代替，得到一個直流電阻電路，再從此電路中計算出穩態值到一個直流電阻電路，再從此電路中計算出穩態值

35、 f (f ( ) )。3、求時間常數求時間常數 首先求出動態元件兩端看進去的戴維南等效電阻首先求出動態元件兩端看進去的戴維南等效電阻R R0 0求求R R0 0的方法：的方法：獨立源置零，用電阻的串并聯公式化簡；獨立源置零，用電阻的串并聯公式化簡；獨立源置零，外加電壓源獨立源置零，外加電壓源U U外，求輸入端電流外，求輸入端電流I I外，則外，則R R0 0= U= U外外/ I/ I外；外；短路電流法求短路電流法求Isc,Isc,則則R R0 0= Uoc/Isc= Uoc/Isc。時間常數時間常數為：為：RCRC電路電路 = R = R0 0 C C ,RL,RL電路電路=L/ R=L/

36、 R0 0 4. 將將f (0+)，f ( )和和 代入下式得到響應的一般表達式和畫代入下式得到響應的一般表達式和畫出圖出圖4-21那樣的波形曲線。那樣的波形曲線。)0()(e)()0()( tffftftCR0或或LG0下 頁上 頁 總結總結RLC在不同的時段所處的狀態在不同的時段所處的狀態元件元件t=0_t=0+t=不變不變不變不變不變不變斷路斷路+ Uc(0+) - 若若 Uc(0+)=0短路短路斷路斷路短路短路+ iL(0+) -若若 iL(0+)=0斷路斷路短路短路下 頁上 頁例例4-8 圖圖4-22(a)所示電路原處于穩定狀態。所示電路原處于穩定狀態。t=0時開關閉時開關閉合，求合

37、，求t 0的電容電壓的電容電壓uC(t)和電流和電流i(t)，并畫波形圖。，并畫波形圖。 圖圖4-22下 頁上 頁 由于開關轉換時電容電流有界，電容電壓不能躍變，故由于開關轉換時電容電流有界，電容電壓不能躍變，故 V8)0()0(CCuuV8A24)0(Cu解：解：1. 計算初始值計算初始值uC(0+) 開關閉合前，圖開關閉合前，圖(a)電路已經穩定，電容相當于開路，電路已經穩定，電容相當于開路，電流源電流全部流入電流源電流全部流入4 電阻中，此時電容電壓與電阻電壓電阻中，此時電容電壓與電阻電壓相同相同 圖圖4-22下 頁上 頁7VV5V2V10444424444V22141411)(Cu圖圖

38、4-22 2. 計算穩態值計算穩態值uC( ) 開關閉合后，電路如圖開關閉合后，電路如圖(b)所示，經過一段時間，重新所示，經過一段時間，重新達到穩定狀態，電容相當于開路，根據用開路代替電容所達到穩定狀態，電容相當于開路，根據用開路代替電容所得到一個電阻電路，運用疊加定理求得得到一個電阻電路，運用疊加定理求得 下 頁上 頁12141411oR 時間常數為時間常數為 s 1 . 0F1 . 01oCR圖圖4-22 3.計算時間常數計算時間常數 計算與電容相連接的電阻單口網絡的輸出電阻，它是計算與電容相連接的電阻單口網絡的輸出電阻，它是三個電阻的并聯三個電阻的并聯 ab下 頁上 頁 4. 將將uC

39、(0+)=8V, uC( )=7V和和 =0.1s代入式代入式(4-25)得到響得到響應的一般表達式應的一般表達式 )0(Ve17V7e )78()(1010Cttutt 求得電容電壓后，電阻電流求得電容電壓后，電阻電流i(t)可以利用歐姆定律求得可以利用歐姆定律求得)0(A)0.5e1.5(A 2)e17(102)(V10)(1010cttutitt)(e)()0()( ffftft下 頁上 頁 也可以用疊加定理分別計算也可以用疊加定理分別計算2A電流源，電流源，10V電壓源和電壓源和電容電壓電容電壓uC(t)單獨作用引起響應之和單獨作用引起響應之和)0(A)0.5e1.5( )Ae5 .

40、05 . 35( 2)(2V100)()()()(1010C ttutitititittVe17)(10Cttu下 頁上 頁 由于電路中每個響應具有相同的時間常數，不必重新由于電路中每個響應具有相同的時間常數，不必重新計算，用三要素公式得到計算，用三要素公式得到 ) 0( A)e5 . 05 . 1 (A 5 . 1e ) 5 . 11()(1010ttitt 值得注意的是該電阻電流在開關轉換時發生了躍變，值得注意的是該電阻電流在開關轉換時發生了躍變，i(0+)=1A i(0-)=1.667A，因而在電流表達式中，標明的時，因而在電流表達式中，標明的時間范圍是間范圍是t t00，而不是，而不是

41、t t 0 0。電阻電流電阻電流i(t)還可以利還可以利用三要素法直接求得用三要素法直接求得 V8)0(CuA5 . 1A27102)(V10)(A1A28102)0(V10)0(CCuiui下 頁上 頁例例4-9 圖圖4-23示電路中，開關轉換前電路已處于穩態，示電路中，開關轉換前電路已處于穩態，t=0時開關時開關S由由1端接至端接至2端，求端，求t0時的電感電流時的電感電流iL(t)，電阻電流電阻電流i2(t)，i3(t)和電感電壓和電感電壓uL(t)。 圖圖4-23下 頁上 頁解：用三要素法計算電感電流。解：用三要素法計算電感電流。 1. 計算電感電流的初始值計算電感電流的初始值iL(0

42、+) 直流穩態電路中，電感相當于短路，此時電感電流為直流穩態電路中，電感相當于短路，此時電感電流為mA102mA20)0(LimA10)0()0(LLii 開關轉換時，電感電壓有界。電感電流不能躍變，即開關轉換時，電感電壓有界。電感電流不能躍變，即下 頁上 頁 2. 計算電感電流的穩態值計算電感電流的穩態值iL( ) 開關轉換后，電感與電流源脫離，電感儲存的能量釋開關轉換后，電感與電流源脫離，電感儲存的能量釋放出來消耗在電阻中，達到新的穩態時，電感電流為零，放出來消耗在電阻中，達到新的穩態時，電感電流為零，即即0)(Li下 頁上 頁 3. 計算時間常數計算時間常數 與電感連接的電阻單口網絡的等

43、效電阻以及時間常數與電感連接的電阻單口網絡的等效電阻以及時間常數為為s101s101010 k10k101020)1010(20733oR 4. 計算計算iL(t)， uL(t)， i2(t)和和i3(t)。 將將iL(0+)=10mA,iL( )=0和和 =1 10-7s代入三要素公式得代入三要素公式得到電感電流的表達式到電感電流的表達式) 0(mAe10A 0e ) 01010()(7710103Lttitt下 頁上 頁 然后根據然后根據KCL，KVL和和VCR求出其它電壓電流求出其它電壓電流 )0(mAe5 mAe5mAe10)()()()0(mAe5 1020V100ek20)()()

44、0(V100e e10101010dd)(77777771010103L210310L31010733LLttititittutittiLtuttttttt下 頁上 頁例例4-10 圖圖4-24(a)所示電路在所示電路在t=0時閉合開關，求電時閉合開關，求電容電壓容電壓uC(t)和電流和電流i2(t)。 圖圖4-24 例例4-10下 頁上 頁解：在開關閉合以后，與電容連接的含有獨立電壓源和受解：在開關閉合以后，與電容連接的含有獨立電壓源和受 控源的電阻單口網絡用圖控源的電阻單口網絡用圖4-24(c)所示的戴維寧等效電所示的戴維寧等效電 路代替，其中路代替，其中 21S222oc)()(RRUR

45、riRrU 用外加電源法求圖用外加電源法求圖4-24(b)所示電阻單口網絡的輸出電所示電阻單口網絡的輸出電阻阻Ro 2112211222o)()()(RRRRriRRRiRriiRriuR下 頁上 頁 時間常數為時間常數為2112)RRCRR(r 用三要素公式得到電容電壓的表達式用三要素公式得到電容電壓的表達式 )0()e1 ()()e1 ()( S212 ocCtURRRrUtutt 從圖從圖4-24(a)電路中開關閉合后的電路求得電流電路中開關閉合后的電路求得電流 i2(t) ) 0()e1 ()()(21S2C2tRRURrtutit下 頁上 頁例例4-12 圖圖4-26(a)所示電路中

46、，開關斷開已經很久，所示電路中，開關斷開已經很久，t=1s時時 開關開關S閉合，閉合，t=2s時開關時開關S重新斷開，試求重新斷開，試求t 0電容電電容電 壓壓uC(t)和電阻電壓和電阻電壓uo(t)。 圖圖4-26下 頁上 頁解：本題要求計算電容電壓和解：本題要求計算電容電壓和1.6k電阻電壓，先將電路電阻電壓，先將電路 其余部分用戴維寧等效電路代替，得到開關其余部分用戴維寧等效電路代替，得到開關S斷開和斷開和 閉合時的等效電路如圖閉合時的等效電路如圖4-26(b)和和(c)所示，再從時間所示，再從時間 上分段計算。上分段計算。 1. 1s t 2s區間內響應的計算區間內響應的計算 根據根據

47、s9 . 010250103.6V10)(V,6)1 ()1 (63CCCuuu 得到電容電壓為得到電容電壓為 ) s2s 1 (V 410)(9 . 01 Ctetut下 頁上 頁 2. t 2s區間內響應的計算區間內響應的計算 s110250104V6)(V,68. 8e410)2()2(63C9 . 0/1CCuuu 得到得到 ) s2(V e68. 26)()2(Cttut 用三要素法也可以求出電壓用三要素法也可以求出電壓uo(t)，讀者可以檢驗以下，讀者可以檢驗以下計算結果是否正確。計算結果是否正確。 ) s2(V e07. 1) s2s 1 (V e78. 1)()2( 9 . 0

48、1 otttutt下 頁上 頁 畫出畫出uC(t)和和uo(t)的波形如圖的波形如圖4-26(d)和和(e)所示。所示。 圖圖4-26下 頁上 頁4.6 一階線性動態電路的疊加定理一階線性動態電路的疊加定理4.6.1 零輸入響應零輸入響應 圖圖4-3(a)所示電路中的開關原來連接在所示電路中的開關原來連接在1端，電壓源端，電壓源U0通過電阻通過電阻Ro對電容充電，假設在開關轉換以前，電容電壓已經達到對電容充電，假設在開關轉換以前，電容電壓已經達到U0。在。在t=0時開關迅速由時開關迅速由1端轉換到端轉換到2端。已經充電的電容脫離電壓源而與端。已經充電的電容脫離電壓源而與電阻電阻R并聯，如圖并聯

49、，如圖(b)所示。所示。 圖圖4-3一、一、RC電路的零輸入響應電路的零輸入響應下 頁上 頁 我們先定性分析我們先定性分析t0后電容電壓的變化過程。當開關倒向后電容電壓的變化過程。當開關倒向2端的瞬間，電容電壓不能躍變，即端的瞬間，電容電壓不能躍變，即 0CC)0()0(Uuu 由于電容與電阻并聯，這使得電阻電壓與電容電壓相同，即由于電容與電阻并聯，這使得電阻電壓與電容電壓相同，即 0CR)0()0(Uuu 電阻的電流為電阻的電流為 RUi0R)0(下 頁上 頁 當t= 時，由于電路中沒有輸入激勵源，各響應值時，由于電路中沒有輸入激勵源，各響應值為為0，即，即:0)(Cu0)(Ri而時間常數而

50、時間常數 =RC C0 C0C 0RC( )e (0)(64a)d( )e(0)(64b)d( )( ) e (0)(64c)tRCtRCtRCu tUtuUi tCttRUi ti ttR 由三要素法得到圖由三要素法得到圖4-3(b)電路的零輸入響應為電路的零輸入響應為 Ce )0( c)(tUtu下 頁上 頁 從式從式4-4可見，各電壓電流的變化快慢取決于可見，各電壓電流的變化快慢取決于R和和C的乘積。的乘積。令令 =RC，由于，由于 具有時間的量綱，故稱它為具有時間的量綱，故稱它為RC電路的時間常數。電路的時間常數。引入引入 后，式后，式4-4表示為表示為 圖圖4-4 4-4 RC電路零

51、輸入響應的波形曲線電路零輸入響應的波形曲線 C0 C0C 0RC( )e (0)(6 5a)d( )e(0)(6 5b)d( )( ) e (0)(6 5c)tttu tUtuUi tCttRUi ti ttR下 頁上 頁tU0uC0I0ti0 （1）電壓、電流是隨時間按同一指數規律衰減的函數；）電壓、電流是隨時間按同一指數規律衰減的函數；從以上各式可以得出：從以上各式可以得出：連續連續函數函數躍變躍變 （2）響應與初始狀態成線性關系，其衰減快慢與）響應與初始狀態成線性關系，其衰減快慢與RC 有關；有關；下 頁上 頁時間常數時間常數 的大小反映了電路過渡過程時間的長短的大小反映了電路過渡過程時

52、間的長短 大大 過渡過程時間長過渡過程時間長 小小 過渡過程時間短過渡過程時間短U0tuC0 小小 大大電壓初值一定：電壓初值一定：R 大（大（ C一定）一定） i=u/R 放電電流小放電電流小放電時間長放電時間長C 大（大（R一定）一定） W=Cu2/2 儲能大儲能大物理含義物理含義下 頁上 頁工程上認為工程上認為, 經過經過 3 5 , 過渡過程結束。過渡過程結束。 ：電容電壓衰減到原來電壓：電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時間。所需的時間。U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5

53、 t0 2 3 5 tCeUu 0 （3）能量關系）能量關系RdtiWR 02電容不斷釋放能量被電阻吸收電容不斷釋放能量被電阻吸收, 直到直到全部消耗完畢。全部消耗完畢。設設uC(0)=U0電容放出能量：電容放出能量： 2021CU電阻吸收（消耗）能量：電阻吸收（消耗）能量：RdteRURCt2 00)( 2021CU uCR+CdteRURCt2 020 02 20| )2(RCteRCRU下 頁上 頁例例4-1 電路如圖電路如圖4-5(a)所示，已知電容電壓所示，已知電容電壓uC(0-)=6V。 t=0閉合開關，求閉合開關，求t 0的電容電壓和電容電流。的電容電壓和電容電流。 圖圖4-5

54、例例4-1 解：在開關閉合瞬間，電容電壓不能躍變，由此得到解：在開關閉合瞬間，電容電壓不能躍變，由此得到 V6)0()0(CCuu下 頁上 頁將連接于電容兩端的電阻單口網絡等效于一個電阻，其將連接于電容兩端的電阻單口網絡等效于一個電阻，其電阻值為電阻值為 k10k)36368(oR 得到圖得到圖(b)所示電路，其時間常數為所示電路，其時間常數為 sssRC05. 01051051010263下 頁上 頁 根據式根據式4-5得到得到 )0(mAe6 . 0mAe10106edd)()0(Ve6e)(20203 0CC20 0CtRUtuCtitUtuttttt 電阻中的電流電阻中的電流iR(t)

55、可以用與可以用與iC(t)同樣數值的電流源代替電同樣數值的電流源代替電容，用電阻并聯的分流公式求得容，用電阻并聯的分流公式求得 iR(t) mAe2 . 0mAe6 . 031)(633)(2020CRtttiti下 頁上 頁二、二、RL電路的零輸入響應電路的零輸入響應 電感電流原來等于電流電感電流原來等于電流I0，電感中儲存一定的磁場能量，電感中儲存一定的磁場能量，在在t=0時開關由時開關由1端倒向端倒向2端，換路后的電路如圖端，換路后的電路如圖(b)所示。所示。圖圖4-6 我們以圖我們以圖4-6(a)電路為例來說明電路為例來說明RL電路零輸入響應的計算電路零輸入響應的計算過程。過程。下 頁

56、上 頁 在開關轉換瞬間，由于電感電流不能躍變，即在開關轉換瞬間，由于電感電流不能躍變，即iL(0+)= iL(0-)= I0 ，這個電感電流通過電阻，這個電感電流通過電阻R時引起能量的消耗，這就造成電感時引起能量的消耗，這就造成電感電流的不斷減少，直到電流變為零為止。電流的不斷減少，直到電流變為零為止。 綜上所述，圖綜上所述，圖(b)所示所示RL電電路是電感中的初始儲能逐漸釋路是電感中的初始儲能逐漸釋放出來消耗在電阻中的過程。放出來消耗在電阻中的過程。與能量變化過程相應的是各電與能量變化過程相應的是各電壓電流從初始值，逐漸減小到壓電流從初始值，逐漸減小到零的過程。零的過程。下 頁上 頁 同樣根

57、據三要素法：同樣根據三要素法：) 0()e(0i)(LLttitLR 最后得到電感電流和電感電壓的表達式為最后得到電感電流和電感電壓的表達式為 L00 LL00( )ee (0) (6 7a)d( )(0) (6 7b)dtRtLtRtLi tIItiu tLRI eRI ett下 頁上 頁 其波形如圖所示。其波形如圖所示。RL電路零輸入響應也是按指數規律衰減，電路零輸入響應也是按指數規律衰減，衰減的快慢取決于常數衰減的快慢取決于常數 。由于。由于 =L/R具有時間的量綱，稱為具有時間的量綱，稱為RL電路的時間常數。電路的時間常數。 圖圖4-7下 頁上 頁RI0uLttI0iL0從以上式子可以

58、得出：從以上式子可以得出：連續連續函數函數躍變躍變 （1）電壓、電流是隨時間按同一指數規律衰減的函數；）電壓、電流是隨時間按同一指數規律衰減的函數； （2）響應與初始狀態成線性關系，其衰減快慢與）響應與初始狀態成線性關系，其衰減快慢與L / R有關；有關；下 頁上 頁令令 = L/R , 稱為一階稱為一階RL電路時間常數。電路時間常數。L大大 W =Li 2/ 2 起始能量大起始能量大R小小 P =R i 2 放電過程消耗能量小放電過程消耗能量小放電慢放電慢 大大 大大 過渡過程時間長過渡過程時間長 小小 過渡過程時間短過渡過程時間短物理含義物理含義時間常數時間常數 的大小反映了電路過渡過程時

59、間的長短的大小反映了電路過渡過程時間的長短電流初值電流初值i(0)一定：一定：（3）能量關系）能量關系RdtiWR 02 電感不斷釋放能量被電阻吸收電感不斷釋放能量被電阻吸收, 直到全部消耗完畢。直到全部消耗完畢。設設iL(0+)=I0電感放出能量：電感放出能量： 2021LI電阻吸收（消耗）能量：電阻吸收（消耗）能量：RdteIRLt2/ 00)( 2021LI dteRIRLt/2 020 02 20| )2/(RCteRLRIiL+uLR下 頁上 頁例例4-2 電路如圖電路如圖4-8(a)所示，開關所示，開關S1連接至連接至1端已經很久，端已經很久， t=0時開時開關關S由由1端倒向端倒

60、向2端。求端。求t 0時的電感電流時的電感電流iL(t)和電感電壓和電感電壓uL(t)。 圖圖4-8解：開關轉換瞬間，電感電流不能躍變，故解：開關轉換瞬間，電感電流不能躍變，故 A1 . 0)0()0(LLii下 頁上 頁 將連接到電感的電阻單口網絡等效為一個的電阻，得將連接到電感的電阻單口網絡等效為一個的電阻，得到的電路如圖到的電路如圖(b)所示。該電路的時間常數為所示。該電路的時間常數為 1mss10200H2 . 03RL 根據式根據式4-7得到電感電流和電感電壓為得到電感電流和電感電壓為)0( Ve20Ve101 . 02 . 0dd)()0( A e1 . 0e)(33310103L