1、第二章第二章 行列式行列式 (determinant ) 2.1 行列式的定義行列式的定義 2.2 行列式的性質行列式的性質 2.3 行列式的應用行列式的應用2.1 行列式的定義行列式的定義 一、二階、三階行列式的定義一、二階、三階行列式的定義 二、二、代數余子式與代數余子式與 階行列式的定義階行列式的定義n一、一階、二階、三階行列式的定義二階行列式：二階行列式：2112221122211211aaaaaaaa 3363312 如，如，一階行列式：一階行列式：1111aa 3355 ，行列式行列式如，如，11a12a22a21a主主對角線對角線副對角線副對角線2211aa .2112aa 二二

2、階階行列式的計算行列式的計算例例1 用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa 得得兩式相減消去兩式相減消去,2x)2()1(.,22221211212111bxaxabxaxa;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（時，時，當當021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.21122211211211

3、2aaaaabbax 由方程組的四個系數確定由方程組的四個系數確定.若記若記,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa對于二元線性方程組對于二元線性方程組系數行列式系數行列式,2221211ababD .2211112babaD 二二元元線性方程組的解線性方程組的解為為,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都為原方程組的系數行列式分母都為原方程組的系數行列式.2221121122111122aaaababaDDx 則則當當系數行列式系數行列式時，時，0 D .2975,10462121xxxx求解二元線性方程組求解二元線

4、性方程組解解7546 D)20(42 , 062 7294101 D,186 2951062 D,124 DDx11 , 362186 DDx22 . 262124 三階行列式：三階行列式：312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 2-43-122-4-21D 計算三階行列式計算三階行列式按按對角線法則，有對角線法則，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 14 定義定義 (1)在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的所在的第

5、第 行和第行和第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列階行列式叫做元素式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA 1 )2(叫做元素叫做元素 的的代數余子式代數余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM

6、1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .個個代代數數余余子子式式對對應應著著一一個個余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每個個元元素素分分別別A1111aa 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 111212122212nnnnnnaaaaaaDdet AAaaa11()a A定義定義2.12.1 (1) (1)一階矩陣一階矩陣 的行列式定義為的行列式定義為(2) (2) 階矩陣階矩陣(2)n n A A的行列式記作的行列式記作二、二、 n 階行列式的定義階行列式的定義nnAaAaAa11

7、12121111 1122,1,2,iiiiininDa Aa Aa A in1122,1,2,jjjjnjnja Aa Aa Ajn 它的任一行它的任一行( (列列) )的各元素與其對應的代數余子式乘積之和的各元素與其對應的代數余子式乘積之和. .定理定理2.12.1 階矩陣階矩陣111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa Ddet AA(2)n n 的行列式的行列式 可表示為可表示為即即(2.7)(2.8)其中其中 為第為第 行各元素的代數余子式行各元素的代數余子式. .從而從而（2.72.7）式也稱為行列式按第）式也稱為行列式按第 行展開行展開. .12,iiinA A,A

8、ii12,jjnjAA,A 為第為第 列各元素的代數余子式列各元素的代數余子式. .（2.82.8）式）式稱為行列式按第稱為行列式按第 列展開列展開. .jj定理定理2.12.1又稱為行列式按行、按列展開定理又稱為行列式按行、按列展開定理2347200013121004D3473120042 343142 )15(42 例例4例例5 已知四階行列式已知四階行列式D第三列元素依次為第三列元素依次為1,2,0,-1，對應的余子式分別為對應的余子式分別為3,-2,4,5，求，求D的值的值.解：解： 5)1()1(4)1(0)2()1(23)1(143332313 D12 例6 計算nnnnnaaaaaaD21222111O 解: nnnnnaaaaaaaD3233322211O nnnnaaaaaaaa434443332211O nnaaa2211 nnnnnaaaaaaD022211211 nnaaa2211 同理有同理有n21 n21 特別地特別地例7 計算斜下斜下三角行列式行列式*012aaaDnn *0)1(1211aaaaDnnnn 1