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文檔簡介

1、一、冪級數及其收斂性一、冪級數及其收斂性二、冪級數的運算二、冪級數的運算三、小結三、小結 第四節第四節 冪冪 級級 數數函數項級數的一般概念函數項級數的一般概念設設),(,),(),(21xuxuxun是是定定義義在在RI 上上的的函函數數, ,則則 )()()()(211xuxuxuxunnn稱稱為為定定義義在在區區間間I上上的的( (函函數數項項) )無無窮窮級級數數. .,120 xxxnn例如級數例如級數一、冪級數及其收斂性一、冪級數及其收斂性1.1.定義定義: :形如形如nnnxxa)(00 的級數稱為的級數稱為0 xx 的的冪級數冪級數. . 的冪級數的冪級數稱為稱為時時當當xxa

2、,0 xn0nn0 2.2.收斂點與收斂域收斂點與收斂域: :否否則則稱稱為為發發散散點點. .所有發散點的全體稱為所有發散點的全體稱為發散域發散域. .定定理理 1 1 ( (A Ab be el l 定定理理) )證明證明, 0lim0 nnnxa,)1(00收斂收斂 nnnxa), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得,M nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,10時時當當 xx,00收收斂斂等等比比級級數數nnxxM ,0收收斂斂 nnnxa;0收收斂斂即即級級數數 nnnxa,)2(0時時發發散散假假設設當當xx 而而有有一一點點1x適適合合01xx

3、 使使級級數數收收斂斂, ,則則級級數數當當0 xx 時時應應收收斂斂,這與所設矛盾這與所設矛盾.由由(1)結論結論xo R R幾何說明幾何說明收斂區域收斂區域發散區域發散區域發散區域發散區域 n nn nn0n0例例1 :1 : 若若冪冪級級數數a xa x 在在x3x3處處收收斂斂, ,則則在在x1x1處處( )( )(A)(A)條條件件收收斂斂;(B);(B)絕絕對對收收斂斂;(C);(C)發發散散;(D);(D)斂斂散散性性不不定定 n nn nn0n0例例2 :2 : 若若冪冪級級數數a (x1)a (x1) 在在x3x3處處收收斂斂, ,則則在在x1x1處處( )( )(A)(A)

4、條條件件收收斂斂;(B);(B)絕絕對對收收斂斂;(C);(C)發發散散;(D);(D)斂斂散散性性不不定定 n nn nn0n0例例3 :3 : 若若冪冪級級數數a (x3)a (x3) 在在x5x5處處發發散散, ,則則在在x0 x0處處( )( )在在x2x2處處( )( )(A)(A)條條件件收收斂斂;(B);(B)絕絕對對收收斂斂;(C);(C)發發散散;(D);(D)斂斂散散性性不不定定如如果果冪冪級級數數 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點點收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個個數數軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個個完完全全確確定定的的正正數數R存存在在, ,它

5、它具具有有下下列列性性質質: :當當Rx 時時, ,冪冪級級數數絕絕對對收收斂斂; ;當當Rx 時時,冪級數發散冪級數發散;當當RxRx 與與時時, ,冪級數可能收斂也可能發散冪級數可能收斂也可能發散. .推論推論定義定義: : 上述上述正數正數R稱為冪級數的稱為冪級數的收斂半徑收斂半徑., 0 R規定規定, R(1) 冪冪級級數數只只在在0 x處處收收斂斂,),RR ,(RR .,RR ),(RR 冪級數的冪級數的收斂域收斂域是指是指冪級數的冪級數的收斂區間收斂區間是指開區間是指開區間(-R,R)如何求冪級數的收斂半徑如何求冪級數的收斂半徑?系系數數模模比比值值法法 如如果果冪冪級級數數 0

6、nnnxa的的所所有有系系數數0 na, 設設 nnnaa1lim,則則 (1) 當當0 時時, 1R; (3) 當當 時時,0 R.(2) 當當0 時時, R;證明證明應應用用達達朗朗貝貝爾爾判判別別法法對對級級數數 0nnnxa3.收斂半徑、收斂域及其求法收斂半徑、收斂域及其求法,)0(lim)1(1存在存在如果如果 nnnaa由比值審斂法由比值審斂法,1|時時當當 x,|0收收斂斂級級數數 nnnxa.0收收斂斂絕絕對對從從而而級級數數 nnnxa,1|時時當當 x,|0發發散散級級數數 nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x , 0)2( 如如果果, 0 x

7、),(011 nxaxannnn有有,|0收收斂斂級級數數 nnnxa.0收收斂斂絕絕對對從從而而級級數數 nnnxa; R收斂半徑收斂半徑,)3( 如如果果, 0 x.0 nnnxa必必發發散散級級數數)|01(0收收斂斂使使知知將將有有點點否否則則由由定定理理 nnnxax. 0 R收斂半徑收斂半徑定理證畢定理證畢.系系數數模模根根值值法法 如如果果冪冪級級數數 0nnnxa的的所所有有系系數數0 na, 設設 nnnalim,則則 (1) 當當0 時時, 1R; (3) 當當 時時,0 R.(2) 當當0 時時, R;例例4 4 求下列冪級數的收斂域求下列冪級數的收斂域:解解)1(nnn

8、aa1lim 1lim nnn1 1 R,1時時當當 x,1時時當當 x,)1(1 nnn級級數數為為,11 nn級級數數為為該級數收斂該級數收斂該級數發散該級數發散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnxn nn nn nn n1 12 21 1( (3 3) )( ( 1 1) )( (x x) ); ;2 2n n n nn nn0n0(-1)(-1)(4) (2x3)(4) (2x3)2n12n1 nnna limnn lim, , oR ;)()2(1 nnnx 0 0nnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收斂收斂即即 x,)1 , 0(收斂收斂

9、xn nn nn nn n1 12 21 1( (3 3) )( ( 1 1) )( (x x) ) . .2 2n n ,0時時當當 x,11 nn級數為級數為,1時時當當 x,)1(1 nnn級數為級數為發散發散收斂收斂故收斂域為故收斂域為(0,1.n nn nn0n0(-1)(-1)(4) (2x3)(4) (2x3)2n12n1 解解 3523222xxx級數為級數為缺少偶次冪的項缺少偶次冪的項應應用用比比值值判判別別法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 級數收斂級數收斂, 1212 x當當,2時時即即 x, 1212 x當當,2時時即即

10、x級數發散級數發散,2時時當當 x,211 n級數為級數為,2時時當當 x,211 n級數為級數為級數發散級數發散,級數發散級數發散,原級數的收斂域為原級數的收斂域為).2, 2( 三、冪級數的運算三、冪級數的運算1.1.代數運算性質代數運算性質: :(1) 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設設 (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30b

11、a01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘積積321xxx(3) 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內收斂域內(相除后的收斂區間比原來相除后的收斂區間比原來兩級數的收斂區間小得多兩級數的收斂區間小得多)2.2.和函數的分析運算性質和函數的分析運算性質: :(2) 冪級數冪級數 0nnnxa的和函數的和函數)(xs在收斂區間在收斂區間),(RR 內可積內可積,且對且對),(RRx 可逐項積分可逐項積分. xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnx

12、na(收斂半徑不變收斂半徑不變)(3) 冪冪級級數數 0nnnxa的的和和函函數數)(xs在在收收斂斂區區間間),(RR 內內可可導導, 并并可可逐逐項項求求導導任任意意次次. 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變)解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s顯顯然然兩邊積分得兩邊積分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x,1時時又又 x.1)1(11收斂收斂 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即(2) 0) )(nnxx

13、xsx 11兩邊積分兩邊積分 01nnnx解解: 易求出冪級數的收斂半徑為易求出冪級數的收斂半徑為1 , 1 , 時級數時級數且且1 x,1)(0 nnnxxs設設收斂收斂 , , 011)(nnnxxxs則則dxxxxsx 011)()1ln(x )1 ,0()0,1 x)(xS, )1ln(1xx )(xS而而)0(S, )1ln(1xx ,10 x,1 ) 0( x1x 0n120n2n12n1 )2(1)x(n )1(nx練習題練習題解解,)1(1nnxnn 考慮級數考慮級數收斂區間收斂區間(-1,1), 1)1()(nnxnnxs則則)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx

14、 12)1(nnnn故故)21( s . 8 四、小結四、小結2.冪級數的收斂性冪級數的收斂性:收斂半徑收斂半徑R3.冪級數的運算冪級數的運算:分析運算性質分析運算性質1.函數項級數的概念函數項級數的概念:思考題思考題 冪級數逐項求導后,收斂半徑不變,那冪級數逐項求導后,收斂半徑不變,那么它的收斂域是否也不變?么它的收斂域是否也不變?思考題解答思考題解答不一定不一定.例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它們的收斂半徑都是它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是但它們的收斂域各是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 一、一、 求下列冪級數的收斂區間求下列冪級數的收斂區間: :1 1、 )2(424222nxxxn;2 2、 nnxnxx125222222;3 3、 122212nnnxn;4 4、)0,0(1 b

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