1、目剛匸知識點撥一、位值原理本講是數論知識體系中的兩大基本問題，也是學好數論知識所必須要掌握的知識要點。通過本講的學習，要求學生理解并熟練應用位值原理的表示形式，掌握進制的表示方法、各進制間的互化以及二進制與實際問題的綜合應用。并學會在其它進制中位值原理的應用。從而使一些與數論相關的問題簡單化。位值原理的定義： 同一個數字，由于它在所寫的數里的位置不同，所表示的數值也不同。也就是說,每一個數字除了有自身的一個值外，還有一個“位置值”。例如“ 2”，寫在個位上，就表示 2個一，寫在百位上，就表示2個百，這種數字和數位結合起來表示數的原則，稱為寫數的位值原理。位值原理的表達形式：以六位數為例：abc

2、def axiOOOOO+b 10000+c 1000+d 1)0O+e W+f。、數的進制我們常用的進制為十進制，特點是“逢十進一”。在實際生活中，除了十進制計數法外，還有其他的大于1的自然數進位制。比如二進制，八進制，十六進制等。二進制的計數單位分別是1、21、22、23、，二進制數也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進制中表示為：（100110）2=1 X25+0 X24+0 X23+1 X22+1 X21+0 X2°。二進制的運算法則：“滿二進一”、“借一當二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得注意：對于任意自然數n,我們有n0=1。n進制：n進制的運

3、算法則是“逢 n進一，借一當n”，n進制的四則混合運算和十進制一樣，先乘除，后加減；同級運算，先左后右；有括號時先計算括號內的。5-7位置原理與數的進制二進制：在計算機中，所采用的計數法是二進制，即“逢二進一”。因此，二進制中只用兩個數字0和1。教學目標進制間的轉換：如右圖所示。目|誡匸例題精講模塊一、位置原理【例1】 某三位數abc和它的反序數cba的差被99除，商等于 與的差;【鞏固】ab與ba的差被9除，商等于 與的差;【鞏固】ab與ba的和被11除，商等于 與的和。【例2】（美國小學數學奧林匹克）把一個兩位數的十位與個位上的數字加以交換，得到一個新的兩位數如果原來的兩位數和交換后的新的

4、兩位數的差是45,試求這樣的兩位數中最大的是多少?（這個數也叫原數的反序數 ），新數比原【鞏固】將一個四位數的數字順序顛倒過來，得到一個新的四位數 數大8802 .求原來的四位數.【鞏固】如果一個自然數的各個數碼之積加上各個數碼之和，正好等于這個自然數， 我們就稱這個自然數為“巧數”。例如，99就是一個巧數，因為 9X9 + （9 + 9）= 99。可以證明，所有的巧數都是兩位 數。請你寫出所有的巧數。【例3】（第五屆希望杯培訓試題）有3個不同的數字，用它們組成 6個不同的三位數，如果這 6個三位 數的和是1554,那么這3個數字分別是多少？【鞏固】（迎春杯決賽）有三個數字能組成 6個不同的三

5、位數，這 6個三位數的和是 2886，求所有這樣的 6 個三位數中最小的三位數.【鞏固】用1, 9, 7三張數字卡片可以組成若干個不同的三位數，所有這些三位數的平均值是多少?【鞏固】從19九個數字中取出三個，用這三個數可組成六個不同的三位數。若這六個三位數之和是3330,則這六個三位數中最小的可能是幾？最大的可能是幾？【鞏固】a, b, c分別是0： 9中不同的數碼，用 之和是2234,那么另一個三位數是幾？a, b, c共可組成六個三位數，如果其中五個三位數這個兩位數就變成了三位數，有些兩9倍。求出所有這樣的三位數。【例4】 在兩位自然數的十位與個位中間插入09中的一個數碼,位數中間插入某個

6、數碼后變成的三位數，恰好是原來兩位數的【鞏固】一輛汽車進入高速公路時，入口處里程碑上是一個兩位數，汽車勻速行使，一小時后看到里程碑 上的數是原來兩位數字交換后的數。又經一小時后看到里程碑上的數是入口處兩個數字中間多一個0的三位數，請問：再行多少小時，可看到里程碑上的數是前面這個三位數首末兩個數字交換 所得的三位數。【鞏固】將四位數的數字順序重新排列后，可以得到一些新的四位數現有一個四位數碼互不相同，且沒 有0的四位數M，它比新數中最大的小3834，比新數中最小的大 4338 .求這個四位數.【例 5 】 已知 abed abc ab a 1370,求abed .【鞏固】（2008年清華附中考題

7、）已知一個四位數加上它的各位數字之和后等于2008,則所有這樣的四位數之和為多少.【例6】 有一個兩位數，如果把數碼3加寫在它的前面，則可得到一個三位數，如果把數碼3加寫在它的后面，則可得到一個三位數，如果在它前后各加寫一個數碼3,則可得到一個四位數.將這兩個三位數和一個四位數相加等于3600 .求原來的兩位數.【鞏固】如果把數碼5加寫在某自然數的右端，則該數增加A1111，這里A表示一個看不清的數碼，求這個數和A。【鞏固】某八位數形如2abcdefg，它與3的乘積形如abcdefg4，則七位數abedefg應是多少?【例7】 一個六位數abcdef ,如 果滿足4 abcdef fabcde

8、 ,則 稱abcdef為"迎春數”（例如4 102564 410256，貝U 102564就是“迎春數”）.請你求出所有“迎春數”的總和.【鞏固】（2008年“華杯賽”決賽）設六位數abcdef滿足fabcde f abcdef，請寫出這樣的六位數.【例8】記四位數abcd為X ,由它的四個數字a,b,c,d組成的最小的四位數記為X ,如果X X*999 ,那么這樣的四位數 X共有個.【例9】將4個不同的數字排在一起,可以組成24個不同的四位數（4 3 2 124）.將這24個四位數按從小到大的順序排列的話，第二個是5的倍數；按從大到小排列的話，第二個是不能被4整除的偶數；按從小到大

9、排列的第五個與第二十個的差在30004000之間.求這24個四位數中最大的那個.模塊二、數的進制【例 10 】(101)2 (1011)2 (11011)2 ；(11000111)2 (10101)2 (112 ( ) 2 ；(3021)4(605) 7()10 ；(63121)8(1247)8 (16034)8 (26531)8 (1744)若(1030)n,140，則 n【鞏固】567（)8 ()5()2 ；在八進制中，1234456 322；在九進制中，144383123 7120 11770 5766【例11】在幾進制中有4 13100 ?【鞏固】在幾進制中有125 125 16324

10、?【鞏固】算式1534 25 43214是幾進制數的乘法?【例12】將二進制數2化為十進制數為多少?【鞏固】二進制數01轉化為8進制數是多少?【鞏固】將二進制數.1011轉換為十六進制數。【鞏固】某數在三進制中為 0121121,則將其改寫為九進制，其從左向右數第I位數字是幾？【例13】現有1克，2克，4克，8克，16克的砝碼各1枚，在天平上能稱多少種不同重量的物體?【例14】在6進制中有三位數abc，化為9進制為cba，求這個三位數在十進制中為多少【鞏固】在7進制中有三位數abc，化為9進制為cba，求這個三位數在十進制中為多少?【鞏固】一個人的年齡用十進制數和三進制數表示，若在十進制數末尾添個“0”就是三進制數，求此人的年齡.【鞏固】N是整數，它的b進制表示是777，求最小的正整數 b,使得N是十進制整數的四次方.【例15】試求(2 2006-1)除以992的余數是多少？【鞏固】計算(32