1、初中數(shù)學(xué)中求函數(shù)極值的常用解法舉例羅江縣函數(shù)極值是指函數(shù)的最大值或最小值，此類(lèi)問(wèn)題在初中數(shù)學(xué)中比較常見(jiàn)。它涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，有著極為豐富的內(nèi)涵，解法也頗具有技巧性。解答這類(lèi)問(wèn)題需要根據(jù)具體的特點(diǎn)，采取不同的方法。現(xiàn)舉例介紹這類(lèi)問(wèn)題的常用解法，供大家參考。一、配方法：配方法是初中數(shù)學(xué)中解題常用的方法，它是將已知代數(shù)式（等式）通過(guò)配方，變形成若干個(gè)完全平方式的形式，結(jié)合完全平方的非負(fù)性質(zhì)，解決問(wèn)題。例1 ：若 x , y 為實(shí)數(shù)，求 A=5 x 2 + 5 y 2 8 xy + 2 x +2y+5 的最小值。分析與解：A=（4x2 8 xy + 4 y2）+（x2 + 2 x + 1）+（

2、 y 2+ 2 y + 1 ）+ 3= ( 2x 2 y ) 2 + ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 +3 顯然，當(dāng) x = 1，y = 1 時(shí)，A有最小值3。二、消元法：消元法是把代數(shù)式（等式）中的幾個(gè)元素轉(zhuǎn)化為以某一元素為主元的函數(shù)，再結(jié)合已知條件，經(jīng)過(guò)運(yùn)算，使問(wèn)題簡(jiǎn)化，便于求解。例2 ：若 2x + y + z = 40，3x+ yz = 30 ，且x、y、 z 均為非負(fù)數(shù)，求A = 5x + 3 y + 2z 的極值。分析與解：由 2x + y + z = 40及3x + y z = 30， 得 x=2z10，y=605z,又由 x0，y 0得2z10 0， 605z

3、0,解得 5z12， 把 x=2z10，y=605z 代入 A=5x+3y+2z 得A=3z+130， 顯然 A 是關(guān)于 z 的一次函數(shù)，且 A 隨 z 增大而減小，所以 當(dāng) z=5 時(shí)，A 的最大值為115，當(dāng) z=12時(shí)，A的最小值為94。三、數(shù)形結(jié)合法: 數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。例3 ：已知 a+b=7 ,且 x > 0, y > 0, 求A= +的最小值。分析與解：本題，看似無(wú)從下手，但若將“式”轉(zhuǎn)

4、化為“形”則可輕松得解。分別以CE=a 、DE=2 和 BC=b、AB= 1為直角邊， DC= 、 AC= 為斜邊，構(gòu)造如圖所示的兩個(gè)Rt DEC 、 Rt ABC 。由圖可知，當(dāng)點(diǎn) C 位于直線(xiàn) AD 上時(shí)，AC+DC 最短，即 A的值最小。 于是過(guò)點(diǎn)D作DG AG交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，ABCDEG則四邊形 BEDG 是矩形， GB = ED = 2又 DG = BE = a + b = 7 AG=AB+BG=3在 Rt ADG 中，AG=3，DG=7， 由勾股定理得：AD= = 即 A的最小值為 。 四、均值不等式法：均值定理：若a0,b0,則。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，出現(xiàn)條

5、件 a0,b0 的極值問(wèn)題時(shí)，我們常作均值代換。例4 ：若 x , y 均為正數(shù)，且 x + y = 2，求 A=(1+ )(1+ ) 的最小值。分析與解：由(1+ )(1+ )=1+及 x + y = 2,得 (1+ )(1+ )=1+ x , y 均為正數(shù) 即 xy=1 當(dāng) xy=1時(shí)，有最小值為3所以 (1+ )(1+ ) 的最小值為4。五、和差代換法：對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，總有x =+，y=，若令a=，b=，則有x=ab，y=ab。這種代換稱(chēng)為和差代換。例5：已知a, b為實(shí)數(shù)，且a 2 + ab + b 2 = 1，t = ab a 2 b 2 ，求t的極值。分析與解：設(shè) a = x +

6、y, b = x y ,把它們代入a 2 + ab + b 2 = 1 中，得：(xy)2(xy) (xy)(xy)2 =1 化簡(jiǎn)得：y2=13x2 y2 0 13x20 即 0x2又 t = ab a 2 b 2 = (xy) (xy)(xy)2(xy)2 = （x23y2） =x23(13x2) =8x23 0x2 08x2 -38x233 所以 t的最小值為-3，最大值為-。六、參數(shù)法：參數(shù)法是指在解題過(guò)程中，通過(guò)適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對(duì)象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進(jìn)行分析與綜合，從而解決問(wèn)題。例 6 ：若=，求A=x22y23z2的最小值。解：設(shè)=k，則x=2k+

7、1，y=3k1，z=2k+3，x22y23z2 =(2k1)22(3k1)23(2k3)2 =10k244k24 =10(k)2當(dāng)k=時(shí)，A的最小值為-。七、整體設(shè)元法：整體設(shè)元法就是把一些看似彼此獨(dú)立而實(shí)質(zhì)是緊密相聯(lián)系的量看成一個(gè)整體去設(shè)元、列式、變形、消元、代入和求值等。例 7 ：已知 x , y 為實(shí)數(shù)，求 x2 + xy + y2 x 2y 的最小值。分析與解：本題要直接求出所求式子的值很困難，故可以采取整體設(shè)元，巧妙運(yùn)用二元一次方程的根的判別式來(lái)解決，思路就顯得非常簡(jiǎn)捷。設(shè) x2 + xy + y2 x 2y = a ，將等式整理成關(guān)于x的二次方程，得 x2 + (y 1)x + (

8、y 2 2y a ) = 0 x 為實(shí)數(shù) = (y 1) 2 4(y 2 2y a ) 0 化簡(jiǎn)整理得 4a 3y2 6y 1 即 4a 3(y 1) 2 4 4 a 1當(dāng) a = 1 時(shí),有 y = 1, x= 0 故 當(dāng) x = 0, y = 1 時(shí), a 有最小值，即x2 + xy + y2 x 2y 的最小值為1。八、利用函數(shù)的性質(zhì)：借助二次（一次）函數(shù)的性質(zhì)，并注意自變量的取值范圍，可使某些求函數(shù)極值的問(wèn)題迎刃而解。例 8 ：已知 x < 0 ，y 0 ，z > 0 且 = y 2xz ，求 y2 4xz 的最小值。 分析與解：將 = y 2xz兩邊平方，整理得：xyz=

9、x2z2+xz x < 0 ， z > 0 xz0 y=xz+1 或 xz=y1 y2 4xz= y24(y1)=(y2)2 因?yàn)?(y2)2為關(guān)于y的開(kāi)口向上的二次函數(shù)，有最小值。又y 0當(dāng)y = 0時(shí)，y2 4xz有最小值為4。九、判別式法：判別式法是初中數(shù)學(xué)求函數(shù)極值的常用方法之一。用判別式法求函數(shù)極值，應(yīng)先將原函數(shù)式變形為一個(gè)一元二次方程。然后根據(jù)方程有實(shí)根的條件判別式0，來(lái)求出y的取值范圍，最后確定出函數(shù)y的極值。這樣就把函數(shù)y的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論一個(gè)一元二次方程有實(shí)根時(shí)y的取值范圍問(wèn)題。引理：二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)變形為ax2+bx+cy=0，因?yàn)閤為實(shí)數(shù)，則=b24a(cy)0，即4ay4acb2，（1）當(dāng)a0時(shí)，有y，此時(shí)函數(shù)有最小值。（2）當(dāng)a0時(shí)，有y，此時(shí)函數(shù)有最大值。例9：求函數(shù)y=的最大值與最小值。解：y=4x24xy(23y)=0x=x 為實(shí)數(shù)(y1)(y2)0y1或y2因此 原式的最大值為1，最小值為2。當(dāng)然，不