1、第1 1頁(yè)共 1515 頁(yè)2020 屆福建省龍海市第二中學(xué)高三上學(xué)期期初數(shù)學(xué)（文）試一、單選題1 1.已知集合二：、工 3 二匕 1 1 II -的必要而不充分條件 【考點(diǎn)】充分條件與必要條件 X5 5 .已知函數(shù)f x x a e的圖象在x 1和x1處的切線相互垂直，則a（ ）A A .1B B. 0 0C C. 1 1D D . 2 2【答案】A A【解析】因?yàn)閒 （X）(x a 1)ex1a，所以f (1) (a 2)e, f( 1) ae1，由e題意有f(1)f( 1)1，所以a1，選 A.A.6 6 設(shè)函數(shù) f f（x x）是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，在區(qū)間1,0）上是增函數(shù)，且f(x

2、 2)f(x)，則有（)1A A .f(3)f(f)f(1)B B.f(1)31七)3231331C.f(1)f(3)f(2)D Df (1) f(;)3【答案】丿A A【解析】由題意可得f1f1-,f (1)f( 1),33f 3f 12f1，再利用函數(shù)在區(qū)間1,0）上是增函數(shù)可得答案222【詳解】解：Qf f （x x）為奇函數(shù)，f（ x)f (x),又Q f (x2)f(x)f1f13,f (1) f( 1),f -f丄2f丄，33222又Q 1,11210,且函數(shù)在區(qū)間1,0）上是增函數(shù)，1111f( 1)f -f -0,f( 1)f -f -2323C C .充分必要條件第3 3頁(yè)共

3、 1515 頁(yè)f(1)故選 A.A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性比較函數(shù)值的大小， 考查利用知識(shí)解決問(wèn)題的能力【答案】C C【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)不等式的問(wèn)題求解.【詳解】由題意得，原不等式等價(jià)于loga21且log3a 1,340 a 1所以2且log3a 1,logalogaa4323解得2a 1且3a 1,343所以3a 14所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是I，1故選 C C.【點(diǎn)睛】 解對(duì)數(shù)不等式時(shí)，一般要根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行，若對(duì)數(shù)的底數(shù)為參數(shù)，則需要注意對(duì) 底數(shù)進(jìn)行分類討論，同時(shí)不要忽視真數(shù)大于零這一隱含條件.8 8 .函數(shù) f(x)f(x) = =cos( x)的

4、部分圖像如圖所示，貝 y yf f (x)(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(B B.(2k-,2k-),k Z4427 7 若實(shí)數(shù)a滿足loga -1 log3a，則a的取值范圍是()343422 33門(mén)2A A .,1B B.C C.-,1D D.0,33 443第4 4頁(yè)共 1515 頁(yè)C C.(k 4,k4),kZ【答案】D D13D D(2k,2k-), k Z44【解析】由五點(diǎn)作圖知，442，解得-24，所以f（x）cos( x ),4令2kx 2k413間為（2k -,2k-）,44【考點(diǎn)】三角函數(shù)圖像與性質(zhì),kZ，解得Z，故選2kD.D.Z，故單調(diào)減區(qū)9 9若函數(shù)f （x） x,則函數(shù)yf

5、（x）logi ,x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（2B B. 4 4 個(gè)C C . 3 3 個(gè)D D . 2 2 個(gè)【答案】D Dlogjx有 2 2 個(gè)交點(diǎn)，所以選 D.D.2【解析】如圖：函數(shù) f f（x x）與函數(shù)g（x）212,x 11010 .已知函數(shù)f x |2x 1 ,xlog75A.-B B.44【答案】A A【解析】試題分析：f ax 13 2log2a 13a 7f 6 a【考點(diǎn)】函數(shù)求值23或27f 1224，且fa13，則f 6 a（）31C C.D.-441111.函數(shù)飛沁 zs.的圖像大致為（）第5 5頁(yè)共 1515 頁(yè)【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)辂惗耘懦?A,C,A,C,

6、當(dāng)函數(shù)在.軸右側(cè)靠近原點(diǎn)的一個(gè)較小區(qū)間（0 0 川）時(shí)，扛兀）=8181 曲斗乂師狀-如其=亦強(qiáng)垃0 0，函數(shù)單調(diào)遞增，故選 D.D.【考點(diǎn)】函數(shù)圖象與函數(shù)性質(zhì).1212 設(shè)函數(shù)yf（x）的圖像與y 2x a的圖像關(guān)于直線yx對(duì)稱，且f( 2)f( 4)1則a()()A A .1B B.1C C.2D D.4【答案】C C【解析】【詳解】試題分析：設(shè) （x,x, y y）是函數(shù)y f（x）的圖像上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線y x對(duì)稱為（y, x）,由已知（y, X）在函數(shù)y2x a的圖像上，x 2y a,解得ylOg2(x)a，即f (x)log2( x) a,- f ( 2)f ( 4)log22

7、 a log24 a 1，解得a 2，故選 C C.【考點(diǎn)】函數(shù)求解析式及求值二、填空題1313.函數(shù)y sinx J3cosx的圖像可由函數(shù)y 2sin x的圖像至少向右平移 _個(gè)單位長(zhǎng)度得到.【答案】3【解析】試題分析：因?yàn)閥 si nx 3cosx 2si n( x -)，所以函數(shù)3第6 6頁(yè)共 1515 頁(yè)y sinx.、3cosx的的圖像可由函數(shù)y 2sin x的圖像至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度3得到.【考點(diǎn)】三角函數(shù)圖像的平移變換、兩角差的正弦公式【誤區(qū)警示】在進(jìn)行三角函數(shù)圖像變換時(shí)，提倡先平移，后伸縮”但 先伸縮，后平移”也經(jīng)常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握，無(wú)論是哪種變形，切記每一

8、個(gè)變換總 是對(duì)字母x而言，即圖像變換要看變量”變化多少，而不是 角”變化多少.31414 .已知函數(shù)f x ax x 1的圖像在點(diǎn)1, f 1的處的切線過(guò)點(diǎn)2,7，則a【答案】1 1【解析】試題分析：f x23ax 1f 1 3a 1,f(1) a 2 l: y (a 2)(3a 1)(x 1)7 (a 2)(3a 1)(2 1) a 1. .【考點(diǎn)】1 1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2 2、直線方程. .【方法點(diǎn)晴】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線方程，涉及分特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng),屬于較難題型 首先求導(dǎo)可得f x3ax21f

9、1 3a 1,f(1) a 2 l:y (a 2)(3a 1)(x 1)7 (a 2)(3a 1)矽1)a 1.1515 .已知tan( )2，則sin(2 )的值等于44【答案】10【解析】由tan()2，解得tan3,41 tan第7 7頁(yè)共 1515 頁(yè)2sin coscos2sin22:2cos sin2 ( 3) 1 ( 3)2221 ( 3)270的距離為 2JJ2JJ，貝 U U= =_【答案】2【解析】 由題根據(jù)三角函數(shù)圖像與性質(zhì)可得交點(diǎn)坐標(biāo)為1-(k115 ,2),( -(k2,2),k2Z, ,距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)一定215在同一個(gè)周期內(nèi)，2.3()2(2 2)2,442【考

10、點(diǎn)】三角函數(shù)圖像與性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】正、余弦函數(shù)的圖像既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形 應(yīng)把三角函數(shù) 的對(duì)稱性與奇偶性結(jié)合，體會(huì)二者的統(tǒng)一 這樣就能理解條件距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)”- 定在同一個(gè)周期內(nèi)，本題也可從五點(diǎn)作圖法上理解三、解答題1717 .函數(shù)f x3sin 2x的部分圖象如圖所示6(1 1)寫(xiě)出f x的最小正周期及圖中X。、y的值；求fx在區(qū)間上的最大值和最小值因?yàn)閟in(2)子(sin 2cos2近2)(2s in cos cos2sin2).2 2tan 1 tan221 tan21616 .已知0,0,在函數(shù) y=2siny=2sinx x 與 y=2cosy=2cos x x 的

11、圖像的交點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)第8 8頁(yè)共 1515 頁(yè)【解析】【詳解】試題分析：(1 1 )由圖可得出該三角函數(shù)的周期，從而求出Xo,y。；把2x看作一個(gè)整體，從而求出最大值與最小值 6(1 1)由題意知：f x的最小正周期為，令 y=3y=3，則2x 一+2k，k Z6 2得x+k,k Z，所以X。7,y。3. .66(2 2)因?yàn)閤,，所以2x5-,0，于2126 6當(dāng)2x0，即x時(shí)，f x取得最大值 0 0；612當(dāng)2x6-，即x時(shí),fx取得最小值3. .23【考點(diǎn)】本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求三角函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查 同學(xué)們數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，考查同學(xué)們

12、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力321818 .設(shè)函數(shù)f x x 3ax 3bx的圖像與直線12x y 1 0相切于點(diǎn)1, 11(1)求a, b的值；(n)討論函數(shù)f x的單調(diào)性.a 1【答案】(1 1)( 2 2)單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3), ,單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)(3,b 3【解析】【詳解】第9 9頁(yè)共 1515 頁(yè)根據(jù)f (1)11, f (1)12建立關(guān)于 a,ba,b 的方程. .(2) 由f (x) 0得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；由f (x) 0得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間 (2)，解). .第 1010 頁(yè) 共 1515 頁(yè)解：求導(dǎo)得f (x) 3x26ax 3b.由于 f f (x)(x)的圖像與直線1

13、2x y 10相切于但當(dāng) x x (-1(-1 ， 3)3)時(shí)， f(x)f(x) 是減函數(shù).2f (x) x22x 3,0,貝 U Ux 0,通過(guò) f(x)f(x) f(f( x)x)求解. .( 3 3)利用( 2 2)的單調(diào)性求解 . .【詳解】(1 1)Q y f (x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，當(dāng)x 0時(shí),f(x) x22x 3,當(dāng)x 0時(shí)，設(shè)x 0，貝 U Ux 0,22f(x) f ( x) ( x)22( x) 3 x22x 3即x 0時(shí)，f(x) x22x 3. .故f (x)x22x 3,x 0 x22x 3,x 0(2(2)如圖所示:點(diǎn)(1, 11)，所以f(1)11,

14、f (1)12,1 3a 3b11即3 6a 3b12,解得 : :a 1,b3. .(2)(2)由a 1,b3得：2f (x) 3x26ax23b 3(x22x 3)3(x 1)(x3)令 f f ( (x) ) 0 0,解得 x xv-1-1 或 x x 3 3;又令 f f(x)(x) 0 0 解得-1-1vx xv3 3.故當(dāng) x x ( (, , -1)-1)時(shí), f(x)f(x) 是增函數(shù),當(dāng) x x(3,)(3,)時(shí)，f(x)f(x)也是增函數(shù),1919 .已知y f (x)是定義在()上的偶函數(shù)，當(dāng)x 0時(shí)，f (x)2x3. .1 1) 用分段函數(shù)形式寫(xiě)出y f (x)的解析

15、式;2 2) 寫(xiě)出y f (x)的單調(diào)區(qū)間;3 3) 求出函數(shù)的最值 . .答案】1 1)2xf(x)2x2x 3,x2x 3,x0 0; (2 2) f(x)f(x)的增區(qū)間為01,0)，1,)，區(qū)間為(1，0,1;3 3)最小值為 -4-4，無(wú)最大值 . .解析】1 1) 根據(jù)y f (x)是定義在()上的偶函數(shù)，且當(dāng)x 0時(shí)，2 2) 每一段都是二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解第 iiii 頁(yè)共 i5i5 頁(yè)A5-當(dāng)x0時(shí)，f (x)x22x3，對(duì)稱軸為x1,增區(qū)間為1,)，減區(qū)間為0,1；當(dāng)x0時(shí)，f (x)x22x3，對(duì)稱軸為x 1,增區(qū)間為1，)，減區(qū)間為(，1. .綜上，f

16、(x)f(x)的增區(qū)間為1,0),1,)，減區(qū)間為(，1,0,1. .(3 3)由(2 2)知，當(dāng)x 0時(shí)，f (x) x22x 3,f (x)minf(1) 1 2 34，無(wú)最大值；當(dāng)x 0時(shí)，f (x) x22x 3，f (x)minf( 1) 1 2 34，無(wú)最大值. .綜上，函數(shù)的最小值為-4-4，無(wú)最大值. .【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題 2020 .已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸的拋物線，焦點(diǎn)F在直線2x 3y 4 0上. .(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程 【答

17、案】(1 1)y28x； (2 2)y24x 8. .第1212頁(yè)共 1515 頁(yè)【解析】(1 1)根據(jù)焦點(diǎn)在直線2x 3y 4 0上，且拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，令y 0，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)即可2(2)設(shè)M(x,y)，A為， ,Bx2,y2，根據(jù)A、B在拋物線上，有yi8治，解 【詳解】(1 1)Q焦點(diǎn)在直線2x 3y 4 0上,且拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，設(shè)方程為y22px(p 0)，則號(hào)2，求得p 4，則此拋物線方程為y28x. .(2 2)設(shè)M(x, y)，A為，yi，B X2, y2因?yàn)锳、B在拋物線上，2所以yi8x1，2y28x2，2x XiX

18、2，2y yiy?，- -得yiy2yiy 8 XiX2，設(shè)直線方程：y yk x X04代入k -，M (2,0)，ykyiy28 84Xix2yiy22yy當(dāng)直斜率存在時(shí),2y 8x2，兩式相減得到y(tǒng)iy2 %y?8 XiX2，再分直斜率存在和不存在求第 iiii 頁(yè)共 i5i5 頁(yè)4得y (x 2)，y2y 4x 8。當(dāng)直線斜率不存在，M與F重合2M (2,0)，滿足. .y 4x 8。綜上，弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程：y 4x 8.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線方程的求法以及弦中點(diǎn)軌跡問(wèn)題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題 2121 .已知函數(shù) f(x)f(x) lnln

19、x x,g(x) a(x 1)(i)當(dāng)a 2時(shí)，求函數(shù)h(x) f (x) g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(n)若x 1時(shí)，關(guān)于x的不等式f(x) g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(川)若數(shù)列an滿足an i1 an,a33，記an的前n項(xiàng)和為Sn，求證：a 0時(shí)，因?yàn)閤 1，所以a x 1 lnx 0顯然不成立，先證明因此a 1時(shí)，f x g x在1,上恒成立，再證明當(dāng)0 a 1時(shí)不滿足題意，從而可得結(jié)果;(IIIIII)先求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，結(jié)合(IIII)可得2ln2 2,ln33,ln44, ,ln n n,各式相加即可得結(jié)論. .試題解析：(i)由a2，得h xf xg x

20、lnx 2x 2, (x 0). .所以u(píng)1c 1 2xh xln(1 23 4 .n) Sn. .【答案】1(I)(1,);(IIII )1,)；(illill)證明見(jiàn)解析. .【解析】 試題分析:(i)求出hx，在定義域內(nèi)，分別令可得函數(shù)h x增區(qū)間，h x0求得x的范圍，可得函數(shù)h x的減區(qū)間；(n)當(dāng)h x 0求得x的范圍,第1414頁(yè)共 1515 頁(yè)xx令h x0,解得x或x 0(舍去) ，所以函數(shù)h x f x g x的單調(diào)遞2減區(qū)間為2，(n)由fx g x得，a x 1lnx0當(dāng)a 0時(shí)，因?yàn)閤 1，所以a x 1 lnx 0顯然不成立，因此a 0. .方程;第 1313 頁(yè)共

21、 1515 頁(yè)1令F x a x 1lnx，則卩xa1xa，令Fx 0,得x -.Clxxa當(dāng)a11時(shí)，0丄a1,F x0, F x F10，所以a x 1 lnx，即有f xg x. .因此a 1時(shí)，f xg x在1,上恒成立 1當(dāng)0 a 1時(shí)，-a1,F x在1丄上為減函數(shù)，a1在，上為增函數(shù)，a FxminF 10,不滿足題意綜上,不等式f xg x在1,上恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,. .(III(III )證明：由an11 an, a33知數(shù)列an是a33,d1的等差數(shù)列，所以ana3n3 dn所以Snna1ann 1n22由(n)得，lnxa x 1x 1x在1,上恒成立 所以

22、ln22,l n3 3,l n4 4,ln nn. .將以上各式左右兩邊分別相加，得ln2ln3ln4Inn 23 4n. .因?yàn)閘n1 01n 1 n所以ln1ln2ln3ln4lnn1 2 3 4nSn2所以In 123 4nSn. .2222.在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的方程為寸4x. .(1(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程;x2 tcos(2 2)直線|的參數(shù)方程是tsi n(t為參數(shù))，1與C交于A,B兩點(diǎn),yABAB 4 4 6 6，求|的傾斜角. .【答案】(1)sin24cos0; (2 2)或44【解析】(1)(1)由題意利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式可將直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)第1616頁(yè)共 1515 頁(yè)(2)(2)聯(lián)立直線參數(shù)方程與拋物線方程，結(jié)合參數(shù)的幾何意義求得sin的值即可確定直線的傾斜角 【詳解】x cos2(1 1) ，代入