1、第1 1頁共 2424 頁2019 屆山東省臨沂市高三模擬考試（三模）數學（理）試題一、單選題1.1.設集合A =xln x0 0 時，直線過可行域且在 y y 軸上截距最 大時，z z值最大，在 y y 軸截距最小時，z z 值最小；當 b bv 0 0 時，直線過可行域且在 y y 軸上 截距最大時，z z 值最小，在 y y 軸上截距最小時，z z 值最大. .5 5從 0 0, 1 1, 2 2, 3 3 這四個數中任取兩個不同的數組成一個兩位數，則這個兩位數是偶數的概率為()252 25A A B B. 一C.-D D .779 99y y 軸上的截距最大，B 2,2處取得最大值,第

2、5 5頁共 2424 頁【解析】由題意列出所有可能的結果，然后結合古典概型計算公式可得概率值【詳解】能組成兩位數有：1010, 1212, 1313, 2020, 2121, 2323, 3030, 3131, 3232，總共有 9 9 種情況. .其中偶數有 5 5 種情況，故組成的兩位數是偶數的概率為故選：D.D.【點睛】本題主要考查古典概型計算公式，屬于中等題 6 6 .函數f x ,g x的定義域都為R，且f x是奇函數，g x是偶函數，設h(xf (x +1片g (x +1)，則下列結論中正確的是()C C .h x的圖象關于x =1對稱D D.h x的圖象關于x = -1對稱【答案

3、】D【解析】由題意結合函數的奇偶性和函數的平移特性即可確定后函數h x的性質【詳解】首先考查函數H(x)= f(xj+g(x),其定義域為R，且H (-x)= f (-x) + g(-x)= f (x”g(x)= H (x),則函數H x為偶函數，其圖像關于y軸對稱，將H (x )的圖像向左平移一個單位可得函數h(x)=H (x+1)=|f (x+1 + g(x+1)的圖像，據此可知h x的圖象關于x = -1對稱故選：D.【點睛】本題主要考查函數的奇偶性，函數圖像的平移變換等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力7 7 .秦九韶，中國古代數學家，對中國數學乃至世界數學的發展做出了杰出貢獻

4、.他所創立的秦幾韶算法，直到今天，仍是多項式求值比較先進的算法用秦九韶算法是將f x =2019x20182018x20172017X2012x 1化為A A.h x的圖象關于(1,0)對稱B B.h x的圖象關于(-1,0)對稱第6 6頁共 2424 頁由題意，在 ADCADC 中，由余弦定理可得:9 16 T31cosC =-2漢3漢42則sin C -,2f X j：2019x 2018x x 2017 x2x1再進行運算，在計算f Xg的B B.n _2和S二Sxgn 1D D.n_1和S=Sxgn-1【答案】C C【解析】由題意結合秦九韶算法和流程圖確定所需填入的程序語句即可【詳解】

5、由題意可知，當n =1時程序循環過程應該繼續進行，n= 0時程序跳出循環， 故判斷框中應填入n _ 1,由秦九韶算法的遞推關系可知矩形框中應填入的遞推關系式為：S二 n, 故選：C.C.【點睛】本題主要考查流程圖問題， 流程圖與秦九韶算法的綜合運用等知識，意在考查學生的轉 化能力和計算求解能力8 8.在ABC中，B =45,D是BC邊上一點，AD 13,AC =4,DC =3,則AB的長為（）C C.3.3【答案】D D【解析】 首先求得cosC的值，然后利用正弦定理解三角形即可【詳解】值時，設計了如下程序框圖，則在和中可分別填入（）A A.n_2和S=SXDn3“62第7 7頁共 2424

6、頁據此可得：AB=26. .故選：D.D.【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力 2 2XV229 9若雙曲線2=1 a 0,b 0的一條漸近線被圓x- V-2 =2所截得的a b【詳解】設圓心到直線的距離為d，由弦長公式可得：2、.2_d2= 2，解得：d = 1,雙曲線的漸近線方程為：bx_ay=O，圓心坐標為0,2,0士2a2ac故：-=1，即：1，雙曲線的離心率e2. .a bca故選：B.B.【點睛】本題主要考查圓的弦長公式，點到直線距離公式，雙曲線離心率的求解等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力. .1010 如圖是

7、某幾何體的三視圖，則過該幾何體頂點的所有截面中，最大截面的面積是( )在VABC中，由正弦定理可得:ABsin CAC，即:sin BAB 4：3 一2，2 2弦長為 2 2,則雙曲線C的離心率為()A A 、3C、,5【答案】B B【解析】由題意首先求得圓心到直線的距離，雙曲線的離心率 B B. 2 2D D 2-5然后結合點到直線距離公式整理計算可得第8 8頁共 2424 頁A A 2 2B B.3【答案】A A【解析】首先確定幾何體的空間結構特征，然后結合面積公式求解面積的最大值即可【詳解】由三視圖可知其對應的幾何體是一個半圓錐，且圓錐的底面半徑為 故俯視圖是一個腰長為 2 2,頂角為1

8、20的等腰三角形,易知過該幾何體頂點的所有截面均為等腰三角形，且腰長為2 2，頂角的范圍為0：,120；,1設頂角為二，則截面的面積：S 2 2 si- 2s in二,2當v -90時，面積取得最大值2. .故選：A.A.【點睛】本題主要考查三視圖還原幾何體的方法，三角形面積公式及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力 r = . 3，咼h = 1，第9 9頁共 2424 頁1111若函數f x=x2-kex在（0,上單調遞減，則k的取值范圍為（）第1010頁共 2424 頁【答案】C C【詳解】由函數的解析式可得：f x = 2x - kex，函數在（0,：）上單調遞減，則2x據

9、此可得：k-恒成立，e2x2-x令g x =-x x 0，則g xe_ee故函數g x在區間0,1上單調遞增，在區間 1,=1,=上單調遞減，22函數g x的最大值為g 1，由恒成立的結論可得：k_ ，ee表示為區間形式即2, ,；. ._e_e故選：C.C.【點睛】本題主要考查導函數研究函數的單調性，函數最值的求解，恒成立問題的處理方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力（兀）1212 .已知函數f x =sinl2x，若方程I 6丿（0 X1CX2v 兀）,則sin（為x2）=（34A A. - 一B B.55【答案】B B【解析】由題意首先確定函數的對稱軸，然后結合題意和三角函數

10、的性質、同角三角函數基本關系和誘導公式即可確定sin （xi x2）的值. .【詳解】_e【解析】將原問題進行等價轉化為恒成立的問題,然后利用導數的性質可得實數k k 的取x 4 41313 .已知向量a，b滿足：a=3,b=4,a+b= V41，則| a b|=_【答案】3 344【解析】由題意結合平行四邊形的性質可得a -b的值 【詳解】 由平行四邊形的性質結合平面向量的運算法則可得:2 a【點睛】本題主要考查向量模的計算，平行四邊形的性質等知識， 意在考查學生的轉化能力和計 算求解能力 14.已知函數f x=logax-1 -1（a0,且a = 1）的圖象恒過點A，若點A在角的終邊上，則

11、cos2-sin【答案】5【解析】 首先確定點 A A 的坐標，然后由三角函數的定義求得sin：,co的值，最后結(2sin為-x2=sin 2x2(n二sin 2x232二cos I 2x2-I26丿 n1由題意：sin 2x2I26丿據此可得:ab =3. .+a_b2,+ b )=a+b +ab,即：2(32+42)=(阿 $第1313頁共 2424 頁合二倍角公式可得三角函數式的值第1414頁共 2424 頁【詳解】由函數的解析式可知點A A 的坐標為A 2, -1,由三角函數的定義可得:【點睛】本題主要考查對數函數恒過定點問題，由終邊點的坐標求解三角函數值的方法等知識, 意在考查學生

12、的轉化能力和計算求解能力 (2弋15在1 x的展開式中，x3項的系數為I x丿【答案】4040【解析】由題意利用排列組合的性質可得X3項的系數. .【詳解】由題中的多項式可知，若出現X3，可能的組合只有：p(-X f和-K(-X j4, 乙x.X j結合排列組合的性質和二項式展開式的過程可得X3系數為：C獲13漢20疋(一1,+。6匯11匯。5漢21漢(一14=40.【點睛】本題主要考查二項式展開式與排列組合的綜合運用，屬于中等題21616 已知拋物線C : y =2px p 0的焦點為F，直線I與C交于A,B兩點，AF _ BF，線段AB的中點為M，過點M作拋物線C的準線的垂線，垂足為N,A

13、B則-1的最小值為_ MN【答案】.2【解析】由題意結合拋物線的定義和均值不等式的結論整理計算即可求得最終結果. .【詳解】如圖所示，設拋物線的準線為I，作AQ一l于點Q,BP _ l于點P,_ 2.5，故cos2：- -sin2： =cos2二一sin2x sin2:I I - -5第1515頁共 2424 頁由拋物線的定義可設：AF = AQ = a, BF =|= b,當且僅當a=b時等號成立【點睛】的轉化能力和計算求解能力 三、解答題1717 .已知數列滿足印=1耳1二an 2n2.(1) 判斷數列an2n，是否為等差數列，并說明理由；(2) 記Sn為數列n 的前n項和，求Sn. .【

14、答案】(1 1)見解析；(2 2)Sn二n22 n-2n2【解析】(1)(1)由題意結合等差數列的定義和數列的遞推關系即可確定數列為等差數列；(2)(2)結合(1)(1)中的結論首先確定數列的通項公式，然后分組求和確定其前 n n 項和即可. .【詳解】(1 1)- an 1二an-2n2,由勾股定理可AB+|BF|2= Ja2+b2,由梯形中位線的性質可MN則:122a ba b22- ab2AB.a2bMN2. .AB |MN的最小值為J2 .本題主要考查拋物線的定義及其應用,均值不等式求最值的方法等知識，意在考查學生AF第1616頁共 2424 頁 ani，2n1- an-2n=2, -

15、數列an- 2n為公差為2的等差數列(2(2) /a1=1 ,:.a12=3，由(1 1)可得：an2n= 3 2(n -1)=2n 1, & =2(1 2 3 HI n) - 2 2223|l| 2nn,2 1-2二n22n - 2n 12. .【點睛】本題主要考查由遞推關系式證明數列為等差數列的方法,考查學生的轉化能力和計算求解能力 1818 如圖，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，點E是CD的中點，將BEC沿BE折起到BEC的位置，使二面角C-BE-C是直二面角.(1)證明:BC_ 平面AEC;(2(2)求二面角C - AB - E的余弦值.【解析】(1)(1)由題意利用幾何

16、關系結合線面垂直的判定定理即可證得題中的結論；(2)(2)由幾何體的空間結構特征建立空間直角坐標系，分別求得兩個半平面的法向量，利用所得的法向量整理計算可得二面角的余弦值 【詳解】(1 1) TAB=2AD=2，點E是CD的中點，ADE,BCE都是等腰直角三角形，/AEB=90,即AE丄BE.又 T二面角C-BE -C是直二面角，即平面C EB 平面ABE,平面C EB -平面ABE二BE,AE平面ABE,分組求和的方法等知識， 意在【答案】(1 1)見證明;第1717頁共 2424 頁二AE_ 平面C EB,又 TBC平面C BE, BC _ AE,又TBC _EC,EC平面AEC,AE一E

17、C = E,BC_ 平面AEC. .(2 2)如圖，取BE的中點O,連接CO,TCB =C E, CO _ BE,平面C EB_平面ABE，平面C EB 平面ABE = BE,CO平面CEB,- C O_ 平面ABE,過O點作OF LI AE，交AB于F,TAE _ EB, OF _ OB,以OF,OB,OC所在的直線為x軸、y軸、z z 軸，建立如圖所示坐標系O - xyz,則O(0,0,0),A竝-,Bh 逅0、,討0,0糾12丿12丿12丿CA =遠-辺，-遼,二0,遼I 22丿12設n = (x, y, z)為平面ABC的一個法向量，則所以cos ”：m, n巴衛13，即二面角C -

18、AB - E的余弦值為丄3n CA=0“昴，$-遼y-遼z=0即 一2一2、2、2門取 y y = = z=1z=1，貝 V V x=1x=1 ,- n = (1,1,1),ABE, m =OC二0,0,為平面ABE的一個法向量,第1818頁共 2424 頁|m| |n| V333第1919頁共 2424 頁【點睛】 本題的核心在考查空間向量的應用，需要注意以下問題：(1)(1)求解本題要注意兩點： 一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運算，要認真細心，準確計算.設m,n分別為平面 aB的法向量，則二面角(與m, n互補或相等 求解時一定要 注意結合實際圖形判

19、斷所求角是銳角還是鈍角.2 2Xy佃.已知橢圓C:二2a b 0的離心率為abN兩點，OMN(O為坐標原點)的面積為 .X2(1)求橢圓C的方程;2 2【答案】(1 1)H1( 2 2)4 284【解析】(1)(1)由題意求得 a,b,ca,b,c 的值即可確定橢圓方程；(2)(2)分類討論直線的斜率存在和斜率不存在兩種情況，聯立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理和均值不等式即可確定三角形面積的最大值【詳解】2 2(1)橢圓C :篤與=1(a b 0)與拋物線y2= = X X 交于M,N兩點，a b可設M (x,、x),N (x, - x),OMN的面積為;a -1 - a 1,-x X =2

20、 2，解得x=2, M(2, J2),N(2,-、2),， 且與拋物線2 2(2)如圖，點A為橢圓上一動點(非長軸端點)Fi,F2為左、右焦點，AF2的延長線與橢圓交于B點，AO的延長線與橢圓交于C點，求ABC面積的最大值.第2020頁共 2424 頁a -T42由已知得22=1，解得a=22,b=2,c = 2,a b2以丄2a =b +c2 2-橢圓C的方程為.1. .84(2 2)當直線AB的斜率不存在時，不妨取A(2八2),B(2,-、2),C(_2,-.2),故=ABC = 2 2 4 = 4 J2；2，當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y二k(x-2),A x,y, B X

21、2,y2，,k(x-2)聯立方程x2y2，化簡得2k21 x2-8k2x 8k2-8=0,84 -則,=64k2-4 2k21 8k2-8=32k210，228k8k -8X?2，XX222k212k21I _2kI2 Ik I點O到直線kx -八2k =0的距離d二J k1，| AB | T k2訃X1- X2-4X1x2(1+k2)F8k2,8k2- 8-422k21k212k2因為O是線段AC的中點，所以點C到直線AB_4|k|_.k21SZABC=1 |AB|2d =1k21k2k212kT器也）第2121頁共 2424 頁k2k21k2k21(2k2+1)k2+(k2+1 )2k2k

22、214k2k211一，又k2= k2 1,所以等號不成立4第2222頁共 2424 頁2 2k k 1222k 1綜上，ABC面積的最大值為4 2.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)(1) 注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)(2) 強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.2020 在中國移動的贊助下，某大學就業部從該大學20182018 年已就業的A、B兩個專業的大學本科畢業生中隨機抽取了 200200 人進行月薪情況的問卷調查， 經統計發現，他們的月 薪收入在30003000 元

23、到 90009000 元之間，具體統計數據如下表：月薪(百元)弓0,40 )一40,50 )_50,60 )60,70 )70,80)80,90)人數202036364444505040401010將月薪不低于 70007000 元的畢業生視為 高薪收入群體”,并將樣本的頻率視為總體的概率, 巳知該校20182018 屆大學本科畢業生李陽參與了本次調查問卷，其月薪為35003500 元.(1 1)請根據上述表格中的統計數據填寫下面的2 2列聯表，并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過0.0250.025 的前提下認為高薪收入群體”與所學專業有關？非咼薪收入群體咼薪收入群體合計A A 專業B

24、 B 專業2020110110合計(2 2)經統計發現，該大學 20182018 屆的大學本科畢業生月薪X(單位：百元)近似地服從正態分布N(=196),其中近似為樣本平均數X(每組數據取區間的中點值)若X落在區間(-2 4.2 ,S.ABC第2323頁共 2424 頁，2 2 二)的左側，則可認為該大學本科生屬就業不理想”的學生，第2424頁共 2424 頁學校將聯系本人，咨詢月薪過低的原因，為以后的畢業生就業提供更好的指導1試判斷李陽是否屬于 就業不理想”的學生；2中國移動為這次參與調查的大學本科畢業生制定了贈送話費的活動，贈送方式為：月薪低于J的獲贈兩次隨機話費，月薪不低于J的獲贈一次隨

25、機話費，每次贈送的話贊Z及對應的概率分別為：贈送話費 z z （單位： 元）6060120120180180概率11 1123 36則李陽預期獲得的話費為多少元附：K22n ad be亠，其中，n =a b e d.a b b e e d b d【答案】（1 1）見解析；（2 2）見解析；見解析【解析】（1 1）首先寫出列聯表，然后計算K2的值給出結論即可；由題意求得亠-2二的值然后判定學生就業是否理想即可;由題意首先確定 Z Z 可能的取值，然后求得概率可得分布列，最后利用分布列計算數學期 望可得其預期獲得的話費 【詳解】（1 1）列出列聯表如下：非咼薪收入群體咼薪收入群體合計A專業6060

26、30309090B專業90902020110110合計1501505050200200200（620一3 9）2迥七061 5.024，150 50 90 11033所以在犯錯誤的概率不超過0.0250.025 的前提下能夠判斷高薪收入群體”與所學專業有關（2 2）月薪頻率分布表如下：K2第2525頁共 2424 頁月薪(百元)30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)人數202036364444505040401010頻率0.10.10.180.180.220.220.250.250.20.20.050.05將樣本的頻率視為總體的概率，該大學20182018 屆

27、的大學本科畢業生平均工資為：=35 0.145 0.18 55 0.22 65 0.25 75 0.2 85 0.05 =59.2,月薪X N(打96),；2“96，二=14,-2;- - 59.2 28 =31.2,20182018 屆大學本科畢業生李某的月薪為35003500 元二35百元勺丄-2：；-31.2百元，故李陽不屬于 就業不理想”的學生；由知亠-59.2百元=5920元，故李陽的工資為 35003500 元，低于J，可獲贈兩次隨機話費，所獲得的話費Z的取值分別為 120120, 180180, 240240, 300300, 360360,111111P(Z =120)=漢,P

28、(z =180) =c2匯匯=-,2242 3 31 1115P(Z =240) =X +c2漢漢=,332 6 18111P(Z =300)匯乂=-,3 691 11P(Z -360). .6 6 36故Z的分布列為：Z12012018018024024030030036036011511P4318936則李陽預期獲得的話費為1丄1丄5丄1丄1EY =120180240300360200(元). .4318936【點睛】本題主要考查獨立性檢驗的應用，離散型隨機變量及其分布列的計算與期望的計算等知第2626頁共 2424 頁識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力第2727頁共 2424 頁x

29、eX二一2X22mx+1(1)若m(一1,1)，求函數f x的單調區間;所表示的平面區域內，請寫出判斷過程.【答案】(1 1)見解析；(2 2)見解析【解析】(1 1)首先求得導函數的解析式，然后分類討論確定函數的單調性即可；(2 2)將原問題進行等價轉化，分別考查所構造函數的最大值和最小值即可判定題中的結果是否成立 【詳解】()解：/m ( -1,1),= 4m2- 4：0，二y =x2- 2mx 1 0恒成立， 函數定義域為R, ,exx2-2mx 1 Lex(2x -2m)2 2x-2mx 1exx2-(2m 2)x 2m 12 2x- 2mx 1ex(x -1)(x-2m -1) (x

30、2_2mx +1 )1當m=0時，即2m 1，此時 f f (x)(x)0 0 , f f (x)(x)在R上單調遞增,2當0 : m：1時，即1 . 2m 1：3,x (-：,1)時，f (x)0, f(x)f(x)單調遞增,(1,2m1)時，f (x)：0, f f (x)(x)單調遞減，(2 m，1,=)時，(x) 7 ,f f (x)(x)單調遞增； 一1：m : 0時，即 一1：2m 11時，x(：,2m 1),f (x) 0, f(x)f(x)單調遞增,x(2 m 1,1)時，f (x)：0, f f (x)(x)單調遞減，(1,r),f (x)0, f f (x)(x)單調遞增，

31、綜上所述，m=0時，f(x)f(x)在R上遞增，2121.已(2)(2)若m0，4，則當0,2m1時，函數 y y 二 f f x x 的圖象是否總在不等式第2828頁共 2424 頁20m：1時,f f (x)(x)在(-：,1)和(2m T：)上遞增，在(1,2m - 1)上遞減；3-V：m 0時，f(x)f(x)在(-：,2口1)和(1：)上遞增，在(2 m 1,1)上遞減. .第2929頁共 2424 頁由( 1 1) 知 f(x)f(x)在0,1遞增，在1,2m - 1遞減,令g(x) =x，則g(x)在R上為增函數,函數y二f (x)的圖象總在不等式y x所表示的平面區域內，等價于

32、函數f(x)f(x)圖象總在g(x)圖象的上方，當X O1】時，f (x)min二f (0) =1,g(X)max二g(X)=1，所以函數 f(x)f(x)圖象在g(x)圖象上方；當1,2m 1時，函數 f(x)f(x)單調遞減，2m 1所以 f(x)f(x)最小值為f(2m1)= -，g(x)最大值為g(2m 1 2m 1，2m+2所以下面判斷f (2 m 1)與2m 1的大小，2m 1即判斷 衛 與2m 1的大小，2m +2(11因為m0,，所以即判斷e2m1與(2m 1)(2m 2)的大小,I 4f們f 3令x =2m 1，:m 0,， 二x 1,14I 2即判斷ex與x(x 1)的大小

33、，作差比較如下：令u(x)二ex-x(x 1),xI1,寸則u (x)二ex-2x -1,令h(x) =u (x)，則h (x)二ex-2,因為-1,|，所以h (x)0恒成立，u(x)在-1,|上單調遞增;i3、-又因八。3,u-40，1,，使得u x0jue -2x0T = 0,.2所以存在x0-第3030頁共 2424 頁所以u(x)在1,xo上單調遞減，在ix。,？上單調遞增,I 2所以U(x)UX。=e -Xo-Xo=2xo1-xo- X。=-X。xo1,因為二次函數v(x) =-X2 x 1的圖象開口向下，其對稱軸為u(x)uX)= v x00,即ex(V x)x，也即f (2m

34、1) 2m 1,所以函數 f(x)f(x)的圖象總在直線y=x上方,所以函數y = f (x)的圖象總在不等式y x所表示的平面區域內【點睛】導數是研究函數的單調性、極值( (最值) )最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識解析幾何、微積分相聯系.(2)(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性,求參數.(3)(3)利用導數求函數的最值( (極值) )，解決生活中的優化問題.(4)(4)考查數形結合思想的應用.X = 1 cos：2222 .在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為(為參數)，以。為y =si na極點，X軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為P s

35、in日+cos日=1.I3丿(1)求C的極坐標方程和直線I的直角坐標方程;OM ON的取值范圍.【答案】(1)圓C的極坐標方程為二2cos二直線I的直角坐標方程為(2(2)射線耳卜禺與圓C的交點為。，M，與直線I的交點為N，求所以v(x)-x2x 1在1,上單調遞減.2因為X。1,3時，VXov19.3.1丄o,2424所以點，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行:(1)(1)考查導數的幾何意義，往往與第3131頁共 2424 頁(2)1,3第3232頁共 2424 頁【解析】(1)(1)首先化為直角坐標方程，然后轉化為極坐標方程可得C C 的極坐標方程，展開三角函數式可得 I I 的普通方程；(2)(2)利用極坐標方程的幾何意義， 將原問題轉化為三角函數求值域的問題，據此整理計算可得|0M| 0叫的取值范圍.【詳解】(1