1、楊輝三角（1）內容分析 本課的主要內容是總結楊輝三角的三個基本性質及研究發現楊輝三角橫行的若干規律。楊輝三角的三個基本性質主要是二項展開式的二項式系數即組合數的性質，它是研究楊輝三角其他規律的基礎。楊輝三角橫行的數字規律主要包括橫行各數之間的大小關系。組合關系以及不同橫行數字之間的聯系。研究性課題，主要是針對某些數學問題的深入探討，或者從數學角度對某些日常生活中和其他學科中出現的問題進行研究。目的在于培養學生的創新精神和創造能力。它要求教師給學生提供研究的問題及背景，讓學生自主探究知識的發生發展過。從問題的提出、探索的過程及猜想的建立均主要由學生自主完成，教師不可代替，但作為組織者，

2、可提供必要指導。教師首先簡介楊輝三角的相關歷史，激發學生的民族自豪感和創造欲望，然后引導學生總結有關楊輝三角的基本知識（研究的基礎）及介紹發現數字規律的主要方法（研究的策略），并類比數列的通項及求和，讓學生對n階楊輝三角進行初步的研究嘗試活動，讓學生充分展開思維進入研究狀態。以下主要分小組合作研究楊輝三角的橫行數字規律，重點發現規律，不必在課堂上證明。 1用電腦展示賈憲三角圖、朱泄杰的古法七乘方圖、帕斯卡三角圖（附后），同時播放用古代民族樂器演奏的音樂。教師介紹楊輝三角的簡史：北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，南宋數學家楊輝在詳解九章算法（1961年）記載并

3、保存了“賈憲三角”，故稱楊輝三角。元朝數學家朱世杰在四元玉鑒（1303年）擴充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”。在歐洲直到1623年以后，法國數學家帕斯卡在13歲時發現了“帕斯卡三角”。 2用電腦展示15階楊輝三角或事先印好15階楊輝三角分發給學生。對照楊輝三角，回顧高二下學期學過的楊輝三角的構造及基本性質，并由學生敘述。1°與二項式定理的關系：楊輝三角的第n行就是二項式展開式的系數列。2°對稱性：楊輝三角中的數字左、右對稱，對稱軸是楊輝三角形底邊上的“高”，即。3°結構特征：楊輝三角除斜邊上1以外的各數，都等于它“肩上”的兩數之和，即。（二）分組研究楊

4、輝三角橫行規律（將全班學生按前后排四或五人一組分成若干研究小組）1介紹數學發現的方法：楊輝三角中蘊涵了許多優美的規律。古今中外，許多數學家如賈憲、楊輝、朱世杰、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過，并將研究結果應用于其他工作。他們研究的方法可以歸納為：  15階楊輝三角2學生嘗試探索活動。（1）n階楊輝三角中共有多少個數？（2）n階楊輝三角的通項公式是什么？即n階楊輝三角中的第k行第r個數是什么？（3）n階楊輝三角的第k行各數的和是多少？所有數的和是多少？學生獨立思考后，由學生發言，得出結論。n階楊輝三角中共有個數，第n+2行第3個數；通項公式為，。3按研究橫行數字規律的方向開展研究工作，

5、工作的重點是發現規律。教師巡視指導，必要時可參與某小組的討論活動。最后由小組代表陳述研究結果及建立猜想的大致思路。（1）楊輝三角的第2k行中第k個數最大；即；第2k1行中第是k個數與第kl個數相等且最大，即；2k階楊輝三角中最大數為，2k1階楊輝三角中的最大數為。  （2）楊輝三角中第行的所有數都是奇數（kN*），即為奇數（m=0，1，）；第行的所有數（除兩端的1以外）都是偶數（kN*），即為偶數（r=1，2，）；其他行的所有數中，一定既有偶數又有除1以外的奇數。（3）第p（p為素數）行除去兩端的數字1以外的所有數都能被p整除，其逆命題也成立。即對任意r1，2，n-1，都有是素數。（

6、4）將第n行的所有數按從左到右的順序合并在一起得到的多位數等于。（5）第2n行的第n個數是第2n-1行的第n-1個數的2倍，即。如圖，每一幅小圖中的圓的個數及圓上的點、線段、三角形、四邊形、五邊形、六邊形的數目有一定的變化規律，研究楊輝三角，你能找出兩者間的關系嗎？  附（1）：證明：當時，是奇數。證明：對任何一個正整數m，都存在唯一的自然數與正奇數，使。設，。當時，上式的分子、分母都是奇數，且分式值是正整數，是奇數。附（2）： 楊輝三角（2）內容分析1從研究平行于楊輝三角形“兩腰”的斜邊上的數字規律的過程中，我們可以發現朱世杰恒等式：。這個規律其實是楊輝三角第三

7、條基本性質的推廣形式。應用朱世杰恒等式，可以求出的和式值。2研究經過兩數，或的斜邊上的數字規律，可以得到著名的斐波那契數列。由斐波那契數列的通項公式，可得組合數的性質：，。3將階楊輝三角形中去掉所有的偶數，剩下的圖形類似于分形幾何中的謝爾賓斯基三角形（如圖），這種三角形是研究自然界大量存在的不規則現象（海岸線性狀、大氣運動、海洋湍流、野生生物群體漲落，乃至股市升降等）的嶄新教學工具。  4教科書中的正六棱柱形木板滾球實驗說明楊輝三角與概率統計之間存在聯系。講授時，老師應制作一個教具，并用16個小球。做實驗若干次，然后引導學生挖掘實驗結果與楊輝三角之間的關系，并用排列組合知識

8、與概率知識加以解釋。1用電腦展示8階楊輝三角圖，以備用上節課主要是研究楊輝三角橫行的數字規律，這節課首先來研究斜行的數字規律（如圖）。  2學生分小組研究，得出的結果可能是：（1）n階楊輝三角形的第k+1條斜邊上的數（從左到右，從上到下）組成的數列是：。（2）上述數列的和為：。3引導學生證明上述等式，并介紹有關朱世杰研究上述組合數恒等式的情況（1）證明過程： （2）朱世杰問題（如象招數問題）：以立方招兵，初招方面三尺，次招方面轉多一尺，今招十五日，問招兵幾何？用數列語言來說就是：第k日招兵，共招n日，一共招兵多少？問題可轉化為求和： 。4引導學生觀察8階楊輝三角表。研究圖中

9、標出的斜行各數之間的關系（1）將各斜邊的數字相加后按從上而下的順序列出：1，1，2，3，5，8，13，21，34。（2）研究上述數列的規律后，可以猜測：無窮階楊輝三角類似的數列為：（3）引導學生將表示成組合數的和，并證明。，根據楊輝三角的基本性質3可以推出。（4）指出上述數列是斐波那契數列，該數列有廣泛應用。5觀察下圖15階楊輝三角中，各小正三角形內的數有什么特點？并推廣到階楊輝三角中 （1）（自上而下）第k個正三角形內的數都是偶數，即都是偶數（kN*）。（2）第k個正三角形兩腰外的第一條斜邊上的數都是奇數，即都是奇數（kN*）。這條性質和上節課推出的性質“第行上的所有數中既有偶數也

10、有非1的奇數”相吻合。（3）階楊輝三角中，偶數與奇數，哪個更多？階楊輝三角中，共有個奇數，共有個偶數（kN*），試比較與的大小（留課外思考）。6演示實驗教師或學生將16個均勻小球逐個平穩地放入如圖的教具內。統計最后各個矩形框內的小球個數。連續做三次實驗，分析統計結果；并將結果推廣到有n+1層的教具，個小球的情形，并給出合理解析。（1）設小球從第一層落入第n層下面的第k個矩形框的通道條數為F（n，k），則根據教具的對稱性及小球的均勻性，可建立如下遞推模式：F（1，1）=1，F（n，k）=F（n，n-k+1），F（n+1，k）=F（n，k-1）+F（n，k），k=1，2，n+1，規定F（n，0）=F（n，n+1）=0（nN*）。    類比楊輝三角形的基本性質：可猜測：。（可以用數列方法證明結論為真，留課后思考）故在理想狀態下，個小球從第一層落到第n層，從左到右各矩