柯西不等式中取等條件的妙用_第1頁
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文檔簡介

1、柯西不等式中取等條件的妙用設是實數，則，當且僅當或存在一個數，使得時，等號成立. 以上不等式就是選修4-5不等式選講中所介紹的柯西不等式（簡記為“方和積不小于積和方”），其應用十分廣泛和靈活，善于挖掘等號成立的條件具有的潛在功能，可用于求代數式的值、解方程、證明等式、判斷三角形的形狀、確定點的位置等.下面分類例析，旨在探索題型規律，揭示解題方法.一、妙用取等條件求代數式的值例1 設，且，求的值.解析：構造兩組實數；由柯西不等式，得，即，上式等號成立的充要條件是令，則，所以點評：本題若直接求解，過程較繁.借助柯西不等式，順利地實現了從不等到相等的轉化，干凈利落.其中不等式等號成立的條件及其適當的

2、變形是實現這一轉化的橋梁.二、妙用取等條件解方程例2 解方程.分析： 利用二維形式的柯西不等式把變形后求最值，取“”號時的值即為原方程的根.解析： .其中等號成立的充要條件是：，解得.故原方程的根為.點評： 利用二維形式的柯西不等式，取“”號的充要條件是，因此，在解題時，對照柯西不等式，必須弄清要求的問題中哪些數或代數式分別相當于柯西不等式中的“”，否則容易出錯.三、妙用取等條件證明等式例3 （1996年香港國際奧林匹克競賽試題）已知、均為銳角，且，求證：證明 ： 已知等式的左邊可視為兩數的平方和，且兩個分母的和為1，利用柯西不等式，得 ，上式等號成立的充要條件是，即又由、均為銳角，可得，注意

3、到，點評： 構造恰當的柯西不等式并靈活利用取等條件可以使許多數學問題的解決變得猶如囊中取物，易如反掌四、妙用取等條件判斷三角形的形狀例4 三角形三邊對應的高分別為，為此三角形內切圓的半徑.若，試判斷此三角形的形狀.解析： 由條件知，又由條件知，.由柯西不等式，得，即.當且僅當時取等號，注意到，可推知.故所給三角形為等邊三角形.點評 ：本題以三角形面積公式為轉化依據，巧妙利用柯西不等式中等號成立的條件，輕松判斷出三角形的形狀.五、妙用取等條件確定點的位置例5 為內一點，分別為到各邊所引垂線的垂足，求使取最小值時的點.解析： 如圖，設的三邊長，面積為，記，則.由柯西不等式，得，即，亦即.當且僅當，也就是時等號成立，.故使取最小值時的點是的內心.

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