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文檔簡介

1、1。解：由題意可知從而知故2。證明：由分析知。如果有重數大于2的非零根，在有重數大于1的非零根，根據的表達式可知沒有非零重根，從而沒有重數大于2的非零根3。解：由于，又可知從而知即，從而知4。解；由于從而當時，可逆由于當時，從而的特征多項式為故，又從而，從而，故的最小多項式能整除，從而無重根，從而可對角化5。證明：若時，顯然滿足。若時，由于，由于為正定矩陣，從而，即，從而等號成立時，即為對角矩陣時候成立顯然為充要條件若小于時成立，且等號成立時候充要條件為對角矩陣。令，則為階正定矩陣，從而存在且也為正定矩陣。又從而為正定矩陣，且有，根據正定和正定可知：，當等號成立時候，由歸納假設可知，等號成立時

2、候充要條件為對角矩陣，從而可知等號成立充要條件為為對角矩陣。6.證明：由分析考慮的塊，則存在實可逆矩陣，有若則，從而，其中則有從而可知7。證明：當時，由即，先讓，從而對任何均有，即和有相同的特征多項式。8。證明：由于為冪零矩陣，從而，則存在實可逆矩陣，有，又由于則可知即就有，即9：解；從而的特征值為和，解可得基礎解系為正交化后得解可得基礎解系為標準化后可得從而可知存在正交矩陣矩陣使十：證明：任取一組標準正交基，令線性變換在此標準正交基下的矩陣分別為，則均為對稱矩陣，對于可有，存在正交矩陣有，由于則有，則由于為對稱矩陣，從而對于任何均為對稱矩陣，則對于，可知存在正交矩陣有令，從而為正交矩陣且若取則可知，取，則可知

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