1、關于如何控制浴缸水溫的模型摘要人們平時洗澡時用的簡單浴缸很容易受時間、人類活動等各種因素影響而使水溫變涼，因此，需要建立一個浴缸的水溫模型來讓整個浴缸盡可能保持適宜的溫度。關 1.問題重述 簡單浴缸只是一個水容器，即不帶二次加熱系統和循環噴流的功能，所以其很容易受時間等因素的影響而使水溫降低，因此就需要在適當的時候用水龍頭注入熱水，使水溫上升并接近初始溫度。本文要求用建模的方法研究出最佳策略使得用盡可能少的水來保持初始溫度，并且考慮模型對人的運動體溫形狀及浴缸形狀體積的依賴程度，考慮加入泡泡劑后模型的結果。 2. 問題分析第一問：需要建立一個模型來找出最佳的加水策略。因此解決這個問題需要找到水

2、的溫度隨時間的變化函數以及加水時的水溫變化函數。結合兩函數得出加水時間及每次加水量與最終用水量的函數關系，利用窮舉法得出最佳的的加水方案。第二問：需要考慮浴缸的形狀、體積以及人的運動等因素對模型的依賴程度，即需要對模型做靈敏度分析以確定模型對各種因素的敏感程度。第三問：因加入了泡泡劑使得模型中的水面蒸發散熱以及對流散熱受到影響，需將水面上的泡泡考慮為有一定保溫能力的某種材料，重新優化加入泡泡劑后的最佳加水策略。3.模型假設1） 人在浴缸內產生熱的功率是恒定；2） 加泡沫劑后泡泡細膩且均勻的覆蓋在水面上；3） 將人的比熱容近似看作水的比熱容；4） 浴室內無風且溫度及飽和氣壓是恒定不變的；4.符號

3、說明 變量符號 變量含義 時 間 人體在水中產熱的功率 溫 度 水的體積 水龍頭水的流量 水的密度 水的比熱容 表面積 熱 量 5. 模型建立與求解5.1 問題一：浴缸和水物理狀態對溫度的影響 浴缸中水的溫度之所以會降低，是因為水不僅在上表面會形成蒸發散熱，還會與浴缸發生熱交換，所以，此部分針對水和浴缸的吸熱放熱的物理反應，利用其能量平衡方程，建立了一個數學模型，繼而在適宜的時間加熱水保證水的溫度在舒適的范圍之內。5.1.1浴缸水溫模型的建立：首先考慮人沒有進入浴缸，即靜止的浴缸因散熱蒸發以及池壁與水的熱傳導對水溫造成的影響。根據熱能守衡原理有水池中減少的熱能與因蒸發散熱及熱傳導引起的熱量損耗

4、的關系如下： 解釋圖（1）假設浴缸是標準的立方體，水與空氣接觸時，水汽化帶走的熱量以及水面與空氣的熱傳導通過假定室內溫度濕度恒定，室內無風等理想條件，定出水的蒸發換熱功率 可以假設人熱為恒溫的即以以恒定的功率產,則：為水的蒸發換熱系數為水面水蒸氣的薄飽和氣壓，、都可視為常數故令可得： 根據傅里葉熱傳導公式可得出水與空氣的傳熱功率： /d浴缸四壁的熱傳導功率為： 可以假設整個過程人體始終是恒溫的，即以恒定的功率產熱，故得浴缸 內水在無人狀態下的散熱功率為： 利用能量守恒可知浴缸內水的瞬時變化的能量即為散熱功率 通過式子畫出溫度隨時間變化曲線加入水時帶來了熱量同時也排出了與浴缸內的水，給出二者功率

5、可以算出瞬時的浴缸內能量變化： （其為流量為進入水的溫度）由上式不難得出加水時浴缸內熱能的瞬時變化： 得出加水時的溫度變化曲線5.1.2模型的求解：此時需要在浴缸內水溫不太低時加水，而且加水后水溫不可以太高盡可能的使水溫接近讓人感到舒適的溫度，在這里假浴缸內水的最高溫度為42最低溫度34，因為加水的流量和加入水的溫度是可以合理規定的，不妨在此假設一個固定的溫度及流量。這樣就可以確定加水的間隔以及每一次加水的時長的范圍，可以在這一溫度區間內任取兩值可以算出對應單位時長的耗水量，利用窮舉發算出最小耗水時對應的溫度，通過這個溫度得出對應的加水時長以及間隔。通過分析得出模型的結果便是均勻的在最低溫度加

6、水最低溫度附近不斷的間歇加水每次加水時間和間隔時間都非常的短，但現實情況并不允許這樣快的開關頻率。為了實現最小的耗水量實際生活中可以盡量在感到溫度較低時加水在感到溫度合適時停止加水。5.2問題二：模型對各因素的依賴程度在第一問中對人的運動視為的定值現實中人可能在泡澡在跳舞5.21對于泡澡的情況即時之前的分析對于人在水中跳舞的情況需考慮到其加大了水的散熱面積以及增加了人的即功率p4變大s2變大得出幾個對應的不同曲線對于浴缸的形狀與體積得出不同的溫度變化曲線由于考慮到了人的體積不同可以轉化為人的體表面積不同通過轉化公式得出人的幾種想對應的面積對應不同的曲線圖接和不同的圖可以對其做分析可以看出浴缸體

7、積越大溫度的變化越慢即可以適當的延長加水的時間形狀主要看上表面積與體積的比值這個值越大溫度就會變化得越快，人的運動情況圖可以看出越是大的運動雖然產生了更多的熱但是也會帶走更多的熱量，即運動幅度約大5.3問題三：泡泡浴劑對模型的影響加入泡泡浴劑后模型的水面可以化簡為一層空氣膜，因為泡泡上表面存在蒸發散熱以及與空氣的熱傳導且表面積會大許多，泡泡的傳熱性能不好，所以在此僅考慮泡泡氣膜的熱傳導可以簡化之前的模型不用考慮蒸發散熱水溫變化會變得緩慢許多，對于模型的結果更加的支持。這種情況只需增加加水的時間間隔即可使水溫維持在一比較穩定的范圍內。5.4模型的誤差分析與檢驗及推廣1） 誤差分析：主要誤差在于題

8、中所用的數據是各種數據的合理值中任取的，在實際中這些產數相互之間可能有聯系，即參數的選取的合理性不能保證，會導致模型的對應策略的不同，但由于策略都指向均勻放水的策略。分析后的模型不受參數的影響，而在實際情況下的策略需要精確的測定其中的每一項參數才能找到對應的策略。模型優點：1. 我們充分考慮了浴缸在開放空間內吸收散熱的大部分情況，使得模型很符合實際意義。2. 模型利用窮舉法和畫圖法，將所有舒適溫度情況下，注入水的情況考慮了進去，尋求到了最適的溫度下的，熱水的最小需求量，提高了模型的實用性和可操作性。3. 我們將加入泡泡劑以及人體表面積的因素考慮進去，使得模型適用范圍更廣，更具參考性。4.模型還考慮了浴缸不同材質的導熱系數不同而對水散熱造成的不一樣的影響。還有水面飽和氣壓與浴室氣壓之差對水蒸發帶走熱量的影響。使模型涉及的內容更全面具體。模型缺點：1.我們沒有考慮對流帶走熱量的情況，在無風的情況下，對流影響較小。2.傅里葉熱傳導方程并不是固定的，是隨池壁的厚度的不同而改變的，而我們假設是固定的，以方便建模。 7.參考目錄