1、高等數(shù)學模擬練習80題一、單項選擇題1、曲面是（ ）（A）平面上曲線繞軸旋轉而成的旋轉曲面（B）平面上曲線繞軸旋轉而成的旋轉曲面（C）平面上曲線繞軸旋轉而成的旋轉曲面（D）平面上曲線繞軸旋轉而成的旋轉曲面2函數(shù)在處的偏導數(shù)存在是在該處可微的（ ）條件A. 充分. B. 必要. C. 充分必要. D. 無關的3 函數(shù)在處可微是在該處連續(xù)的( )條件A. 充分 B. 必要 C. 充分必要 D. 無關的4. 函數(shù)在處的偏導數(shù)存在是在該處連續(xù)的( )條件A. 充分 B. 必要 C. 充分必要 D. 無關的5二元函數(shù)在點的偏導數(shù)存在，是在該點可微的（ ）.A充分條件. B必要條件. C充要條件. D無關

2、條件.6. 函數(shù)在（0，1）處的全微分（ ）A B C D.7、函數(shù)，則極限=（） 。(A)不存在(B)等于1 (C)等于零(D)等于2 8、設則（）(A) (B) (C) (D) 8設,則二重積分=（ ）A. B. C. D10. 設D為：，二重積分的值=（ ）A B C D11. 設D為：，二重積分的值=（ ）A B C D12設是圓域（其中）,是在第一象限部分區(qū)域，則=（ ）.A. B. C. D0.13.微分方程 的特解可設為( )A. B. C. D. 14微分方程 的特解應設為（ ）.A. . B. . C. . D. 15. 微分方程的特解可設為( )A. B. C. D. 16

3、微分方程的一個特解應有形式（式中為常數(shù)）（ ）.A. B. C. D.17下列級數(shù)中收斂的是（ ）. A . B . C . D 18. 若正項級數(shù) 收斂，則（ ）A1 B1 C1 D119. 若級數(shù) 絕對收斂，則（ ）A1 B1 C1 D120下列級數(shù)中發(fā)散的級數(shù)是（ ）.A. B. C. D.二、填空題1設向量，則向量積=2已知,如果與相互垂直，則3. 設向量，則數(shù)量積= -44已知向量與方向相反，且，則=。5. 已知，則=6設在點處的偏導數(shù)存在，則=7已知函數(shù)，則=8在點（2，1）處的全微分.9函數(shù) 在點處的梯度=10化二次積分為極坐標系下的二次積分=11，其中.12設，則二重積分=13

4、. 設D為：，二重積分的值=14若某二階線性非齊次微分方程的兩個解為和，且相應齊次方程的一個解為，則該非齊次方程的通解為 .15冪級數(shù) 的收斂半徑=1016若級數(shù)收斂，則= .17冪級數(shù)的收斂區(qū)間是 .18. 冪級數(shù) 的收斂半徑=119.已知級數(shù)的前n項部分和則此級數(shù)的通項。20.設冪級數(shù)的收斂半徑是4，則冪級數(shù)的收斂半徑是2 。三、計算下列各題1. 求過點M(3, 1, -2)且通過直線的平面方程在直線取點P=(4, -3, 0)，則，已知直線的方向向量為，設所求平面的法線向量與向量， . 所求平面的方程為 8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0, 即 8x-9y-22z-59=0.

5、 2.證明：曲線上點處的法平面與直線 平行. 由已知得直線的方向向量 將曲線的交面式方程視為參數(shù)方程：，則曲線在點處的切向量為：此也為點處的法平面的法向量.易證有，故法平面與直線平行.3已知平面過點，且與兩平面和都垂直，求平面的方程 平面的法向量又因為平面過點，所以平面方程為.4. 寫出直線的對稱式方程及參數(shù)式方程.，對稱式方程為；參數(shù)式方程為.5. 已知直線L過點（1，2，3），且與兩平面和平行，求直線L的方程由已知得直線的方向向量所以直線方程為.6求過點且通過直線的平面方程.由已知得所以平面方程為.7設，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)求.，.8. 已知，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求， .9. 已知，

6、求和由已知可得； 同理得10. 設，求和.由已知得，；.11設，具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求.；12設生產某種產品需用原料A和原料B，它們的單位價格分別是10元和15元，用單位原料A和單位原料B可生產該產品件，現(xiàn)要以最低成本生產該產品112件，問需要原料A和原料B各多少單位？設拉格朗日函數(shù)，分別對、求導，并令其為零，得，解得由實際問題知最值一定存在，所以要以最低成本生產112單位的該產品，需要A原料4單位和B原料2單位13.設方程確定函數(shù)，求全微分與及，于是， 14已知，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求和，15改換二次積分的積分次序并且計算該積分原式=16計算二重積分，其中是由圓周所圍成的閉區(qū)域.原式=1

7、7計算，其中是直線，以及曲線所圍成的閉區(qū)域.=18. 計算二次定積分原式=19交換積分次序求.=20計算二重積分，其中.=21.計算, 其中D是由直線y=x、x=1及y=0圍成的閉區(qū)域. 畫出區(qū)域D, 可把D看成是X-型區(qū)域: 0£x£1, 0£y£ x于是.22.設L是由曲線與直線所圍成區(qū)域D邊界正向一周，求 , , ， 由Green公式有=23.設曲面為拋物面，取上側，計算補充平面取下側，則與圍成空間區(qū)域于是 24. 求微分方程的通解設，解得方程的通解為25. 求微分方程在初始條件，下的特解方程的特征方程為，特征根為.所以通解為由，故方程的特解為.2

8、6. 求微分方程滿足初始條件的特解27.求微分方程在初始條件，下的特解方程的特征方程為特征根為.通解由，得特解.28求微分方程的通解.將視為自變量，相對應于及其導數(shù)而言，此為一階線性非齊次微分方程，其中故 29.求微分方程的通解把方程改寫為, 則 30將展開成的冪級數(shù).，其中 ，；，31. 求級數(shù)的收斂域與和函數(shù).由已知得級數(shù)收斂域為.設和函數(shù)，則顯然.由，得于是，從而.32.設為單調增且有界的正數(shù)列，試證明級數(shù)收斂.因為單調增且有界的正數(shù)列，且有界.的部分和，所以部分和有界，從而正項級數(shù)收斂.33. 把函數(shù)在區(qū)間內展開成為的冪級數(shù).，.34在區(qū)間內求級數(shù)的和函數(shù).= 35.將函數(shù)，展開為的冪級數(shù)并給出收斂域 收斂域滿足解出得 36 設c=asinx,acosy,bz,u=|c|2,計算div(c×gradu).u=c·c=a2sin2x+a2cos2y+b2z2. gradu=a2sin2x,a2sin2y,2b2z =2ab2zcosy+a2bzsin2y,a2bzsin2x+2ab2zsinx,a3sinxsin2ya3sin2xcosy div(c×gradu)=0. 37求微分方程滿足初始條件的解：特征方程為特征根為通解為：由初始條件得原問題的解為