1、選修2-1空間向量與立體幾何一、選擇題：1在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，則AB1與C1B所成的角的大小為（ ）A60B90C105D75圖2如圖，ABCDA1B1C1D1是正方體，B1E1D1F1，則BE1與DF1所成角的余弦值是（ ）圖ABCD3如圖，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=90，點D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點，若BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（ ）A BC D4正四棱錐的高，底邊長，則異面直線和之間的距離（ ）A BC DAA1DCBB1C1圖5已知是各條棱長均等于的正三棱柱，是側棱的中點點到平面的距離（ ）AB CD6在棱長

2、為的正方體中，則平面與平面間的距離（ ）A BC D7在三棱錐PABC中，ABBC，ABBCPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP底面ABC，則直線OD與平面PBC所成角的正弦值（ ）A B C D8在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，側棱，D，E分別是與的中點，點E在平面ABD上的射影是的重心G則與平面ABD所成角的余弦值（ ）A B CD9正三棱柱的底面邊長為3，側棱，D是CB延長線上一點，且，則二面角的大小（ ）A B C D10正四棱柱中，底面邊長為，側棱長為4，E，F分別為棱AB，CD的中點，則三棱錐的體積V（ ）A B C D二、填空題：11在正方體中，為的中點，則異面直線和間

3、的距離 12 在棱長為的正方體中，、分別是、的中點，求點到截面的距離 13已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是B1C1和C1D1的中點，點A1到平面DBEF的距離 14已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中點，求直線AE與平面ABC1D1所成角的正弦值 三、解答題：15已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1，求平面A1BC1與平面ABCD所成的二面角的大小16已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、M分別是A1C1、A1D和B1A上任一點，求證：平面A1EF平面B1MC17在四棱錐PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，B

4、AD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD與底面成30角（1）若AEPD，E為垂足，求證：BEPD；（2）求異面直線AE與CD所成角的余弦值18已知棱長為1的正方體AC1，E、F分別是B1C1、C1D的中點（1）求證：E、F、D、B共面；（2）求點A1到平面的BDEF的距離；（3）求直線A1D與平面BDEF所成的角19如右下圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直線EC1與FD1所成的余值. 20如圖，已知四棱錐P

5、-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=600，PD平面ABCD，PD=AD，點E為AB中點，點F為PD中點。（1）證明平面PED平面PAB； （2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值21：在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中 心，點P在棱CC1上，且CC1=4CP.()求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大小（結果用反三角函數值表示）；()設O點在平面D1AP上的射影是H，求證：D1HAP；()求點P到平面ABD1的距離. ABCDOS圖參考答案一、1B；2A；3A；4C；分析：建立如圖所示的直角坐標系，則， ，令向量，且，則，異面直線和之間的距

6、離為：5A；分析：為正方形，又平面平面，面，是平面的一個法向量，設點到平面的距離為，則= 6B；分析：建立如圖所示的直角坐標系，ABCDA1B1C1D1E圖設平面的一個法向量，則，即，平面與平面間的距離7D；8B；解 以C為坐標原點，CA所在直線為軸，CB所在直線為軸，所在直線為軸，建立直角坐標系， 設，則 ， ， ， ， 點E在平面ABD上的射影是的重心G， 平面ABD， ，解得 ， ， 平面ABD， 為平面ABD的一個法向量由 與平面ABD所成的角的余弦值為評析 因規定直線與平面所成角，兩向量所成角，所以用此法向量求出的線面角應滿足9A；取BC的中點O，連AO由題意 平面平面，平面，以O為

7、原點，建立如圖6所示空間直角坐標系，則 ， ， ， ，由題意 平面ABD， 為平面ABD的法向量設 平面的法向量為 ，則 ， ， ，即 不妨設 ，由 ， 得 故所求二面角的大小為評析：（1）用法向量的方法處理二面角的問題時，將傳統求二面角問題時的三步曲：“找證求”直接簡化成了一步曲：“計算”，這表面似乎談化了學生的空間想象能力，但實質不然，向量法對學生的空間想象能力要求更高，也更加注重對學生創新能力的培養，體現了教育改革的精神（2）此法在處理二面角問題時，可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若取時，會算得，從而所求二面角為，但依題意只為因為二面角的大小有時為銳角、直角，有時也為鈍角所以在計

8、算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據計算取“相等角”或取“補角”10C；解 以D為坐標原點，建立如圖10所示的直角坐標系，則 ， ， ， 圖10 ， ，所以 ，設 平面的方程為：，將點代入得， ， 平面的方程為：，其法向量為， 點到平面的距離， 即為所求評析 （1）在求點到平面的距離時，有時也可直接利用點到平面的距離公式 計算得到（2） 法向量在距離方面除應用于點到平面的距離、多面體的體積外，還能處理異面直線間的距離，線面間的距離，以及平行平面間的距離等二、11分析：設正方體棱長為，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設和公垂線段上的向量為，則，即，又，所以異面直線和間

9、的距離為12分析：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系AEA1DCBB1C1D1F圖則，；設面的法向量為，則有：，又，所以點到截面的距離為=131；解：如圖建立空間直角坐標系，（1，1，0） ，（0，1）， （1，0，1） 設平面DBEF的法向量為（x，y，z），則有： 即 xy0 yz0zxBA1yFEB1C1D1DCA令x1, y=1, z=, 取（1，1，），則A1到平面DBEF的距離EzxD1yAC1B1A1BDC14解：如圖建立空間直角坐標系，（0，1，0），（1，0，1），（0，1）設平面ABC1D1的法向量為（x，y，z）,由 可解得（1，0，1） 設直線AE與平面ABC1D1

10、所成的角為，則， 三、15 zyxD1A1DB1C1CBA解：如圖建立空間直角坐標系，（1，1，0），（0，1，1） 設、分別是平面A1BC1與平面ABCD的法向量， 由 可解得（1，1，1）易知（0，0，1），所以，所以平面A1BC1與平面ABCD所成的二面角大小為arccos或 arccos注：用法向量的夾角求二面角時應注意：平面的法向量有兩個相反的方向，取的方向不同求 出來的角度當然就不同，所以最后還應該根據這個二面角的實際形態確定其大小16FyEMxzD1C1B1A1CDBA證明：如圖建立空間直角坐標系， 則（1，1，0），（1，0，1） （1，0，1）， （0，1，1）設，（、 ，且

11、均不為0） 設、分別是平面A1EF與平面B1MC的法向量， 由 可得 即 解得：（1，1，1） 由 可得 即 解得（1，1，1），所以， ， 所以平面A1EF平面B1MC注：如果求證的是兩個平面垂直，也可以求出兩個平面的法向量后，利用來證明17（1）證明：PA平面ABCD，PAAB，又ABADAB平面PAD又AEPD，PD平面ABE，故BEPD（2）解：以A為原點，AB、AD、AP所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，則點C、D的坐標分別為（a，a，0），（0，2a，0）PA平面ABCD，PDA是PD與底面ABCD所成的角，PDA=30于是，在RtAED中，由AD=2a，得AE=a過E作EFAD，垂足為F，在RtAFE中，由AE=a，EAF=60，得AF=，EF=a，E（0，a）于是，=a，a，0設與的夾角為，則由cos=AE與CD所成角的余弦值為評述：第（2）小題中，以